Функции $y=\sin x$ и $y=\cos x$: свойства и графики
Цели и задачи
- Цель: к концу урока научиться строить по точкам и преобразованиям графики функций $y=\sin x$ и $y=\cos x$, а также определять по графику их область определения, множество значений, нули, промежутки знакопостоянства, монотонности и периодичность.
- Систематизировать знания о тригонометрических функциях и единичной окружности, связать значения синуса и косинуса с координатами точки окружности.
- Вывести и сформулировать основные свойства функций $y=\sin x$ и $y=\cos x$, используя математическую речь и графическое представление.
- Научиться применять свойства функций при чтении и сравнении графиков, решении простейших заданий практического и экзаменационного характера.
- Развивать самостоятельность, аргументацию, навыки взаимопроверки и осознанного выбора способа решения.
Планируемые результаты
Личностные
- Проявляют интерес к исследованию периодических процессов и видят связь тригонометрических функций с задачами физики, техники и будущей профессиональной деятельности.
- Осознают ценность точного математического языка и аргументированного доказательства.
- Развивают ответственное отношение к самостоятельной работе и объективной самооценке результата.
- Понимают, что графическая модель помогает анализировать реальные зависимости и прогнозировать их поведение.
Метапредметные
- Извлекают информацию из единичной окружности, таблицы значений и графика, преобразуют её из одной формы в другую.
- Планируют построение графика, выбирают существенные точки и проверяют результат по свойствам функции.
- Сравнивают функции $y=\sin x$ и $y=\cos x$, выделяют сходства и различия, формулируют выводы.
- Аргументируют решение в паре и используют критерии для взаимопроверки.
- Применяют цифровые средства или графический шаблон для проверки гипотезы, не подменяя рассуждение механическим построением.
Предметные
- Знать область определения, множество значений, период, нули, промежутки знакопостоянства и монотонности функций $y=\sin x$ и $y=\cos x$.
- Уметь строить графики функций по ключевым точкам на одном периоде и переносить их с учётом периодичности.
- Уметь определять по графику значения функции, интервалы возрастания и убывания, точки максимума и минимума.
- Владеть способом сравнения графиков и понимать связь $\cos x=\sin\left(x+\frac{\pi}{2}\right)$.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Определяют личный уровень готовности к работе с тригонометрическими функциями и формулируют учебную мотивацию.
- Осознают значение аккуратного графического представления для проверки математической гипотезы.
- Проявляют готовность принимать разные способы рассуждения при условии их доказательности.
- Оценивают собственный вклад в парную и индивидуальную работу.
Регулятивные УУД
- Формулируют цель построения графика и составляют последовательность действий.
- Удерживают критерии правильного графика: масштаб, ключевые точки, периодичность, подписи осей.
- Проводят самопроверку по эталону и исправляют обнаруженные ошибки.
- Оценивают степень достижения цели по листу самооценки и билету на выход.
Познавательные УУД
- Восстанавливают значения синуса и косинуса по единичной окружности и таблице.
- Устанавливают закономерности изменения функции на промежутках и объясняют их.
- Моделируют график по точкам, анализируют его симметрию и периодичность.
- Сопоставляют аналитическую запись функции с её графическим образом.
Коммуникативные УУД
- Распределяют роли в паре: построитель и проверяющий, затем меняются ролями.
- Формулируют вопросы к решению одноклассника и дают аргументированную обратную связь.
- Используют математические термины при объяснении графика.
- Согласуют общий вывод и корректно разрешают расхождения в рассуждениях.
Подготовка учителя к уроку
- Подготовить презентацию или интерактивный экран с единичной окружностью, координатными осями и заготовленными таблицами значений.
- Распечатать индивидуальные карточки трёх уровней — по одной на каждого ученика, всего по числу учащихся в классе.
- Распечатать лист самооценки и билет на выход — по одному экземпляру на каждого ученика.
- Подготовить карточки для парной работы с графиками $y=\sin x$ и $y=\cos x$ — по одной на парту.
- Вывесить на доске памятку: ключевые значения углов $0$, $\frac{\pi}{2}$, $\pi$, $\frac{3\pi}{2}$, $2\pi$ и соответствующие значения синуса и косинуса.
- Подготовить цветные маркеры, линейки, стикеры двух цветов и листы в клетку для построения графиков.
- При наличии оборудования открыть динамический график в математическом приложении; предусмотреть бумажный вариант для учащихся без устройств.
- Заранее записать на доске тему, проблемный вопрос и критерии построения: точки, масштаб, плавность, периодичность.
Ход урока
Этап 1. Организационный момент и мотивация (3 мин)
Цель этапа: включить учащихся в исследовательскую работу и создать мотивацию к изучению графиков периодических функций.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель приветствует класс: "Здравствуйте, ребята. Проверьте, пожалуйста, готовность: тетрадь, линейка, ручка и лист в клетку должны лежать перед вами. Сегодня мы будем не просто вспоминать формулы, а исследовать два графика и доказывать их свойства." | Проверяют оборудование, записывают дату, настраиваются на работу. |
2 мин | Учитель показывает на экране график периодического колебания и спрашивает: "Почему похожие кривые встречаются в описании звука, движения маятника и электрического сигнала? Как математическая функция может помочь предсказать повторяющееся изменение? Сегодня мы проверим это на функциях синус и косинус." | Предполагают: "График повторяется через одинаковые промежутки", "значения можно вычислять и прогнозировать"; формулируют связь с периодичностью. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы увидели, что график — это не рисунок ради рисунка, а модель повторяющегося процесса. Теперь восстановим знания, которые помогут нам построить такую модель точно."
Этап 2. Актуализация знаний (6 мин)
Цель этапа: актуализировать значения синуса и косинуса на основных углах и связь тригонометрических функций с координатами точки единичной окружности.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель показывает единичную окружность: "Вспомним: координаты точки единичной окружности, полученной поворотом на угол $x$, равны $(\cos x;\sin x)$. Заполните в тетради две строки для углов $0$, $\frac{\pi}{2}$, $\pi$, $\frac{3\pi}{2}$, $2\pi$. Работайте сначала самостоятельно, затем сравните записи в паре." | Заполняют таблицу: для косинуса $1,0,-1,0,1$, для синуса $0,1,0,-1,0$; сверяют записи в парах. |
3 мин | Учитель организует приём "Подумай — обсуди в паре — поделись": "Почему значения обеих функций не выходят за пределы от $-1$ до $1$? В какой момент синус достигает максимума, а косинус равен нулю? Обоснуйте ответ по окружности." | Обсуждают ответ 1 минуту, затем сообщают: "Координаты точки окружности лежат между $-1$ и $1$"; "синус равен 1 при $x=\frac{\pi}{2}$", "косинус равен нулю при $x=\frac{\pi}{2}$ и $\frac{3\pi}{2}$". |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы восстановили ключевые точки и увидели ограниченность значений. Но одной таблицы недостаточно: нужно понять, как ведут себя функции между этими точками и как повторяется их график."
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Этап 3. Постановка проблемы и целеполагание (4 мин)
Цель этапа: сформулировать учебную проблему и совместно определить план исследования свойств функций.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель предлагает проблемный вопрос: "Перед вами пять точек для синуса. Достаточно ли соединить их отрезками, чтобы получить настоящий график? Что необходимо выяснить о промежуточных значениях и направлении движения графика?" Учитель фиксирует версии на доске. | Высказывают гипотезы: "Нужно больше точек", "график должен быть плавным", "необходимо знать, где функция возрастает и убывает". |
2 мин | Учитель спрашивает: "Составьте план исследования. Какие свойства мы должны установить, чтобы график можно было построить и прочитать?" Учитель обобщает ответы и записывает план: область определения, значения, период, нули, монотонность, экстремумы, график. | Предлагают пункты плана, записывают тему и цель: исследовать свойства $y=\sin x$ и $y=\cos x$ и построить их графики. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "План исследования готов. Теперь проверим каждое свойство по единичной окружности и сразу будем связывать вывод с будущим графиком."
Этап 4. Изучение свойств и построение графиков (12 мин)
Цель этапа: вывести основные свойства функций и построить их графики на отрезке $[0;2\pi]$ с использованием ключевых точек.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
4 мин | Учитель демонстрирует на экране окружность и таблицу: "Рассмотрим синус. При повороте точки на полный оборот координаты повторяются, значит, $\sin(x+2\pi)=\sin x$. Это период $2\pi$. По координатам точки установим: область определения — все действительные числа, множество значений — $[-1;1]$. Нули возникают, когда ордината точки равна нулю: $x=\pi n$, где $n\in\mathbb Z$." | Записывают свойства синуса, объясняют, почему период равен $2\pi$, формулируют: "Нули находятся на оси абсцисс". |
4 мин | Учитель продолжает: "На отрезке $[0;2\pi]$ синус возрастает от 0 до 1, убывает до 0, продолжает убывать до $-1$, затем возрастает до 0. Теперь построим пять опорных точек: $(0;0)$, $(\frac{\pi}{2};1)$, $(\pi;0)$, $(\frac{3\pi}{2};-1)$, $(2\pi;0)$. Соединяйте их плавной кривой и повторяйте рисунок с периодом $2\pi$." | Строят график синуса, подписывают точки, стрелками отмечают возрастание и убывание. |
4 мин | Учитель предлагает сравнение: "Косинус можно исследовать тем же способом. Его ключевые точки: $(0;1)$, $(\frac{\pi}{2};0)$, $(\pi;-1)$, $(\frac{3\pi}{2};0)$, $(2\pi;1)$. Заметьте, что $\cos x=\sin\left(x+\frac{\pi}{2}\right)$: график косинуса получается сдвигом графика синуса влево на $\frac{\pi}{2}$. Проверьте это по точкам." | Строят график косинуса другим цветом, сравнивают точки и формулируют: "Обе функции имеют период $2\pi$ и значения от $-1$ до $1$; графики отличаются сдвигом". |
Запись в тетрадях
Для $y=\sin x$: $D(f)=\mathbb R$, $E(f)=[-1;1]$, период $2\pi$, нули $x=\pi n$, $n\in\mathbb Z$, максимумы $1$ при $x=\frac{\pi}{2}+2\pi n$, минимумы $-1$ при $x=\frac{3\pi}{2}+2\pi n$. Для $y=\cos x$: $D(f)=\mathbb R$, $E(f)=[-1;1]$, период $2\pi$, нули $x=\frac{\pi}{2}+\pi n$, $n\in\mathbb Z$.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы построили два базовых графика и связали их с единичной окружностью. Теперь проверим, умеем ли мы читать свойства непосредственно по графику и объяснять каждый ответ, а не только называть его."
Этап 5. Первичное закрепление (7 мин)
Цель этапа: закрепить чтение графиков и применение свойств в парной работе.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель раздаёт парам карточки с двумя графиками и инструкцией: "Приём называется ‘Графический диктант’. По графику синуса найдите значение в точке $x=\frac{\pi}{2}$, нули на отрезке $[0;2\pi]$ и промежутки возрастания. По графику косинуса определите значение при $x=\pi$ и точки минимума. Каждый ответ сопровождайте указанием на графике." | В парах находят ответы: $\sin\frac{\pi}{2}=1$, нули синуса $0$, $\pi$, $2\pi$; косинус при $\pi$ равен $-1$, минимум достигается при $x=\pi$. |
4 мин | Учитель организует взаимопроверку: "Обменяйтесь карточками с соседней парой. Проверьте три критерия: правильность координат, соответствие свойствам, наличие объяснения. Поставьте две звезды за точные ответы и одно пожелание, если объяснение можно усилить." Затем разбирает типичную ошибку: смешение нулей синуса и косинуса. | Проверяют работу по критериям, записывают две сильные стороны и одно пожелание, исправляют ошибку в собственной карточке. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "График позволяет быстро получить ответ, но математически сильный ответ содержит и обоснование. Перейдём к самостоятельной проверке, где каждый выберет посильный уровень и покажет личный результат."
Этап 6. Самостоятельная работа с самопроверкой (9 мин)
Цель этапа: проверить индивидуальное умение применять свойства функций и корректировать решение по эталону.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
6 мин | Учитель раздаёт карточки трёх уровней: "Выберите уровень осознанно. Минимум: заполнить свойства обеих функций и назвать значения в ключевых точках. Базовый: определить нули и промежутки монотонности на $[0;2\pi]$. Повышенный: объяснить, почему график $y=\cos x$ получается сдвигом графика синуса. Работайте самостоятельно, решения записывайте полностью." | Выбирают карточку, выполняют задания, строят небольшой фрагмент графика и записывают обоснования. |
3 мин | Учитель открывает эталон: "Сверьте не только итог, но и ход рассуждения. Отметьте зелёным верный шаг, жёлтым — шаг, требующий уточнения, красным — ошибку. Исправление подпишите рядом, не стирая первоначальный ответ." | Сверяют решение, находят и исправляют ошибки, заполняют лист самооценки: «Я могу построить график», «Я могу назвать период», «Мне нужно повторить нули функции». |
Эталон решения
Пример: определить нули функции $y=\cos x$ на $[0;2\pi]$. Косинус равен нулю, когда абсцисса точки единичной окружности равна нулю. Это происходит при $x=\frac{\pi}{2}+\pi n$. На заданном отрезке получаем $x=\frac{\pi}{2}$ и $x=\frac{3\pi}{2}$. Ответ: $\frac{\pi}{2}$; $\frac{3\pi}{2}$.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Самопроверка показала не только количество правильных ответов, но и качество рассуждения. Осталось связать свойства двух функций в единую систему и зафиксировать, что вы унесёте с урока."
Этап 7. Рефлексия и домашнее задание (4 мин)
Цель этапа: обобщить изученное, выявить затруднения и объяснить содержание домашней работы.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель раздаёт билеты на выход: "За одну минуту ответьте на три вопроса: какой период у синуса и косинуса; где находится максимум синуса на $[0;2\pi]$; чем график косинуса связан с графиком синуса? Одним предложением напишите, что сегодня получилось лучше всего." | Заполняют билет: период $2\pi$, максимум синуса при $x=\frac{\pi}{2}$, $\cos x=\sin\left(x+\frac{\pi}{2}\right)$; формулируют личный результат. |
2 мин | Учитель объясняет домашнюю работу: "Обязательный уровень выполняют все. Повышающий и дополнительный уровни выбираются по готовности. В каждом построении соблюдайте единый масштаб, подписывайте ключевые точки и указывайте период. Перед уходом проверьте контрольные вопросы под таблицей задания." | Записывают домашнее задание, задают уточняющие вопросы, сдают билеты на выход. |
Критерии оценивания практической работы
- «5» — верно определены свойства обеих функций, построены оба графика с правильным масштабом и ключевыми точками, решения самостоятельной карточки аргументированы; допущенные неточности исправлены при самопроверке.
- «4» — правильно выполнены основные задания, графики построены верно, но есть одна неточность в формулировке свойства или обосновании, не влияющая на общий результат.
- «3» — правильно выполнена базовая часть: названы область определения, множество значений и период хотя бы для одной функции, построен фрагмент графика, но имеются ошибки в нулях, экстремумах или направлении монотонности.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Что нового вы узнали о графиках $y=\sin x$ и $y=\cos x$? | Выявление осознанного понимания ключевых свойств и связи функций. |
Как по единичной окружности определить максимум, минимум и нули функции? | Проверка понимания происхождения графика, а не механического запоминания. |
Какая ошибка возникла при построении или чтении графика? | Выявление индивидуальных точек затруднения и планирование коррекции. |
Какой уровень домашнего задания вы выбираете и почему? | Формирование самооценки, ответственности и осознанного выбора сложности. |
Завершающее слово учителя
"Сегодня мы построили два базовых графика тригонометрии и увидели, что их свойства напрямую следуют из движения точки по единичной окружности. Важно не путать нули синуса и косинуса и всегда проверять ответ по координатам и графику. Вы научились читать период, значения, экстремумы и промежутки монотонности. На следующем уроке мы исследуем графики функций вида $y=a\sin x$ и $y=a\cos x$ и выясним, как коэффициент меняет амплитуду."
Домашнее задание
Уровень | Что задать | Зачем |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | Выполнить 4 задания на чтение графиков $y=\sin x$ и $y=\cos x$: определить значение функции в ключевой точке, период, нули и множество значений; построить один период каждой функции по пяти опорным точкам. | Закрепляет базовые свойства и алгоритм построения; при проверке смотреть на правильность масштаба, координат и подписей. |
Средний (повышающий) | Решить 4–5 заданий на определение промежутков возрастания и убывания, точек максимума и минимума, а также сравнение значений синуса и косинуса на заданном отрезке. | Развивает графическое чтение и применение свойств; при проверке учитывать указание отрезка и обоснование ответа. |
Продвинутый (дополнительный) | Составить краткое исследование связи графиков $y=\sin x$ и $y=\cos x$: доказать сдвиг на $\frac{\pi}{2}$ по пяти ключевым точкам и подобрать пример периодического процесса, который можно описать одной из функций. | Развивает исследовательское и функциональное мышление; при проверке смотреть на доказательность, точность терминов и самостоятельность примера. |
Контрольные вопросы перед выходом: «Каков период функций $y=\sin x$ и $y=\cos x$?», «Какие значения принимает каждая функция?», «Где находятся нули синуса и косинуса на отрезке $[0;2\pi]$?», «Как построить график косинуса через график синуса?»
