Функции $y=\tg x$ и $y=\ctg x$: свойства и графики
Цели и задачи
- Цель урока: к концу занятия научиться определять область определения, множество значений, нули, промежутки знакопостоянства и монотонности функций $y=\tg x$ и $y=\ctg x$, а также строить их графики на основе свойств.
- Сформировать представление о периодичности, нечётности и разрывах тригонометрических функций тангенса и котангенса.
- Научиться применять свойства функций при чтении и построении графиков, решении заданий с параметрами периодичности.
- Развивать умение анализировать математическую модель, сравнивать объекты и аргументировать выводы.
- Воспитывать аккуратность записи, самостоятельность и ответственное отношение к подготовке к дальнейшему изучению математического анализа и профильным экзаменационным задачам.
Планируемые результаты
Личностные
- Осознают значение функционального подхода для изучения процессов в математике, физике и будущей профессиональной деятельности.
- Проявляют готовность самостоятельно проверять рассуждения и исправлять ошибки в построении графиков.
- Формируют устойчивую учебную мотивацию через исследовательскую работу с графиками и свойствами функций.
- Понимают ценность точной математической речи и доказательного обоснования ответа.
Метапредметные
- Извлекают информацию из графика, таблицы значений и аналитической записи функции.
- Сравнивают свойства $\tg x$ и $\ctg x$, структурируют результаты в таблице.
- Планируют построение графика и осуществляют самопроверку по критериям.
- Аргументированно формулируют выводы при работе в парах и представлении результата классу.
Предметные
- Знать области определения, множества значений, периоды, нули и промежутки знакопостоянства функций $y=\tg x$ и $y=\ctg x$.
- Уметь устанавливать нечётность функций и определять их промежутки монотонности.
- Уметь строить графики функций по ключевым точкам и асимптотам.
- Уметь распознавать графики тангенса и котангенса и применять свойства в стандартных заданиях.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Определяют личный уровень понимания темы через лист самооценки.
- Осознают необходимость аккуратного обращения с ограничениями области определения.
- Проявляют инициативу при выборе способа представления результата.
- Формируют смысл учебной деятельности через связь графиков с математическими моделями.
Регулятивные УУД
- Совместно формулируют цель урока и план её достижения.
- Проверяют построенный график по области определения, периоду и асимптотам.
- Обнаруживают расхождения с эталоном и корректируют решение.
- Оценивают результат по заданным критериям.
Познавательные УУД
- Выделяют существенные признаки функций и отделяют их от второстепенных.
- Устанавливают связи между единичной окружностью, значениями тригонометрических функций и графиком.
- Моделируют график на координатной плоскости по таблице ключевых значений.
- Сравнивают функции с использованием таблицы и диаграммы свойств.
Коммуникативные УУД
- Распределяют роли в паре при исследовании графика.
- Формулируют вопросы и отвечают на них математически точно.
- Аргументируют выбор графика и корректно комментируют решение одноклассника.
- Приходят к общему выводу, учитывая разные способы рассуждения.
Подготовка учителя к уроку
- Подготовить презентацию с единичной окружностью, графиками $y=\tg x$ и $y=\ctg x$, ключевыми значениями и координатной сеткой.
- Распечатать индивидуальные карточки трёх уровней сложности — по одной на каждого ученика.
- Распечатать карточки для парной работы с двумя графиками без подписей — по одной на пару.
- Подготовить лист самооценки с пунктами «Я могу определить...», «Я умею построить...», «Мне нужно повторить...».
- Вывести на доску памятку построения: область определения, период, асимптоты, ключевые точки, монотонность.
- Подготовить маркеры, стикеры трёх цветов и чистые листы для построения графиков.
- Обеспечить проектор или интерактивную доску и заранее проверить отображение математических формул.
- Разместить на доске проблемный вопрос: «Почему график тангенса состоит из отдельных ветвей и не пересекает вертикальные асимптоты?»
Ход урока
Этап 1. Организационный момент и мотивация (3 мин)
Цель этапа: включить учащихся в исследовательскую деятельность и обозначить практический смысл изучения графиков.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель приветствует класс: "Здравствуйте, ребята. Проверьте, пожалуйста, наличие тетради, ручки, линейки и телефона в режиме, который не будет отвлекать от работы. Сегодня мы будем не просто вспоминать формулы, а исследовать два графика и доказывать их свойства." | Проверяют готовность, открывают тетради, записывают дату. |
2 мин | Учитель показывает на экране два неподписанных графика: "Посмотрите на экран. Один график имеет вертикальные разрывы и возрастает на каждой ветви, другой также имеет разрывы, но убывает. Как определить, какая функция изображена? Какие признаки будут надёжными?" Учитель фиксирует версии учеников. | Рассматривают графики, формулируют гипотезы: "Нужно определить направление ветвей, асимптоты, нули и период". |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Сегодня мы проверим ваши гипотезы и составим алгоритм, который позволит уверенно распознавать и строить графики тангенса и котангенса."
Этап 2. Актуализация знаний (6 мин)
Цель этапа: восстановить необходимые сведения о тригонометрических функциях и единичной окружности.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель проводит приём «Подумай — обсуди в паре — поделись»: "Индивидуально за 30 секунд вспомните, что означает $\tg x$ и при каких значениях он не существует. Затем обсудите ответ с соседом и подготовьте одну точную формулировку." | Вспоминают: $\tg x=\frac{\sin x}{\cos x}$; функция не определена при $\cos x=0$, то есть при $x=\frac{\pi}{2}+\pi k$. |
3 мин | Учитель задаёт вопросы и записывает ответы в кластер: "Чему равен период синуса и косинуса? Какие значения имеют синус и косинус? Как связаны тангенс и котангенс? При каких значениях не существует $\ctg x$?" | Отвечают: "Период синуса и косинуса равен $2\pi$"; "$\ctg x=\frac{\cos x}{\sin x}$"; "Котангенс не определён при $x=\pi k$". |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы вспомнили определения и ограничения. Теперь проверим, достаточно ли этих сведений, чтобы полностью описать поведение функций на всей числовой прямой."
Этап 3. Постановка проблемы и целеполагание (4 мин)
Цель этапа: выявить затруднение и совместно сформулировать план исследования функций.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель предлагает задание: "Попробуйте без готового графика перечислить все свойства функции $y=\tg x$: область определения, период, нули, знаки и направление ветвей. Запишите то, что уверенно помните, и отметьте вопросительным знаком то, в чём сомневаетесь." | Индивидуально записывают известные свойства, отмечают затруднения: как доказать периодичность, где расположены нули и асимптоты. |
2 мин | Учитель организует «Снежный ком»: "Объединитесь в пары, сравните списки, затем сформулируйте общий план. Нам необходимо исследовать область определения, периодичность, чётность, нули, знаки, монотонность и график." | Сравнивают записи и формулируют цель: "Научиться получать и использовать полный набор свойств двух функций для построения графиков". |
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Цель определена, план исследования есть. Переходим к открытию свойств, опираясь на определения и уже известные свойства синуса и косинуса."
Этап 4. Открытие нового знания и исследование (12 мин)
Цель этапа: вывести основные свойства функций $y=\tg x$ и $y=\ctg x$ и связать их с видом графиков.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
5 мин | Учитель демонстрирует таблицу свойств тангенса: "Рассмотрим $y=\tg x=\frac{\sin x}{\cos x}$. Знаменатель не должен обращаться в ноль, поэтому $x\ne\frac{\pi}{2}+\pi k$. Прибавление $\pi$ меняет знаки и числителя, и знаменателя, значит отношение сохраняется: $\tg(x+\pi)=\tg x$. Подставьте $-x$ и определите чётность. Найдите нули и направление изменения на интервале $\left(-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}\right)$." | Записывают и обосновывают: $D(y)=\mathbb R\setminus\{\frac{\pi}{2}+\pi k\}$; период $T=\pi$; функция нечётная; нули $x=\pi k$; на каждом промежутке определения возрастает. |
4 мин | Учитель показывает единичную окружность и переход к котангенсу: "Теперь исследуем $y=\ctg x=\frac{\cos x}{\sin x}$. Где функция не определена? Как изменится значение при прибавлении $\pi$? Что произойдёт при замене $x$ на $-x$?" Учитель фиксирует ответы в сравнительной таблице. | Формулируют: $D(y)=\mathbb R\setminus\{\pi k\}$; период $\pi$; котангенс нечётный; нули $x=\frac{\pi}{2}+\pi k$; функция убывает на каждом промежутке определения. |
3 мин | Учитель строит на доске графики по алгоритму: "Сначала нанесём асимптоты, затем ключевые точки. Для тангенса возьмём $-\frac{\pi}{4}$, $0$, $\frac{\pi}{4}$, а для котангенса — $\frac{\pi}{4}$, $\frac{\pi}{2}$, $\frac{3\pi}{4}$. Теперь повторим ветви с периодом $\pi$." | Наносят асимптоты, ключевые точки и ветви графиков; проговаривают: "Тангенс возрастает, котангенс убывает". |
Запись в тетрадях
- $y=\tg x$: $D=\mathbb R\setminus\{\frac{\pi}{2}+\pi k\}$, $E=\mathbb R$, период $\pi$, функция нечётная, нули $x=\pi k$, возрастает на каждом промежутке $( -\frac{\pi}{2}+\pi k;\frac{\pi}{2}+\pi k )$.
- $y=\ctg x$: $D=\mathbb R\setminus\{\pi k\}$, $E=\mathbb R$, период $\pi$, функция нечётная, нули $x=\frac{\pi}{2}+\pi k$, убывает на каждом промежутке $(\pi k;\pi+\pi k)$.
- Алгоритм построения: область определения и асимптоты → ключевые точки → направление ветви → перенос на период.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы получили не набор разрозненных фактов, а алгоритм исследования. Теперь проверим его на конкретных графиках и научимся объяснять каждый признак."
Этап 5. Первичное закрепление в парах (7 мин)
Цель этапа: применить алгоритм к распознаванию и сравнению графиков.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель раздаёт парам карточки с двумя неподписанными графиками: "Рассмотрите графики и заполните таблицу: функция, вертикальные асимптоты, направление ветвей, нули, период. Не угадывайте по внешнему виду — каждый вывод подтвердите свойством." | Распределяют роли, один ученик анализирует асимптоты и нули, второй — монотонность и период; заполняют таблицу. |
3 мин | Учитель предлагает обсудить утверждения: "Тангенс определён при $x=\frac{\pi}{2}+\pi k$. Котангенс возрастает на каждом промежутке определения. График тангенса проходит через начало координат. Отметьте верные утверждения и исправьте неверные." | Отмечают верное утверждение о нуле тангенса, исправляют ошибки: тангенс не определён при $x=\frac{\pi}{2}+\pi k$; котангенс убывает. |
2 мин | Учитель вызывает две пары: "Представьте по одному доказательству. Остальные сравнивают ответ с эталоном и показывают зелёный или жёлтый стикер." | Представляют аргументы, проводят взаимопроверку, исправляют таблицу при необходимости. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Вы научились распознавать функции по системе признаков. Следующий шаг — самостоятельно построить и исследовать график без подсказки пары."
Этап 6. Самостоятельная работа с самопроверкой (9 мин)
Цель этапа: проверить индивидуальное освоение свойств и алгоритма построения графика.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
6 мин | Учитель раздаёт карточки трёх уровней: "Выберите уровень, который позволит показать ваши реальные возможности. На базовом уровне исследуйте $y=\tg x$; на повышенном сравните $y=\tg x$ и $y=\ctg x$; на дополнительном объясните, почему графики не имеют общих точек с вертикальными асимптотами. Работайте индивидуально." | Решают выбранный вариант. Базовый: выписывают область определения, период, нули и строят одну ветвь тангенса. Повышенный: заполняют сравнительную таблицу двух функций и строят фрагменты графиков. Дополнительный: дают доказательное объяснение. |
3 мин | Учитель выводит эталон: "Проверьте решение по четырём критериям: ограничения аргумента, период, ключевые точки, направление ветви. Если нашли ошибку, зачеркните только неверный шаг и рядом запишите исправление." | Сверяют решение с эталоном, выполняют самокоррекцию, отмечают количество верных критериев в листе самооценки. |
Эталон решения
Для $y=\tg x$: 1) $\cos x\ne0$, поэтому $x\ne\frac{\pi}{2}+\pi k$; 2) $\tg(x+\pi)=\tg x$, период $T=\pi$; 3) нули находятся из $\sin x=0$, поэтому $x=\pi k$; 4) на интервале $\left(-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}\right)$ график проходит через точки $\left(-\frac{\pi}{4};-1\right)$, $(0;0)$, $\left(\frac{\pi}{4};1\right)$ и возрастает; 5) затем ветви повторяются через период $\pi$.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Самостоятельная работа показала, какие свойства уже стали инструментом, а какие требуют повторения. Завершим урок осмыслением результата и определим следующий шаг."
Этап 7. Рефлексия и домашнее задание (4 мин)
Цель этапа: зафиксировать новое знание, выявить затруднения и объяснить содержание домашней работы.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель проводит «Билет на выход»: "На стикере завершите три фразы: «Сегодня я научился...», «Для построения графика сначала нужно...», «Мне ещё нужно повторить...». Отдельно ответьте: чем тангенс отличается от котангенса?" | Заполняют стикер: называют освоенный навык, первый шаг алгоритма и личное затруднение; формулируют различие по монотонности и расположению асимптот. |
2 мин | Учитель объясняет домашнюю работу: "Выберите обязательный уровень, затем при желании добавьте повышающий или дополнительный. Важно не только получить ответ, но и записать обоснование области определения и периода." | Записывают домашнее задание, задают уточняющие вопросы, сдают билет на выход. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Сегодня вы научились исследовать две важные тригонометрические функции и строить их графики по свойствам. На следующем уроке применим этот аппарат к преобразованиям графиков и решению уравнений."
Критерии оценивания практической работы
- «5» — верно определены свойства выбранной функции, построены асимптоты и ключевые точки, график имеет правильное направление ветвей; все выводы обоснованы.
- «4» — основная часть свойств и график определены верно, допущена одна неточность в записи области определения, периода или оформлении.
- «3» — правильно определены не менее двух основных свойств и построена узнаваемая часть графика, но требуется исправление ошибок в асимптотах, точках или направлении ветвей.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Что нового вы узнали о графиках $y=\tg x$ и $y=\ctg x$? | Выявление осознанности приобретённых знаний и различий между функциями. |
Какой шаг алгоритма построения оказался самым сложным? | Выявление точки затруднения для коррекции на следующем уроке. |
Почему нельзя включать точки разрыва в график? | Проверка понимания связи области определения и вертикальных асимптот. |
Каким цветом вы оцените свою готовность применять свойства самостоятельно? | Получение субъективной оценки готовности и планирование индивидуальной помощи. |
Завершающее слово учителя
"Сегодня мы увидели, что график тригонометрической функции можно построить не механически, а вывести из её определения и свойств. Главное — сначала установить область определения и период, затем найти ключевые точки и направление ветви. Типичная ошибка — забывать, что точки разрыва не принадлежат области определения. На следующем уроке мы научимся преобразовывать эти графики и использовать их при решении уравнений и неравенств."
Домашнее задание
Уровень | Что задать | Зачем |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | Выполнить 4 задания: для двух заданных функций вида $y=\tg x$ и $y=\ctg x$ указать область определения, период, нули и промежутки монотонности; построить по одному фрагменту каждого графика. | Закрепляет базовый алгоритм исследования; при проверке обратить внимание на ограничения аргумента, асимптоты и направление ветвей. |
Средний (повышающий) | Решить 3 задания на распознавание графика по описанию свойств и 2 задания на построение фрагментов графиков с указанием ключевых точек на отрезке длиной $2\pi$. | Развивает чтение графика и применение периодичности; проверить полноту обоснования и точность координат. |
Продвинутый (дополнительный) | Подготовить краткое доказательство двух утверждений: функции $y=\tg x$ и $y=\ctg x$ нечётные; обе имеют период $\pi$. Затем предложить способ объяснить различие направлений ветвей через производную или единичную окружность. | Развивает доказательное и исследовательское мышление; оценить логичность аргументации и корректность использования математических фактов. |
Контрольные вопросы перед выходом: «При каких значениях не определён тангенс?», «Чему равен основной период обеих функций?», «Где находятся нули тангенса и котангенса?», «Какая функция возрастает, а какая убывает на каждом промежутке области определения?»
