Простейшие текстовые задачи на проценты
Цели и задачи
- Цель по SMART: к концу урока научиться распознавать тип простейшей текстовой задачи на проценты и решать не менее 4 задач из предложенных, записывая краткую модель, вычисления и ответ.
- Закрепить способы нахождения процента от числа, числа по его проценту и процентного отношения двух величин.
- Научиться переводить условие задачи в последовательность действий и проверять разумность полученного ответа.
- Развивать навыки анализа текста, математического моделирования, устного объяснения и самопроверки.
- Формировать ответственное отношение к вычислениям, связанным с покупками, налогами, скидками и личными финансами.
Планируемые результаты
Личностные
- Проявляют интерес к применению процентов в повседневной жизни и будущей профессиональной деятельности.
- Осознают значение точности вычислений при работе с ценами, скидками, налогами и банковскими расчётами.
- Развивают самостоятельность в выборе способа решения и готовность проверить результат.
- Формируют ответственное отношение к финансовой информации.
Метапредметные
- Выделяют в тексте задачи известные величины, неизвестную величину и процентное отношение между ними.
- Строят краткую математическую модель практической ситуации и выбирают последовательность действий.
- Сравнивают разные способы решения, аргументируют выбор и обнаруживают вычислительные ошибки.
- Осуществляют самоконтроль по эталону и оценивают правдоподобие ответа.
Предметные
- Знать смысл выражений «процент от числа», «число по его проценту», «процентное отношение».
- Уметь находить процент от числа с помощью умножения на десятичную дробь.
- Уметь находить число по его проценту делением на соответствующую десятичную дробь.
- Уметь решать задачи на скидки, повышения цены, налоги, доли групп и последовательные изменения величины.
- Владеть проверкой ответа по исходному условию.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Определяют личный смысл изучения процентов через реальные ситуации оплаты, скидок и налогов.
- Проявляют учебную самостоятельность при выборе уровня практического задания.
- Осознают необходимость аккуратной записи промежуточных вычислений.
- Оценивают собственную готовность применять алгоритм без подсказки.
Регулятивные УУД
- Формулируют цель решения конкретной задачи и планируют последовательность действий.
- Контролируют соответствие единиц измерения и процентной записи условию.
- Сверяют решение с эталоном, находят и исправляют ошибку.
- Оценивают достижение цели по количеству самостоятельно решённых задач.
Познавательные УУД
- Классифицируют задачи по типу неизвестной величины.
- Преобразуют текстовую информацию в краткую запись, схему или математическое выражение.
- Применяют анализ, сравнение и обобщение при решении задач с процентами.
- Используют вычислительные модели $a\cdot p/100$ и $a:(p/100)$.
Коммуникативные УУД
- Объясняют партнёру, почему выбран именно такой способ решения.
- Формулируют уточняющие вопросы к условию задачи.
- Согласовывают общий ответ в паре и корректно оценивают решение одноклассника.
- Аргументируют вывод с использованием математических терминов.
Подготовка учителя к уроку
- Подготовить карточки трёх уровней: базовые задачи на процент от числа, задачи на нахождение числа по проценту и повышенные задачи на последовательные изменения.
- Распечатать карточки для работы в парах — по одной на пару, а также индивидуальные листы самопроверки — по одному на ученика.
- Вывести на доску или экран памятку: «процент от числа — умножить на дробь; число по проценту — разделить на дробь; процентное отношение — разделить и умножить на 100%».
- Подготовить карточку с задачей о скидке: цена кефира 40 рублей, пенсионер заплатил 38 рублей.
- Подготовить карточки с задачами о последовательном повышении цены на 20% и затем на 20%, а также о повышении на 30% и затем на 10%.
- Подготовить эталон решения и таблицу самооценки с критериями: правильно определён тип задачи, составлена модель, выполнены вычисления, записан ответ.
- Организовать на доске три рабочие зоны: «Процент от числа», «Число по проценту», «Процентное отношение».
- Подготовить проектор или интерактивную доску, таймер на 3–5 минут, маркеры и стикеры.
- Раздать на каждого ученика лист для самостоятельной работы с двумя вариантами заданий.
Ход урока
Этап 1. Организационный момент и мотивация (3 мин)
Цель этапа: включить учащихся в практическую деятельность и показать значимость процентных вычислений.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | "Здравствуйте, ребята. Сегодня мы будем не столько слушать теорию, сколько решать задачи, с которыми человек встречается при покупке товара, оплате услуг, начислении налога и анализе данных. Проверьте, что у вас есть тетрадь, ручка и калькулятор только для проверки, а не для построения решения." | Проверяют готовность, записывают дату, открывают тетради. |
2 мин | Учитель показывает на экране ситуацию: «Цена товара 1000 рублей, скидка 15%». "Не вычисляйте пока ответ. Скажите, какие величины здесь связаны процентом и что покупателю важно узнать?" Учитель фиксирует ответы на доске и сообщает: "К концу урока вы сможете быстро определить тип такой задачи и решить её без лишних действий." | Формулируют: «известна первоначальная цена и процент скидки, нужно найти размер скидки или новую цену»; называют жизненные ситуации применения процентов. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Проценты встречаются не только в учебнике. Сегодня мы научимся видеть в тексте задачи нужную математическую модель и выбирать короткий, но обоснованный путь решения."
Этап 2. Актуализация знаний (6 мин)
Цель этапа: восстановить три базовых способа работы с процентами и выявить возможные затруднения.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | "Заполните устно три пропуска. 1% от числа $a$ — это ...; $p\%$ от числа $a$ — это ...; если $b$ составляет $p\%$ от неизвестного числа, то неизвестное число находится ..." Учитель принимает несколько формулировок и записывает на доске: $a\cdot p/100$, $b:(p/100)$. | Отвечают: «$a/100$»; «$a\cdot p/100$»; «делением на $p/100$». Записывают формулы в тетрадь. |
2 мин | "Решите быстро устно: 5% от 60; 25% от 800; 48 — это 12% от какого числа? Объясните не только ответ, но и действие." | Выполняют вычисления: «3», «200», «400». Объясняют: «60 умножили на 0,05; 800 умножили на 0,25; 48 разделили на 0,12». |
2 мин | Учитель предлагает приём «Светофор»: "Покажите зелёную карточку, если уверенно различаете два типа задач, жёлтую — если путаете действия, красную — если нужна помощь. Ошибка сейчас полезна: она подскажет, что уточнить." | Показывают карточки, отмечают в листе самооценки затруднение: «процент от числа», «число по проценту» или «процентное отношение». |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы вспомнили основные вычислительные действия. Теперь проверим, достаточно ли их для решения текстовой задачи, где величина изменяется несколько раз или процент относится только к части группы."
Этап 3. Постановка проблемы и целеполагание (4 мин)
Цель этапа: обнаружить необходимость внимательного анализа условия и сформулировать алгоритм решения.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель записывает задачу: «В четверг цена товара поднялась на 20%, в пятницу — ещё на 20%. На сколько процентов товар подорожал по сравнению с первоначальной ценой?» "Можно ли просто сложить 20% и 20%? Обсудите с соседом 30 секунд и объясните." | Обсуждают в парах, предполагают: «40%», затем замечают, что вторые 20% считаются уже от новой цены. |
2 мин | "Сформулируйте цель урока. Что нам нужно научиться делать, чтобы не ошибаться? На доске появится наш план: определить исходную величину; установить, от какой величины берётся процент; выполнить вычисления; проверить ответ." | Формулируют цель: «научиться переводить текст задачи в последовательность действий и решать задачи разных типов»; записывают план. |
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Проблема возникла из-за того, что процент может считаться от разных величин. Сейчас мы разберём это на конкретных задачах и сами выведем удобные способы рассуждения."
Этап 4. Открытие нового знания через практику (9 мин)
Цель этапа: систематизировать алгоритмы решения на основе трёх задач из материала учителя.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель раздаёт парам задачу: «Пакет кефира стоит 40 рублей. Пенсионер заплатил 38 рублей. Сколько процентов составляет скидка?» "Сначала найдите не процент, а размер скидки в рублях. Затем определите, какую часть первоначальной цены составляет эта скидка." | Решают в парах: $40-38=2$ рубля; $2:40\cdot100\%=5\%$. Формулируют: «Скидка составляет 5% первоначальной цены». |
3 мин | "Рассмотрим задачу о двух повышениях: первоначальную цену обозначим $x$. После первого повышения получаем $1,2x$, после второго — $1,2\cdot1,2x=1,44x$. Значит, новая цена составляет 144% первоначальной. На сколько процентов она увеличилась?" Учитель подчёркивает: "Проценты последовательных изменений перемножаются как коэффициенты, а не складываются напрямую." | Записывают модель $x\cdot1,2\cdot1,2=1,44x$, делают вывод: «подорожание составило 44%». |
3 мин | "Теперь классифицируем задачи. Если известны цена и процент скидки, ищем процент от числа. Если известна часть и её процент, ищем число делением. Если сравниваем часть и целое, находим отношение. Прикрепите карточку каждой задачи к соответствующей рабочей зоне." | Классифицируют задачи и объясняют выбор: скидка от цены — «процентное отношение»; 48 учеников составляют 12% участников — «число по проценту»; 5% от 60 рублей — «процент от числа». |
Запись в тетрадях
- $p\%$ от числа $a$: $a\cdot p/100$.
- Если $b$ составляет $p\%$ от числа $x$, то $x=b:(p/100)$.
- Процентное отношение величин $b$ и $a$: $b/a\cdot100\%$.
- При последовательном изменении на $p\%$ используют коэффициент $1+p/100$ при повышении и $1-p/100$ при снижении.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы не выучили отдельные формулы для каждой жизненной ситуации, а увидели общий принцип: сначала определяем, от чего считается процент. Теперь применим алгоритм самостоятельно на разных сюжетах."
Этап 5. Первичное закрепление в парах (7 мин)
Цель этапа: закрепить распознавание типов задач и отработать решение с проговариванием действий.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | "Работаем в парах. На карточке три задачи. В каждой сначала подпишите тип: А — процент от числа, Б — число по проценту, В — процентное отношение. Затем решите две задачи полностью, а третью объясните устно." | Распределяют роли: один читает и составляет модель, второй вычисляет и проверяет. |
3 мин | Учитель предлагает задачи: «Билет взрослого стоит 720 рублей. Билет школьника составляет 50% стоимости взрослого. Сколько стоят билеты для 15 школьников и 2 взрослых?»; «Задачу правильно решили 13230 человек, что составляет 42% выпускников. Сколько всего выпускников?»; «Телефон стоил 3500 рублей, затем его цену снизили до 2800 рублей. На сколько процентов снизили цену?» | Решают: $720\cdot0,5=360$; $15\cdot360+2\cdot720=6840$ рублей. $13230:0,42=31500$. $(3500-2800):3500\cdot100\%=20\%$. |
3 мин | "Поменяйтесь карточками с соседней парой. Проверьте не только ответ, но и модель. Используйте приём «Две звезды и пожелание»: отметьте два удачных шага и одну рекомендацию." | Сверяют решения, записывают партнёрам: «верно определён тип», «есть понятная краткая запись», «проверьте единицы» или другое конкретное пожелание. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Первичное решение показывает, что главное затруднение обычно не в умножении или делении, а в чтении условия. Сейчас каждый проверит, сможет ли решить задачу без поддержки пары."
Этап 6. Самостоятельная работа с самопроверкой (10 мин)
Цель этапа: диагностировать индивидуальное освоение алгоритма на практических задачах.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | "Выберите базовый или повышенный вариант. Базовый вариант обязателен для всех; повышенный можно выбрать, если базовые задачи решаются уверенно. Записывайте не только ответ, но и действие, которое связывает величины." | Выбирают вариант, знакомятся с критериями: модель, вычисления, ответ и проверка. |
6 мин | Учитель выдаёт задания. Базовый вариант: «Пачка масла стоит 60 рублей, скидка 5%. Сколько стоит пачка для пенсионера?»; «В школе французский язык изучают 124 учащихся, это 25% всех учащихся. Сколько учащихся в школе?»; «Заработная плата равна 12500 рублей, налог составляет 13%. Сколько рублей получит работник после вычета налога?» Повышенный вариант: «В сентябре виноград стоил 60 рублей, в октябре подорожал на 25%, в ноябре ещё на 20%. Сколько стоит килограмм в ноябре?»; «При комиссии 5% терминал принимает суммы, кратные 10 рублям. На счёт нужно зачислить не менее 400 рублей. Какую минимальную сумму внести?» | Индивидуально решают выбранные задачи. Получают ответы: 57 рублей; 496 учащихся; 10875 рублей; 90 рублей; для зачисления 400 рублей нужно внести 420 рублей, так как $420\cdot0,95=399$ рублей — недостаточно, поэтому минимальная сумма 430 рублей: $430\cdot0,95=408,5$ рублей. |
3 мин | Учитель открывает эталон на экране: «Для каждого решения проверьте тип задачи, процентную дробь, арифметику и ответ. Исправление ошибки выполняйте другим цветом». Затем проводит краткий разбор одной ошибки без объявления фамилий. | Сверяют решения с эталоном, исправляют ошибки, ставят себе отметку по критериям и отмечают в листе самооценки, какой шаг требует повторения. |
Эталон решения
Для последовательного изменения цены: $60\cdot1,25\cdot1,2=90$ рублей. Для задачи с комиссией: если внесено $x$ рублей, на счёт поступает $0,95x$. Требуется $0,95x\ge400$, поэтому $x\ge400:0,95\approx421,05$. С учётом кратности 10 минимально $430$ рублей.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Самостоятельная работа показала, какой тип задач уже получается без подсказки. Последний шаг — связать способы решения в общую систему и сформулировать личный алгоритм проверки."
Этап 7. Рефлексия и домашнее задание (6 мин)
Цель этапа: осмыслить освоенные способы решения, определить затруднения и получить дифференцированное домашнее задание.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | "Заполните короткий билет на выход. Продолжите фразу: «Если величина составляет $p\%$ от неизвестного числа, я...»; «При двух последовательных повышениях я...»; «Перед записью ответа я проверяю...»." | Письменно завершают три фразы: «делю известную часть на $p/100$»; «умножаю коэффициенты изменений»; «сопоставляю ответ с условием». |
2 мин | Учитель предлагает приём «Светофор»: "Зелёный — уверенно решаю все три типа; жёлтый — нужна тренировка одного типа; красный — необходимо разобрать алгоритм ещё раз. Поднимите карточку и назовите конкретный шаг, который вызвал трудность." | Показывают карточки, называют трудность: «перевод процентов в десятичную дробь», «поиск исходной величины», «последовательные изменения». |
2 мин | "Домашнее задание выбирается по уровню. Выполните обязательный минимум и при желании добавьте повышающий или дополнительный блок. Не забывайте: в каждой задаче должны быть модель, вычисления и ответ с единицами." | Записывают выбранный уровень домашнего задания, задают уточняющие вопросы. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Сегодня вы научились не угадывать действие по знакомым словам, а анализировать, от какой величины считается процент. Это умение пригодится и в бытовых расчётах, и в дальнейшем изучении функций, статистики и финансовых моделей."
Критерии оценивания практической работы
- "5" — верно решены все три базовые задачи или две базовые и обе повышенные, правильно определён тип каждой задачи, записаны модели, вычисления и ответы с единицами.
- "4" — верно решены не менее двух базовых задач, допущена одна вычислительная ошибка либо неполно оформлена проверка, но способ решения выбран правильно.
- "3" — верно решена одна базовая задача и частично выполнена вторая, тип задачи распознан хотя бы в двух случаях, имеются отдельные ошибки в вычислениях или записи процентов.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Что нового вы узнали о различии задач «процент от числа» и «число по его проценту»? | Выявление осознанности различий между основными моделями. |
Какой шаг алгоритма оказался самым сложным: чтение условия, выбор формулы, вычисления или проверка? | Выявление точки затруднения для последующей коррекции. |
Почему при двух последовательных повышениях нельзя всегда складывать проценты? | Проверка понимания изменения базы вычисления. |
В какой жизненной ситуации вы сможете применить сегодняшний способ решения? | Связь учебного материала с функциональной грамотностью и мотивацией. |
Завершающее слово учителя
"Сегодня мы увидели, что текстовая задача на проценты начинается не с вычисления, а с определения исходной величины и смысла процента. Особенно внимательно нужно относиться к последовательным изменениям: новая величина становится базой для следующего процента. Если при решении вы сомневаетесь, вернитесь к краткой записи и проверьте ответ по условию. На следующем уроке мы продолжим применять процентные модели к более сложным практическим ситуациям."
Домашнее задание
Уровень | Что задать | Зачем |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | Решить 4 задачи: одну на нахождение процента от числа, одну на нахождение числа по его проценту, одну на скидку или налог и одну на процентное отношение. В каждой задаче выделить исходную величину и записать краткую модель. | Закрепляет три базовых типа задач; при проверке смотреть на выбор действия, перевод процентов в дробь и наличие ответа с единицами. |
Средний (повышающий) | Решить 3 задачи на последовательное изменение величины: два повышения, повышение и снижение, а также задачу с комиссией или скидкой, зависящей от суммы покупки. | Формирует умение учитывать новую базу процента; при проверке обратить внимание на последовательное умножение коэффициентов и условие «не менее». |
Продвинутый (дополнительный) | Составить и решить собственную практическую задачу на проценты, связанную с ценой, налогом, банковским платежом или составом группы. Представить краткую запись, решение и проверку обратным действием. | Развивает создание математической модели и аргументацию; при проверке оценить корректность условия, однозначность ответа и реалистичность чисел. |
Контрольные вопросы перед выходом: «Как найти $p\%$ от числа $a$? Как найти число, если $b$ составляет $p\%$ этого числа? Почему при последовательных изменениях нужно учитывать новую цену? Как проверить, что ответ задачи на скидку разумен?»
