Соотношения между синусом, косинусом, тангенсом и котангенсом
Цели и задачи
- Цель: к концу урока научиться выводить и применять основные тригонометрические соотношения $\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1$, $\tan\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$ и $\cot\alpha=\frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}$ при решении не менее трёх практических заданий.
- Сформировать понимание взаимосвязи между синусом, косинусом, тангенсом и котангенсом угла, а также условий существования тангенса и котангенса.
- Развивать умение преобразовывать тригонометрические выражения, выбирать рациональный способ решения и проверять область допустимых значений.
- Формировать навыки аргументированного устного ответа, взаимопроверки и самоконтроля при работе с заданиями, аналогичными заданиям профильного уровня.
- Воспитывать ответственное отношение к математическим доказательствам и готовность самостоятельно оценивать достоверность полученного результата.
Планируемые результаты
Личностные
- Осознавать значение точных преобразований и проверки результата для дальнейшего изучения математики и естественно-научных дисциплин.
- Проявлять учебную самостоятельность при выборе способа преобразования тригонометрического выражения.
- Положительно относиться к аргументированному обсуждению математических идей и корректному анализу ошибок.
- Оценивать собственную готовность применять формулы в новых условиях.
Метапредметные
- Извлекать необходимую информацию из формул, условия задачи и опорной схемы.
- Планировать последовательность преобразований, выделяя известные и неизвестные величины.
- Сравнивать несколько способов решения и обосновывать выбор наиболее рационального.
- Выполнять самопроверку по эталону, находить и исправлять ошибку.
- Использовать математическую речь для объяснения хода рассуждений в паре и при фронтальном обсуждении.
Предметные
- Знать основное тригонометрическое тождество $\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1$.
- Знать определения тангенса и котангенса и условия, при которых они существуют.
- Уметь выражать тангенс и котангенс через синус и косинус.
- Уметь находить одну тригонометрическую функцию по значению другой с учётом знака и четверти.
- Уметь применять соотношения при упрощении выражений и решении задач.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Определяют личную учебную цель на урок и соотносят её с будущими задачами по математике.
- Осознают необходимость внимательного отношения к ограничениям в формулах.
- Проявляют готовность принимать конструктивную обратную связь.
- Формируют уверенность в возможности самостоятельно вывести правило из известных фактов.
Регулятивные УУД
- Формулируют цель после выявления затруднения.
- Планируют решение по алгоритму: определить известные данные, выбрать соотношение, преобразовать, проверить.
- Контролируют знаки, знаменатели и соответствие ответа условию.
- Оценивают результат по заданным критериям и корректируют ошибочные действия.
Познавательные УУД
- Устанавливают связь между определениями тригонометрических функций и их алгебраическими соотношениями.
- Преобразуют формулы и моделируют зависимость функций в виде опорной схемы.
- Анализируют условие задачи и выделяют достаточные данные.
- Сравнивают тождественные преобразования и выявляют недопустимые действия.
- Применяют символическую запись для доказательства и обобщения.
Коммуникативные УУД
- Формулируют полный ответ с использованием математических терминов.
- Обсуждают решение в паре, задают уточняющие вопросы и аргументируют возражения.
- Распределяют роли при взаимопроверке: решающий, проверяющий, докладчик.
- Корректно оценивают решение одноклассника по критериям.
- Участвуют в обсуждении нескольких способов решения без подмены доказательства догадкой.
Подготовка учителя к уроку
- Подготовить доску или презентацию с темой, формулами $\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1$, $\tan\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$, $\cot\alpha=\frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}$ и таблицей условий существования функций.
- Подготовить карточки трёх уровней: базовые на применение формул, повышенные на нахождение функции, дополнительные на упрощение выражений; распечатать по одному комплекту на каждого ученика.
- Подготовить мини-лист самопроверки с четырьмя пунктами: формула выбрана, знаменатель проверен, знак определён, ответ проверен.
- Подготовить карточки для приёма «Светофор» или три цветных сигнала на каждого ученика.
- Подготовить на доске координатную окружность с обозначенными четвертями и знаками синуса, косинуса, тангенса и котангенса.
- Предусмотреть работу с текстом и формулами соответствующей темы учебника без указания страниц и номеров упражнений.
- Подготовить таймер, проектор или интерактивную доску для показа заданий и эталона.
- Раздать по одному листу для самостоятельной работы и по одному листу для рефлексии на каждого ученика.
Ход урока
Этап 1. Организационный момент и мотивация (3 мин)
Цель этапа: организовать готовность класса и показать практическую необходимость установления связи между тригонометрическими функциями.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель приветствует класс: "Здравствуйте, ребята. Проверьте, пожалуйста, готовность: тетрадь, ручка, учебник и лист самостоятельной работы должны лежать перед вами. Сегодня нам предстоит не просто вспомнить формулы, а установить, как одна тригонометрическая функция позволяет находить другую." | Проверяют принадлежности, записывают дату, готовят учебник и тетрадь. |
2 мин | Учитель показывает на доске выражение $\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1$ и спрашивает: "Если известно, что $\sin\alpha=\frac{3}{5}$, можно ли найти косинус, тангенс и котангенс? Какие данные нам понадобятся? Запишите предварительную гипотезу, обсудите её в паре и поделитесь выводом." | Самостоятельно формулируют гипотезу, обсуждают её в парах; отвечают: "Можно найти косинус по основному тождеству, а затем тангенс и котангенс через отношение синуса и косинуса". |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы увидели, что четыре функции не являются разрозненными правилами. Сегодня вы выстроите систему соотношений и научитесь использовать её осознанно, проверяя ограничения."
Этап 2. Актуализация знаний (6 мин)
Цель этапа: восстановить определения функций, основное тождество и знаки функций по четвертям.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель организует приём «Блиц-опрос»: "Ответьте коротко, но математически точно. Что называется синусом и косинусом угла? Как связаны координаты точки единичной окружности с этими функциями? Запишите основное тригонометрическое тождество." | Отвечают: "Синус — ордината, косинус — абсцисса точки единичной окружности"; записывают $\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1$. |
3 мин | Учитель показывает координатную окружность: "Назовите знаки синуса и косинуса в каждой четверти. В каких случаях не существует тангенс? В каких — котангенс? Не ограничивайтесь ответом ‘когда нельзя делить’: назовите конкретное условие." | Заполняют таблицу знаков; отвечают: "Тангенс не существует при $\cos\alpha=0$, котангенс — при $\sin\alpha=0$"; приводят примеры углов. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Опорные факты восстановлены: тождество связывает синус и косинус, а определения тангенса и котангенса требуют контроля знаменателя. Теперь выясним, как объединить эти сведения в удобный алгоритм."
Этап 3. Постановка проблемы и целеполагание (4 мин)
Цель этапа: выявить затруднение при нахождении неизвестных функций и сформулировать цель урока.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель предлагает задачу: "Известно, что $\cos\alpha=-\frac{4}{5}$ и угол $\alpha$ расположен во второй четверти. Найдите $\sin\alpha$, $\tan\alpha$ и $\cot\alpha$. Какие действия вы выполните первыми? Где можно ошибиться?" | Определяют, что сначала нужно применить основное тождество, затем выбрать знак синуса по четверти; называют риск ошибки со знаком и делением на ноль. |
2 мин | Учитель фиксирует ответы на доске и спрашивает: "Сформулируйте цель урока одним предложением. Какие шаги должны войти в алгоритм?" | Формулируют цель: "Научиться находить связанные тригонометрические функции по известной функции и применять соотношения при преобразованиях"; предлагают алгоритм. |
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Затруднение состоит не в одной формуле, а в согласованном выборе нескольких формул и знака. Перейдём к выводу соотношений и проверим их на исходной задаче."
Этап 4. Открытие и систематизация нового знания (10 мин)
Цель этапа: вывести и структурировать основные соотношения между четырьмя тригонометрическими функциями.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
4 мин | Учитель обращается к определению: "Посмотрите на единичную окружность и на прямоугольный треугольник, полученный из радиуса. Запишем основное тождество. Теперь выразим косинус: $\cos^2\alpha=1-\sin^2\alpha$. При извлечении корня знак выбираем не механически, а по четверти угла. Аналогично $\sin^2\alpha=1-\cos^2\alpha$." | Записывают преобразования, проговаривают: "Знак синуса и косинуса определяется четвертью"; задают вопросы о выборе знака. |
3 мин | Учитель записывает: "По определениям функций получаем $\tan\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$ при $\cos\alpha\ne0$ и $\cot\alpha=\frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}$ при $\sin\alpha\ne0$. Перемножим отношения: $\tan\alpha\cdot\cot\alpha=1$, если обе функции определены. Обратите внимание: условие является частью утверждения." | Записывают формулы и ограничения, составляют в тетради опорную схему: основное тождество — отношения — произведение. |
3 мин | Учитель предлагает «Сократовский диалог»: "Если разделить основное тождество на $\cos^2\alpha$, какое соотношение получится? А если разделить на $\sin^2\alpha$? Почему эти действия допустимы не всегда?" | Пошагово получают $1+\tan^2\alpha=\frac{1}{\cos^2\alpha}$ при $\cos\alpha\ne0$ и $1+\cot^2\alpha=\frac{1}{\sin^2\alpha}$ при $\sin\alpha\ne0$; называют условия допустимости. |
Запись в тетрадях
Записать опорную схему: $\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1$; $\tan\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$, $\cos\alpha\ne0$; $\cot\alpha=\frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}$, $\sin\alpha\ne0$; $\tan\alpha\cdot\cot\alpha=1$; $1+\tan^2\alpha=\frac{1}{\cos^2\alpha}$; $1+\cot^2\alpha=\frac{1}{\sin^2\alpha}$.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы не заучили набор изолированных формул, а вывели их из определений и основного тождества. Теперь применим схему сначала вместе, затем самостоятельно."
Этап 5. Первичное закрепление (7 мин)
Цель этапа: отработать алгоритм нахождения функций по известному значению и знаку четверти.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
4 мин | Учитель разбирает задачу: "Известно, что $\cos\alpha=-\frac{4}{5}$, а $\alpha$ находится во второй четверти. Найдите $\sin\alpha$, $\tan\alpha$ и $\cot\alpha$. Сначала назовите план, затем выполните вычисления, не пропуская знак." Учитель просит одного ученика комментировать решение, а класс сверяет каждый шаг. | Называют план: применить тождество, выбрать знак, выразить тангенс и котангенс. Записывают решение и отвечают: "$\sin\alpha=\frac{3}{5}$, $\tan\alpha=-\frac{3}{4}$, $\cot\alpha=-\frac{4}{3}$". |
3 мин | Учитель предлагает взаимопроверку: "Сравните решение с эталоном на доске. Проверьте четыре позиции: тождество, знак, отношение, сокращение дроби. Если нашли расхождение, объясните его соседу по парте, а не просто исправьте ответ." | В парах проверяют записи по чек-листу, отмечают ошибки и формулируют взаимную рекомендацию: "Сначала укажи четверть и знак, затем подставляй в отношение". |
Эталон решения
$\sin^2\alpha=1-\cos^2\alpha=1-\frac{16}{25}=\frac{9}{25}$. Во второй четверти синус положителен, поэтому $\sin\alpha=\frac{3}{5}$. Далее $\tan\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}=\frac{3/5}{-4/5}=-\frac{3}{4}$, а $\cot\alpha=\frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}=\frac{-4/5}{3/5}=-\frac{4}{3}$. Проверка: $\tan\alpha\cdot\cot\alpha=1$.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Алгоритм работает, если мы учитываем четверть и не забываем условия существования функций. Теперь каждый проверит, насколько уверенно умеет применять его без подсказки."
Этап 6. Самостоятельная работа с самопроверкой (9 мин)
Цель этапа: диагностировать индивидуальное владение соотношениями на заданиях трёх уровней.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель раздаёт карточки: "Выберите базовый, повышенный или дополнительный маршрут. Базовый обязателен для всех. Записывайте не только ответ, но и формулу, которую применяете. На работу — семь минут." | Выбирают уровень, читают критерии и приступают к индивидуальному решению. |
6 мин | Учитель наблюдает, задаёт индивидуальные вопросы: "Какое условие нужно проверить перед делением? Откуда берётся знак? Можно ли здесь применить $\tan\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$?" Не сообщает готовый ответ. | Решают выбранные задания. Базовый вариант: при $\sin\alpha=\frac{5}{13}$ и остром угле найти косинус, тангенс и котангенс; упростить $\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}\cdot\frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}$. Повышенный: по $\tan\alpha=-\frac{3}{4}$ во второй четверти найти синус и косинус. Дополнительный: упростить $\frac{1-\cos^2\alpha}{\sin\alpha\cos\alpha}$ с указанием ограничений. |
2 мин | Учитель демонстрирует эталон на доске и организует самопроверку: "Поставьте плюс за верный пункт и знак вопроса там, где требуется коррекция. Ошибку исправьте другой строкой, сохранив первоначальный вариант." | Сверяют решения, подсчитывают выполненные пункты, исправляют ошибки и отмечают причину: формула, знак, вычисление или ограничение. |
Эталон решения
Для базового варианта: $\cos^2\alpha=1-\frac{25}{169}=\frac{144}{169}$, для острого угла $\cos\alpha=\frac{12}{13}$; $\tan\alpha=\frac{5}{12}$; $\cot\alpha=\frac{12}{5}$. Произведение отношений равно $1$ при ненулевых синусе и косинусе. Для повышенного варианта во второй четверти $\sin\alpha=\frac{3}{5}$, $\cos\alpha=-\frac{4}{5}$. Для дополнительного варианта: $\frac{1-\cos^2\alpha}{\sin\alpha\cos\alpha}=\frac{\sin^2\alpha}{\sin\alpha\cos\alpha}=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}=\tan\alpha$, при $\sin\alpha\ne0$ и $\cos\alpha\ne0$.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Самостоятельная работа показала, что вычислительный навык уже формируется, но качество решения определяется записью условий и знаков. Завершим урок проверкой понимания и личной оценкой результата."
Этап 7. Рефлексия и домашнее задание (6 мин)
Цель этапа: обобщить изученное, выявить затруднения и зафиксировать дифференцированное домашнее задание.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель проводит рефлексию «Светофор»: "Покажите зелёный сигнал, если можете по одной функции найти остальные; жёлтый — если нужна тренировка знаков или ограничений; красный — если пока не можете начать решение. На листе допишите один конкретный вопрос, который остался." | Показывают сигнал, письменно завершают фразы: "Сегодня я понял...", "Мне нужно повторить...", "В следующей задаче я сначала проверю...". |
3 мин | Учитель сообщает задание: "Выберите обязательный уровень и, если готовы, добавьте повышающий или дополнительный. Перед выходом ответьте на два контрольных вопроса: почему нельзя делить основное тождество на $\cos^2\alpha$ при $\cos\alpha=0$? Как определить знак функции по четверти?" | Записывают домашнее задание, устно отвечают: "Потому что деление на ноль невозможно"; "Знак определяется расположением угла на координатной окружности". |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Сегодня вы связали четыре тригонометрические функции в единую систему. Ваш следующий шаг — научиться применять эти связи при преобразовании более сложных выражений и решении тригонометрических уравнений."
Критерии оценивания практической работы
- «5» — верно выполнены все задания выбранного обязательного и повышенного уровня, корректно записаны формулы, знаки и ограничения; решение содержит понятное обоснование.
- «4» — верно выполнено большинство заданий, допущена одна вычислительная или оформительская ошибка, не повлиявшая на выбор способа решения.
- «3» — выполнен обязательный базовый блок не менее чем наполовину, правильно записано основное тождество и показан общий способ нахождения неизвестной функции, но есть ошибки в знаках или вычислениях.
- «2» — не выполнен обязательный блок либо отсутствует понимание связи между основным тождеством и отношениями тангенса и котангенса.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Какое соотношение сегодня стало для вас главным и почему? | Выявление осознания структуры нового знания, а не механического запоминания формул. |
Какой шаг алгоритма оказался самым сложным: выбор формулы, знак, вычисление или проверка ограничения? | Выявление точки затруднения для последующей коррекции. |
Что произойдёт с решением, если не указать четверть угла? | Проверка понимания роли знака тригонометрической функции. |
Какое задание вы готовы решить самостоятельно на следующем уроке? | Оценка субъективной готовности и уровня учебной самостоятельности. |
Завершающее слово учителя
"Сегодня мы установили, что синус, косинус, тангенс и котангенс образуют связанную систему, а не набор отдельных формул. Особенно важно помнить о знаке функции и условиях, при которых допустимо деление. Типичная ошибка — извлечь квадратный корень без учёта четверти или сократить выражение, не проверив знаменатель. На следующем уроке мы применим эти соотношения к преобразованию тригонометрических выражений и более сложным задачам. Прошу сохранить опорную схему: она станет инструментом для дальнейшей работы."
Домашнее задание
Уровень | Что задать | Зачем |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | Решить 4 задачи: по заданному значению синуса или косинуса и указанной четверти найти остальные основные функции; дополнительно выполнить 2 коротких задания на запись тангенса и котангенса через синус и косинус. | Закрепляет основной алгоритм; при проверке обратить внимание на выбор знака, условия существования и последовательность преобразований. |
Средний (повышающий) | Решить 3 задачи на применение соотношений $1+\tan^2\alpha=\frac{1}{\cos^2\alpha}$ и $1+\cot^2\alpha=\frac{1}{\sin^2\alpha}$, а также 2 задания на упрощение тригонометрических выражений. | Развивает умение выбирать рациональную формулу и выполнять тождественные преобразования с указанием ограничений. |
Продвинутый (дополнительный) | Составить и решить собственную задачу, в которой по одной тригонометрической функции и четверти находятся три другие; затем предложить два способа проверки ответа и кратко объяснить, какой способ надёжнее. | Формирует исследовательское и критическое мышление; при проверке оценить корректность условия, полноту доказательства и обоснование выбора способа. |
Контрольные вопросы перед выходом из класса: «Как записывается основное тригонометрическое тождество? При каком условии существует тангенс? Как найти знак синуса или косинуса по четверти? Почему произведение тангенса и котангенса равно единице не для любого угла?»
