Арифметический корень n-й степени
Цели и задачи
- Цель урока: к концу занятия научиться определять арифметический корень n-й степени, записывать его с помощью радикала и применять определение при вычислении простейших значений.
- Образовательная задача: сформулировать определение арифметического корня n-й степени и установить условия существования арифметического корня.
- Развивающая задача: развивать умение анализировать математическое условие, выдвигать гипотезу, проверять её возведением в степень и аргументировать вывод.
- Практическая задача: научиться вычислять значения выражений вида $\sqrt[n]{a}$ при известных значениях степеней и различать арифметический корень и корни уравнения $x^n=a$.
- Воспитательная задача: формировать ответственное отношение к точности математической записи, взаимопомощь при парной работе и готовность к самостоятельной проверке решения.
Планируемые результаты
Личностные
- Осознают значение точного определения для дальнейшего изучения степенных и показательных выражений.
- Проявляют учебную самостоятельность при выборе способа проверки результата.
- Понимают связь алгебраических знаний с математическими моделями в естественно-научных и технических дисциплинах.
- Принимают необходимость аргументированно объяснять решение и корректно обсуждать разные способы рассуждения.
Метапредметные
- Формулируют учебную цель на основе выявленного затруднения и планируют последовательность действий.
- Извлекают информацию из определения, математической записи и интерактивной демонстрации.
- Сравнивают арифметический корень с решениями уравнения $x^n=a$, находят существенные признаки и контрпримеры.
- Работают в паре, задают уточняющие вопросы, представляют и проверяют общий вывод.
Предметные
- Знать определение арифметического корня n-й степени из неотрицательного числа.
- Знать, что при чётном $n$ подкоренное выражение должно быть неотрицательным, а при нечётном $n$ арифметический корень существует для любого действительного подкоренного числа.
- Уметь записывать утверждение $\sqrt[n]{a}=b$ и проверять его условиями $b\geqslant0$ и $b^n=a$.
- Уметь вычислять простейшие значения корней и отличать арифметический корень от всех корней уравнения $x^n=a$.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Осмысливают личную учебную цель: научиться обосновывать значение корня, а не только угадывать его.
- Проявляют готовность исправлять ошибку после проверки возведением в степень.
- Выражают познавательный интерес к связи корня с обратным действием возведения в степень.
- Соблюдают академическую честность при индивидуальной самопроверке.
Регулятивные УУД
- Принимают и уточняют цель урока.
- Планируют алгоритм проверки значения корня по двум условиям.
- Контролируют знак результата и область допустимых значений.
- Оценивают собственное продвижение по листу самооценки и корректируют ошибки.
Познавательные УУД
- Выделяют существенные признаки арифметического корня n-й степени.
- Сравнивают случаи чётного и нечётного показателя корня.
- Строят математическую модель ситуации $\sqrt[n]{a}=b$.
- Используют возведение в степень как способ проверки гипотезы и результата.
Коммуникативные УУД
- Распределяют роли в паре: объясняющий и проверяющий.
- Формулируют вопросы к условию и аргументируют выбор ответа.
- Сверяют решения с партнёром по заданным критериям.
- Корректно уточняют и дополняют математическое высказывание одноклассника.
Подготовка учителя к уроку
- Подготовить презентацию или интерактивную доску с примерами $2^3=8$, $(-2)^3=-8$, $3^2=9$, $(-3)^2=9$ и вопросом о значении корня.
- Распечатать листы самооценки и карточки для парной работы трёх уровней — по одной карточке на пару, всего по числу пар.
- Подготовить индивидуальные карточки для самостоятельной работы — по одной на каждого ученика.
- Вывести на доску памятку: «$\sqrt[n]{a}=b$ тогда и только тогда, когда $b\geqslant0$ и $b^n=a$».
- Подготовить таблицу сравнения случаев чётного и нечётного показателя $n$.
- Подготовить проектор, компьютер и интерактивную доску; проверить отображение математических формул.
- Разместить на доске проблемный вопрос: «Почему $\sqrt[3]{-8}=-2$, а выражение $\sqrt[2]{-9}$ не имеет значения среди действительных чисел?».
- Подготовить маркеры, листы формата А4 для парных выводов и стикеры для рефлексии.
Ход урока
Этап 1. Организационный этап и мотивация (3 мин)
Цель этапа: организовать класс, включить учащихся в исследование нового понятия и обозначить практическую ценность точной математической записи.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель приветствует класс и проверяет готовность: "Здравствуйте. Сегодня нам понадобятся тетрадь, ручка и готовность доказывать свои ответы. На экране вы видите четыре равенства: $2^3=8$, $(-2)^3=-8$, $3^2=9$, $(-3)^2=9$. Внимательно прочитайте их и определите, какое обратное действие мы будем исследовать." | Открывают тетради, читают равенства, формулируют предположение: "Будем находить число по его степени, то есть исследовать корень". |
2 мин | Учитель показывает на экране проблемный вопрос: "Почему кубический корень из отрицательного числа существует, а квадратный корень из отрицательного числа среди действительных чисел не определяется? Не спешите отвечать — сегодня мы выведем правило и проверим его на примерах." Используется приём «Проблемный вопрос». | Записывают тему, высказывают предварительные гипотезы: "При нечётной степени знак сохраняется", "Квадрат действительного числа не бывает отрицательным". |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы увидели, что одного названия «корень» недостаточно: нужно точно указать показатель, подкоренное число и условия существования. Теперь восстановим знания, которые помогут нам сформулировать новое определение."
Этап 2. Актуализация знаний (6 мин)
Цель этапа: актуализировать свойства степеней и подготовить учащихся к выводу определения арифметического корня.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель организует приём «Подумай — обсуди в паре — поделись»: "Сначала самостоятельно вычислите $2^4$, $(-2)^4$, $2^5$, $(-2)^5$. Затем за одну минуту сравните результаты с соседом и сформулируйте правило о знаке степени." | Вычисляют значения: $16$, $16$, $32$, $-32$; обсуждают в парах и формулируют: "При чётном показателе результат неотрицателен, при нечётном сохраняется знак основания". |
3 мин | Учитель задаёт вопросы и фиксирует ответы в таблице на доске: "Какое число является решением уравнения $x^3=27$? А какие решения имеет $x^2=9$? Почему нельзя просто написать одно общее правило без уточнения знака результата?" | Отвечают: "$x=3$"; "$x=3$ и $x=-3$"; объясняют, что при извлечении арифметического корня выбирают неотрицательное значение. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы вспомнили, что степень может иметь один или два действительных прообраза, но нам нужно выбрать строго определённый, неотрицательный. Зафиксируем, как этот выбор записывается математически."
Этап 3. Выявление проблемы и целеполагание (4 мин)
Цель этапа: выявить затруднение в различении арифметического корня и решений уравнения и совместно сформулировать цель урока.
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель предлагает сравнить записи: "$\sqrt{9}$ и решения уравнения $x^2=9$. Это одно и то же или разные математические объекты? Обсудите с партнёром и приведите аргумент." | В парах сравнивают записи и отвечают: "$\sqrt{9}=3$, а уравнение имеет два решения: $3$ и $-3$"; аргументируют различие знаком результата. |
2 мин | Учитель спрашивает: "Какое знание позволит без угадывания определить значение выражения $\sqrt[n]{a}$? Сформулируйте цель урока одним предложением. Какие шаги нам понадобятся?" Учитель записывает предложения учащихся на доске. | Формулируют цель: "Узнать определение арифметического корня и научиться вычислять его". Предлагают план: определить условия, записать обозначение, проверить примерами. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Цель определена: мы не просто найдём несколько значений, а построим универсальный критерий. Переходим к исследованию определения и его условий."
Этап 4. Открытие нового знания с использованием ИКТ (10 мин)
Цель этапа: вывести и осмыслить определение арифметического корня n-й степени, используя таблицу и интерактивную проверку степеней.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
4 мин | Учитель выводит на экран таблицу: $2^3=8$, $\sqrt[3]{8}=2$; $3^2=9$, $\sqrt{9}=3$; $(-2)^3=-8$, $\sqrt[3]{-8}=-2$. Обращается к классу: "Во всех примерах найдите число, которое после возведения в степень даёт подкоренное выражение. Какой дополнительный признак есть у результата корня?" | Заполняют пропуски в устных примерах, отвечают: "Результат корня при арифметическом извлечении неотрицателен"; уточняют, что при нечётном показателе подкоренное число может быть отрицательным. |
3 мин | Учитель формулирует и записывает на доске: "Арифметическим корнем n-й степени из неотрицательного числа $a$ называется неотрицательное число $b$, такое что $b^n=a$. Обозначение: $\sqrt[n]{a}=b$. Следовательно, равенство верно тогда и только тогда, когда $b\geqslant0$ и $b^n=a$." Учитель просит выделить два условия. | Записывают определение и выделяют условия $b\geqslant0$ и $b^n=a$. Проговаривают их в парах по очереди. |
3 мин | Учитель использует интерактивную доску: показывает изменение показателя $n$ и предлагает классифицировать выражения $\sqrt[4]{16}$, $\sqrt[3]{-27}$, $\sqrt[2]{-4}$. Комментирует: "Для чётного показателя в действительных числах подкоренное выражение должно быть неотрицательным. Для нечётного показателя допустимо любое действительное подкоренное число." | Выполняют классификацию: "$\sqrt[4]{16}=2$", "$\sqrt[3]{-27}=-3$", "$\sqrt{-4}$ не имеет действительного значения"; объясняют каждый ответ проверкой степенью. |
Запись в тетрадях
Ученики записывают: «Арифметический корень n-й степени из числа $a$ — это неотрицательное число $b$, для которого $b^n=a$. Условия: $b\geqslant0$, $b^n=a$. При чётном $n$ требуется $a\geqslant0$; при нечётном $n$ допустимо любое действительное $a$.»
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Определение содержит два обязательных условия: степень должна вернуть подкоренное число, а результат должен быть неотрицательным. Теперь применим критерий сначала вместе, а затем самостоятельно."
Этап 5. Первичное закрепление и межпредметная связь (7 мин)
Цель этапа: закрепить алгоритм вычисления корня и показать его применение в естественно-научной модели.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
4 мин | Учитель раздаёт каждой паре карточку: «Вычислите $\sqrt[3]{64}$, $\sqrt[4]{81}$, $\sqrt[5]{-32}$ и объясните каждое значение двумя условиями определения». Инструкция: "Один ученик называет предполагаемый результат, второй проверяет его возведением в степень, затем поменяйтесь ролями." | Работают в парах, записывают проверки: $4^3=64$, $3^4=81$, $(-2)^5=-32$. Формулируют: "$\sqrt[3]{64}=4$, $\sqrt[4]{81}=3$, $\sqrt[5]{-32}=-2$". |
3 мин | Учитель предлагает межпредметную задачу: "Объём куба равен $125\text{ см}^3$. Длина его ребра равна $\sqrt[3]{125}$. Найдите длину ребра и объясните, почему выбирается только положительное значение." | Решают: $\sqrt[3]{125}=5$, потому что $5^3=125$; указывают, что длина отрезка не может быть отрицательной. |
Эталон решения
Пусть длина ребра куба равна $a$. Тогда $a^3=125$ и $a>0$. Так как $5^3=125$, получаем $a=\sqrt[3]{125}=5\text{ см}$. Отрицательное значение не выбирается, поскольку длина является неотрицательной величиной.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы применили определение не только к числам, но и к величине из геометрии. Важно, что знак и смысл величины помогают выбрать правильный результат. Теперь каждый проверит себя без помощи партнёра."
Этап 6. Самостоятельная работа с самопроверкой (10 мин)
Цель этапа: диагностировать индивидуальное понимание определения, условий существования и различия между корнем и решением уравнения.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
6 мин | Учитель раздаёт индивидуальные карточки: «Вычислите $\sqrt{49}$, $\sqrt[3]{-125}$, $\sqrt[4]{256}$. Затем определите, верно ли утверждение: $\sqrt{81}=\pm9$. Ответ обоснуйте». Учитель напоминает: "Сначала записывайте предполагаемое значение, затем обязательную проверку степенью и знак результата." | Самостоятельно решают: $\sqrt{49}=7$, $\sqrt[3]{-125}=-5$, $\sqrt[4]{256}=4$. Отмечают утверждение $\sqrt{81}=\pm9$ как неверное и исправляют: $\sqrt{81}=9$. |
4 мин | Учитель выводит эталон на экран и предлагает самопроверку: "Сверьте не только ответы, но и обоснование. За каждый верный результат — один балл, за корректное объяснение условия — дополнительный балл. Ошибку не зачёркивайте молча: подпишите, на каком шаге возникло затруднение." | Проверяют работу по эталону, подсчитывают баллы, отмечают тип ошибки в листе самооценки: вычисление, знак, условие существования или различение корня и уравнения. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Самостоятельная проверка показала, что алгоритм уже работает, но особенно внимательно нужно следить за неотрицательностью арифметического корня. Осталось обобщить правило и зафиксировать, что каждый из вас теперь умеет делать."
Этап 7. Рефлексия и домашнее задание (5 мин)
Цель этапа: осмыслить результат урока, выявить оставшиеся затруднения и сообщить дифференцированное домашнее задание.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель проводит рефлексию «Светофор»: "Покажите цвет, который соответствует вашему состоянию: зелёный — могу по определению найти корень и проверить его; жёлтый — понимаю определение, но путаюсь в условиях; красный — нужна помощь. На стикере допишите одно предложение: «Теперь я умею…»" | Поднимают карточку выбранного цвета и записывают завершение фразы: "Теперь я умею проверять значение корня возведением в степень" или формулируют конкретный вопрос. |
2 мин | Учитель сообщает домашнее задание: "Выберите уровень, ориентируясь на результат самостоятельной работы. Базовый обязателен для всех; средний и продвинутый можно выполнить дополнительно. Перед уходом ответьте на контрольный вопрос: чем арифметический корень отличается от решения уравнения?" | Записывают выбранный уровень задания, отвечают: "Арифметический корень неотрицателен, а уравнение может иметь два противоположных корня". |
1 мин | Учитель благодарит за работу: "Сдайте стикеры и листы самооценки. По вашим ответам я определю, какие примеры включить в начало следующего урока." | Сдают стикеры, листы самооценки и индивидуальные работы. |
Критерии оценивания практической работы
- «5» — верно выполнены все три вычисления, правильно определено утверждение о $\sqrt{81}$, в каждом случае записана проверка возведением в степень и корректно объяснены условия определения.
- «4» — верно выполнены не менее трёх из четырёх заданий, но допущена одна неточность в объяснении знака или оформлении проверки.
- «3» — верно выполнены два задания, при этом ученик понимает необходимость неотрицательного результата, но допускает ошибки в вычислении или различении корня и решения уравнения.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Что такое арифметический корень n-й степени и какими двумя условиями проверяется равенство $\sqrt[n]{a}=b$? | Проверка осознания определения и его существенных признаков. |
Почему $\sqrt{81}=9$, а не $\pm9$? | Выявление понимания различия между арифметическим корнем и корнями уравнения. |
Как определить, существует ли корень в действительных числах при чётном и нечётном показателе? | Диагностика понимания области существования корня. |
На каком шаге самостоятельной работы возникло затруднение? | Выявление точек затруднения для коррекции на следующем уроке. |
Завершающее слово учителя
"Сегодня мы установили, что арифметический корень — это не любое решение уравнения, а неотрицательное число, степень которого равна подкоренному выражению. Мы научились проверять корень по двум условиям и применять его в задаче о длине ребра куба. Типичная ошибка — записывать знак «плюс-минус» перед арифметическим корнем, хотя такой знак относится к решениям уравнения. На следующем уроке мы продолжим работу со свойствами корней и будем преобразовывать выражения, опираясь на сегодняшнее определение."
Домашнее задание
Уровень | Что задать | Зачем |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | Выполнить 4–5 заданий на вычисление арифметических корней второй, третьей и четвёртой степени по известным степеням; для каждого ответа записать проверку возведением в степень. | Закрепить определение и алгоритм проверки; при проверке обратить внимание на знак результата и точность записи радикала. |
Средний (повышающий) | Выполнить 3 задания на определение существования корня в действительных числах при чётном и нечётном показателе и 2 задания на различение выражения $\sqrt[n]{a}$ и решений уравнения $x^n=a$. | Закрепить условия существования и умение аргументировать различие математических объектов. |
Продвинутый (дополнительный) | Составить и решить 2 практические задачи, в которых длина, площадь или объём находятся через арифметический корень n-й степени; отдельно объяснить, почему выбирается неотрицательное значение. | Перенести определение в реальный контекст и развить умение самостоятельно создавать математическую модель. |
Контрольные вопросы перед выходом из класса: «Какое число называется арифметическим корнем? Почему результат арифметического корня неотрицателен? Чем отличается $\sqrt{a}$ от решений уравнения $x^2=a$? При каком условии выражение $\sqrt[4]{a}$ имеет действительное значение?»
