Арифметическая и геометрическая прогрессии. Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии
Цели и задачи
- Цель урока по SMART: к концу урока научиться распознавать арифметическую и геометрическую прогрессии, находить их основные характеристики и применять формулу суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии при условии $|q|<1$ в учебных и практико-ориентированных задачах.
- Вывести и осознанно применять формулу суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии $S=\frac{b_1}{1-q}$ при $|q|<1$.
- Научиться различать арифметическую и геометрическую прогрессии по способу перехода от одного члена к следующему и выбирать соответствующую формулу.
- Развивать умение выдвигать гипотезу, проверять её на числовых примерах, аргументировать решение и выполнять самопроверку с использованием цифрового инструмента.
- Показать связь прогрессий с финансовыми расчётами, моделированием повторяющихся процессов и задачами повышенного уровня.
Планируемые результаты
Личностные
- Осознают ценность математического моделирования для анализа финансовых и естественно-научных процессов.
- Проявляют ответственное отношение к самостоятельной проверке вычислений и обоснованию ответа.
- Развивают учебную мотивацию через понимание связи темы с будущим обучением и практическими задачами.
- Формируют готовность к интеллектуальному риску: выдвижению гипотезы и корректировке решения при обнаружении ошибки.
Метапредметные
- Сравнивают последовательности, выделяют закономерность и классифицируют их как арифметические или геометрические.
- Планируют решение задачи, выбирают формулу и оценивают правдоподобие результата.
- Извлекают информацию из условия, математической записи, таблицы значений и компьютерной визуализации.
- Аргументируют выводы в паре и используют цифровой инструмент для проверки гипотезы.
Предметные
- Знать определения арифметической прогрессии, геометрической прогрессии и бесконечно убывающей геометрической прогрессии.
- Уметь находить разность арифметической прогрессии и знаменатель геометрической прогрессии.
- Уметь применять формулы $a_n=a_1+(n-1)d$, $b_n=b_1q^{n-1}$ и $S_n=\frac{b_1(1-q^n)}{1-q}$ при $q\ne1$.
- Уметь объяснять условие существования суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии $|q|<1$ и вычислять её по формуле $S=\frac{b_1}{1-q}$.
- Уметь проверять полученный результат через сумму первых нескольких членов и оценивать величину остатка.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Определяют личный уровень понимания формул и фиксируют затруднение без сокрытия ошибки.
- Осознают практический смысл предельного перехода при вычислении суммы бесконечного процесса.
- Проявляют самостоятельность при выборе способа проверки результата.
- Связывают изучаемый материал с дальнейшим изучением функций, пределов и математического анализа.
Регулятивные УУД
- Формулируют цель урока на основе проблемного вопроса.
- Составляют алгоритм выбора формулы для заданной последовательности.
- Проверяют вычисления подстановкой и сравнением с приближённой суммой.
- Обнаруживают ошибку в знаке знаменателя или условии $|q|<1$ и корректируют решение.
- Оценивают достижение цели с помощью листа самооценки и билета на выход.
Познавательные УУД
- Выделяют общий признак арифметической и геометрической прогрессий.
- Преобразуют словесное условие в математическую модель.
- Выводят формулу суммы бесконечной прогрессии из формулы суммы первых $n$ членов.
- Сравнивают точное значение суммы с приближением, полученным цифровым способом.
- Строят и интерпретируют последовательность частичных сумм.
Коммуникативные УУД
- Формулируют вопросы по условию задачи и уточняют смысл обозначений.
- Распределяют роли в паре: вычислитель, проверяющий и докладчик.
- Аргументируют выбор формулы, используя математические термины.
- Сопоставляют разные решения и корректно указывают на неточности.
- Представляют общий вывод классу в краткой и логичной форме.
Подготовка учителя к уроку
- Подготовить презентацию с проблемным вопросом, тремя последовательностями, формулами и схемой перехода от $S_n$ к $S$.
- Вывести на экран интерактивную таблицу значений и график частичных сумм для последовательности $1,\frac12,\frac14,\frac18,\ldots$.
- Распечатать по одному комплекту карточек на пару: задания на распознавание прогрессии, вычисление параметров и сумму бесконечной прогрессии.
- Подготовить индивидуальные карточки трёх уровней: базового, повышающего и исследовательского; по одной на каждого ученика.
- Разместить на доске памятку: $a_n=a_1+(n-1)d$, $b_n=b_1q^{n-1}$, $S_n=\frac{b_1(1-q^n)}{1-q}$, $S=\frac{b_1}{1-q}$ при $|q|<1$.
- Подготовить ноутбук, проектор или интерактивную доску и калькулятор последовательностей в электронной таблице.
- Подготовить лист самооценки с пунктами «Я различаю прогрессии», «Я нахожу $q$», «Я применяю формулу бесконечной суммы».
- Подготовить таймер на 2–3 минуты и цветные карточки для приёма «Светофор».
Ход урока
Этап 1. Организационный момент и мотивация (3 мин)
Цель этапа: включить учащихся в исследовательскую деятельность и создать мотивацию через практический контекст.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель приветствует класс: "Здравствуйте. Сегодня мы будем не просто подставлять числа в формулы, а исследовать, как описываются процессы, которые повторяются много раз. На экране показана ситуация: к сбережению каждый месяц добавляется одна и та же сумма или каждый месяц сохраняется одна и та же доля. Какой математический инструмент может описать такие изменения?" | Записывают дату, готовят тетради и формулируют предположения: "Последовательность", "прогрессия", "формула зависимости". |
2 мин | Учитель показывает две записи: $5,8,11,14,\ldots$ и $80,40,20,10,\ldots$. Приём "Подумай — обсуди в паре — поделись": "Сначала 30 секунд определите различие самостоятельно, затем обсудите его с соседом. Обратите внимание не только на числа, но и на способ перехода от одного члена к следующему." | Сравнивают соседние члены, обсуждают в парах и сообщают: "В первой последовательности прибавляют 3, во второй каждый раз делят на 2". |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы увидели два разных способа изменения последовательности. Сейчас выясним, как строго определить каждый из них и почему у бесконечной последовательности иногда может быть конечная сумма."
Этап 2. Актуализация знаний (5 мин)
Цель этапа: восстановить определения и формулы, необходимые для открытия нового знания.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель показывает три последовательности: $2,5,8,11,\ldots$; $3,6,12,24,\ldots$; $7,7,7,7,\ldots$. "Назовите общий признак первой последовательности. Как называется постоянная величина? Что постоянно во второй? Может ли постоянная последовательность быть одновременно арифметической и геометрической?" | Отвечают: "В первой одинаковая разность, $d=3$"; "Во второй одинаковое отношение, $q=2$"; "Постоянная последовательность является арифметической с $d=0$ и геометрической с $q=1$". |
3 мин | Учитель предлагает устно восстановить формулы: "Запишите общий член арифметической прогрессии и общий член геометрической прогрессии. Затем объясните, что означает каждый символ. На экране фиксируются правильные варианты." | Записывают $a_n=a_1+(n-1)d$ и $b_n=b_1q^{n-1}$, объясняют смысл $a_1$, $b_1$, $d$, $q$, $n$; вычисляют пятый член последовательности $4,7,10,\ldots$: $a_5=16$. |
Запись в тетрадях
Ученики записывают: «Арифметическая прогрессия — последовательность, в которой каждый следующий член получается прибавлением одного и того же числа $d$. Геометрическая прогрессия — последовательность, в которой каждый следующий член получается умножением на одно и то же число $q$.»
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы вспомнили два способа задания прогрессии и формулы её общего члена. Но пока не ответили на главный вопрос: как найти сумму членов, если их бесконечно много? Перейдём к постановке проблемы."
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Этап 3. Постановка проблемы и целеполагание (4 мин)
Цель этапа: обнаружить познавательное затруднение и сформулировать цель исследования.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель записывает на доске: $1+\frac12+\frac14+\frac18+\ldots$. "Перед нами бесконечная сумма. Можно ли утверждать, что она бесконечна? Посчитайте первые частичные суммы: один член, два, три, четыре. Что происходит с ними?" | Вычисляют: $1$, $1,5$, $1,75$, $1,875$; замечают, что значения растут и приближаются к 2. |
2 мин | Учитель задаёт проблемный вопрос: "Почему бесконечное количество положительных слагаемых может давать конечный результат? Каким условием должны обладать члены прогрессии? Сформулируйте цель урока и план: что нужно выяснить, вывести и проверить." | Формулируют гипотезу: "Члены должны уменьшаться и стремиться к нулю"; предлагают план: определить условие, вывести формулу, проверить её на примерах и практической задаче. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Гипотеза сформулирована: сумма может быть конечной, если модуль знаменателя меньше единицы. Теперь выведем формулу не как готовое правило, а как результат преобразования уже известной формулы."
Этап 4. Открытие нового знания. Вывод формулы (9 мин)
Цель этапа: вывести формулу суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии и установить область её применимости.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель предлагает работу в парах: "Рассмотрите формулу суммы первых $n$ членов геометрической прогрессии $S_n=\frac{b_1(1-q^n)}{1-q}$. Что произойдёт с $q^n$, если $|q|<1$ и $n$ становится очень большим? Обоснуйте ответ на примере $q=\frac12$ и $q=-\frac12$." | Обсуждают в парах и формулируют: "$q^n$ стремится к нулю при $|q|<1$, независимо от знака $q$". |
3 мин | Учитель пошагово записывает на доске: "Если $|q|<1$, то при неограниченном увеличении $n$ выражение $q^n$ стремится к нулю. Поэтому из формулы суммы первых $n$ членов получаем $S=\lim_{n\to\infty}S_n=\frac{b_1(1-0)}{1-q}=\frac{b_1}{1-q}$. Запишите формулу и условие рядом, не разделяйте их." | Записывают вывод: $S=\frac{b_1}{1-q}$ при $|q|<1$, подчёркивают условие применимости. |
3 мин | Учитель показывает на экране график частичных сумм для $1,\frac12,\frac14,\ldots$ и для $1,-\frac12,\frac14,-\frac18,\ldots$. "Сравните поведение частичных сумм. Почему во втором случае они колеблются, но приближаются к одному числу?" | Наблюдают графики, вычисляют суммы: $S=\frac{1}{1-\frac12}=2$ и $S=\frac{1}{1-(-\frac12)}=\frac23$; объясняют, что знак вызывает чередование, а уменьшение модуля — сходимость. |
Запись в тетрадях
Ученики записывают алгоритм: 1) определить $b_1$ и $q$; 2) проверить условие $|q|<1$; 3) применить $S=\frac{b_1}{1-q}$; 4) проверить знак и разумность результата.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Формула получена из известной суммы первых членов. Главное ограничение — $|q|<1$. Теперь проверим новое знание на коротких заданиях и научимся не путать конечную сумму с суммой первых нескольких членов."
Этап 5. Первичное закрепление и межпредметная связь (7 мин)
Цель этапа: применить формулу в математической и межпредметной модели.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель раздаёт карточки с заданиями: "Определите, какая последовательность является геометрической, найдите её знаменатель и вычислите сумму, если она существует: а) $6,3,1{,}5,0{,}75,\ldots$; б) $2,-4,8,-16,\ldots$; в) $5,5,5,\ldots$. Запишите не только ответ, но и проверку условия." | В парах решают: а) $q=\frac12$, $S=12$; б) $q=-2$, сумма не существует; в) $q=1$, бесконечная сумма не существует. Объясняют причины. |
4 мин | Учитель предлагает межпредметный контекст: "Мяч отпускают с высоты 4 м. После каждого отскока он поднимается на $\frac34$ предыдущей высоты. Найдите суммарную высоту всех подъёмов после первого падения, если учитывать бесконечное число отскоков. Обсудите, почему модель идеализирована." | Выделяют первый член $b_1=3$ м и $q=\frac34$, вычисляют $S=\frac{3}{1-\frac34}=12$ м. Объясняют, что модель не учитывает сопротивление воздуха и деформацию мяча, но демонстрирует принцип бесконечной суммы. |
Эталон решения
После первого падения высота подъёма равна $b_1=4\cdot\frac34=3$ м. Каждый следующий подъём в $\frac34$ раза меньше предыдущего, поэтому $q=\frac34$ и $|q|<1$. Тогда $S=\frac{b_1}{1-q}=\frac{3}{1-\frac34}=\frac{3}{\frac14}=12$ м.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Вы применили формулу и проверили обязательное условие. Теперь каждый решит задание самостоятельно, а затем сверит решение с эталоном. Важно показать весь ход рассуждений, а не только записать число."
Этап 6. Самостоятельная работа с самопроверкой и ИКТ (10 мин)
Цель этапа: диагностировать индивидуальное понимание темы и сформировать навык самоконтроля.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
6 мин | Учитель раздаёт карточки трёх уровней. Базовый вариант: определить $q$ и сумму для $12,6,3,1{,}5,\ldots$. Повышающий: найти $x$, если $x,2x,4x,\ldots$ имеет сумму 14. Исследовательский: объяснить, почему последовательность $3,-1,\frac13,-\frac19,\ldots$ имеет конечную сумму, и найти её. "Работайте индивидуально, формулы подписывайте рядом с шагом, условие $|q|<1$ выделяйте." | Индивидуально решают выбранный вариант. Для базового задания получают $q=\frac12$, $S=24$; для повышающего $\frac{x}{1-2}$ не имеет конечной суммы при ненулевом $x$, следовательно, условие задачи невозможно; для исследовательского $q=-\frac13$, $S=\frac{3}{1+\frac13}=\frac94$. |
2 мин | Учитель открывает на экране электронную таблицу с формулами последовательности и частичных сумм: для $b_1=1$, $q=0{,}6$. "Введите первые десять членов и сравните $S_{10}$ с точным значением $S=2{,}5$. Сделайте вывод о точности приближения." | Вводят формулы в электронную таблицу, получают $S_{10}=2{,}5(1-0{,}6^{10})$, сравнивают с $2{,}5$ и формулируют: "Частичная сумма приближается к точной, ошибка уменьшается". |
2 мин | Учитель показывает эталон на экране и предлагает самопроверку: "Проверьте три позиции: найден ли первый член, вычислен ли знаменатель, указано ли условие сходимости. Исправления внесите другим цветом." | Сверяют решение с эталоном, отмечают ошибки в листе самооценки и исправляют вычисления. |
Эталон решения
Для последовательности $12,6,3,1{,}5,\ldots$: $b_1=12$, $q=\frac{6}{12}=\frac12$, условие $|q|<1$ выполнено. Поэтому $S=\frac{12}{1-\frac12}=24$. Для последовательности $3,-1,\frac13,-\frac19,\ldots$: $b_1=3$, $q=-\frac13$, $|q|<1$, значит $S=\frac{3}{1+\frac13}=\frac94$.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Самопроверка показала, что формула работает только после анализа знаменателя. На завершающем этапе мы обобщим различия между двумя видами прогрессий и проверим, достигли ли поставленной цели."
Этап 7. Рефлексия и домашнее задание (7 мин)
Цель этапа: обобщить знания, оценить собственный результат и определить направление дальнейшей работы.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель проводит приём "Светофор": "Покажите зелёную карточку, если умеете выбирать формулу и находить сумму; жёлтую — если понимаете идею, но ошибаетесь в вычислениях; красную — если нужно дополнительное объяснение. Теперь одним предложением завершите фразу: «Сегодня я понял, что…»" | Поднимают цветные карточки, формулируют: "Сумма бесконечной прогрессии конечна при $|q|<1$"; "Нужно сначала найти $q$, а затем подставлять в формулу". |
2 мин | Учитель предлагает "Билет на выход": "На отдельном листке решите задачу: найдите сумму $8+4+2+1+\ldots$ и напишите одно условие применимости формулы. Листок сдайте при выходе." | Записывают $b_1=8$, $q=\frac12$, $S=16$, указывают $|q|<1$ и сдают ответ. |
2 мин | Учитель сообщает домашнее задание: "Выберите уровень по результату самооценки. Проверьте, чтобы в каждом решении были условие, формула, подстановка и ответ." | Записывают выбранный уровень домашнего задания и контрольные вопросы. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Сегодня мы научились видеть за последовательностью математическую модель и выяснили, как бесконечный процесс может иметь конечный результат. Следующий шаг — использовать прогрессии при решении более сложных задач и исследовании предельного поведения последовательностей."
Критерии оценивания практической работы
- «5» — верно выполнены все задания выбранной карточки, определены $b_1$ и $q$, обосновано условие $|q|<1$, формула записана корректно, вычисления и ответ проверены.
- «4» — выполнено не менее 80% задания, способ решения выбран верно, но допущена одна вычислительная или оформительская ошибка, не повлиявшая на основную идею.
- «3» — правильно определена хотя бы одна характеристика прогрессии и записана подходящая формула, но допущены ошибки в проверке условия или вычислении суммы.
- «2» — отсутствует распознавание типа прогрессии, формула выбрана без обоснования или большинство заданий не выполнено.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Чем арифметическая прогрессия отличается от геометрической? | Проверка понимания ключевого различия между постоянной разностью и постоянным отношением. |
Почему формула $S=\frac{b_1}{1-q}$ применяется только при $|q|<1$? | Выявление понимания условия сходимости и предельного поведения $q^n$. |
Какой шаг алгоритма оказался для вас самым сложным? | Выявление точек затруднения в выборе формулы и вычислениях. |
Как вы проверили, что полученный ответ разумен? | Формирование навыка самоконтроля и оценки результата. |
Завершающее слово учителя
"Сегодня мы научились различать арифметическую и геометрическую прогрессии и вывели формулу суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии. Самая важная проверка перед вычислением — условие $|q|<1$; без него нельзя механически применять формулу. Если частичные суммы приближаются к одному числу, это можно проверить и вычислением, и графиком. На следующем уроке мы продолжим исследовать последовательности и применим их свойства к более сложным задачам."
Домашнее задание
Уровень | Что задать | Зачем |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | Решить 4 задачи на распознавание арифметической или геометрической прогрессии и вычисление её характеристик; две задачи должны содержать сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии. | Закрепляет определения, выбор формулы и проверку условия $|q|<1$; при проверке обратить внимание на обозначения и порядок действий. |
Средний (повышающий) | Решить 3 задачи: найти неизвестный первый член или знаменатель по заданной сумме, сравнить сумму первых $n$ членов с бесконечной суммой и составить краткое объяснение расхождения. | Развивает преобразование формул и умение интерпретировать приближение; проверить наличие обоснования каждого шага. |
Продвинутый (дополнительный) | Исследовать практическую модель повторяющегося процесса: выбрать ситуацию с постоянным коэффициентом уменьшения, задать геометрическую прогрессию, вычислить бесконечную сумму и указать ограничения модели. | Формирует навыки математического моделирования и аргументации; проверить корректность выбора $b_1$, $q$, условия $|q|<1$ и интерпретации ответа. |
Контрольные вопросы перед выходом: «Как определить знаменатель геометрической прогрессии?», «При каком условии существует конечная сумма бесконечной геометрической прогрессии?», «Какую формулу нужно применить к последовательности $5,-\frac52,\frac54,\ldots$ и почему?»
