Определитель матрицы 2×2 и его свойства
Цели и задачи
- Цель урока по SMART: к концу урока научиться вычислять определитель матрицы второго порядка, применять его основные свойства и использовать определитель для проверки обратимости матрицы в учебных заданиях.
- Сформировать понятие определителя матрицы 2×2 и вывести формулу его вычисления через произведения элементов главной и побочной диагоналей.
- Научиться применять свойства определителя при перестановке строк, умножении строки на число и сложении строк.
- Развивать умение выдвигать гипотезы, проверять их на примерах и аргументированно формулировать математический вывод.
- Воспитывать аккуратность записи, ответственность за самостоятельное решение и интерес к применению матриц в математике, информатике и экономике.
Планируемые результаты
Личностные
- Осознают значение точной символической записи для дальнейшего изучения алгебры, аналитической геометрии и информатики.
- Проявляют готовность проверять гипотезу вычислением, а не принимать первое предположение без доказательства.
- Развивают познавательную мотивацию через связь темы с задачами о системах уравнений и обратимости матриц.
- Формируют ответственное отношение к самостоятельной работе и взаимной проверке решений.
Метапредметные
- Извлекают информацию из математической записи и преобразуют её в алгоритм действий.
- Сравнивают результаты вычислений, выявляют закономерности и формулируют свойства определителя.
- Планируют решение, фиксируют промежуточные результаты и корректируют ошибочные действия.
- Аргументированно представляют решение в паре и оценивают корректность рассуждения одноклассника.
Предметные
- Знать обозначение определителя матрицы второго порядка и формулу $\det A=ad-bc$ для матрицы $A=\begin{pmatrix}a&b\c&d\end{pmatrix}$.
- Уметь вычислять определитель матрицы 2×2 и определять, является ли матрица вырожденной.
- Уметь применять свойства определителя при перестановке строк, умножении строки на число и сложении строк.
- Владеть алгоритмом проверки результата вычислением по определению и использованием свойств определителя.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Определяют личный смысл изучения определителей как инструмента исследования матриц и систем уравнений.
- Проявляют самостоятельность при выборе способа проверки вычисления.
- Осознают ценность доказательного рассуждения и математической точности.
- Оценивают собственную готовность применять новый алгоритм.
Регулятивные УУД
- Формулируют цель исследования на основе выявленного затруднения.
- Планируют последовательность вычисления определителя и проверки свойства.
- Осуществляют самопроверку по эталону и находят место ошибки.
- Оценивают результат по критериям правильности формулы, знака и арифметических вычислений.
Познавательные УУД
- Анализируют структуру матрицы второго порядка и выделяют диагональные произведения.
- Моделируют вычисление определителя как разность двух произведений.
- Сравнивают определители исходной и преобразованной матриц.
- Устанавливают причинно-следственную связь между свойством матрицы и изменением её определителя.
Коммуникативные УУД
- Формулируют вопросы к новому понятию и уточняют математические термины.
- Объясняют партнёру ход вычислений, используя правильную символику.
- Согласовывают общий вывод в малой группе и приводят контрпример к неверному утверждению.
- Корректно дают обратную связь по решению одноклассника.
Подготовка учителя к уроку
- Подготовить презентацию или запись на доске с матрицами $\begin{pmatrix}a&b\c&d\end{pmatrix}$ и несколькими числовыми примерами.
- Распечатать карточки для работы в парах: по одной карточке на пару, всего по числу пар в классе.
- Подготовить карточки трёх уровней для самостоятельной работы: минимальный, базовый и повышенный комплект — по одной на каждого ученика.
- Вывести на доску таблицу для исследования свойств: исходная матрица, преобразованная матрица, вычисленные определители, вывод.
- Подготовить лист «Шпаргалка-напоминание» с обозначением главной и побочной диагоналей, но выдать его только после самостоятельной попытки.
- Распечатать эталон решения и критерии взаимопроверки — по одному экземпляру на каждого ученика.
- Подготовить маркеры двух цветов, таймер и стикеры для рефлексии.
- Обеспечить наличие доски или интерактивной панели, проектора и тетрадей учащихся.
Ход урока
Этап 1. Организационный момент и мотивация (3 мин)
Цель этапа: включить учащихся в исследовательскую деятельность и показать практический смысл нового понятия.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель приветствует класс: "Здравствуйте. Сегодня мы будем не просто запоминать формулу, а самостоятельно выясним, какая числовая характеристика скрыта в матрице 2×2. Подготовьте тетради, ручки и настройтесь на проверку гипотез. В конце урока каждый должен уметь объяснить не только как вычислять определитель, но и почему свойства работают." | Готовят тетради, записывают дату, настраиваются на исследование темы. |
2 мин | Учитель показывает на экране матрицу $A=\begin{pmatrix}2&3\\1&4\end{pmatrix}$ и спрашивает: "Какие два произведения естественно выделяются в этой записи? Как их можно сравнить? Предположите, зачем матрице может понадобиться одно число, характеризующее её элементы." | Называют произведения $2\cdot4$ и $3\cdot1$, предполагают: "Можно найти их разность"; формулируют вопросы о смысле такого числа. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы увидели два диагональных произведения и пока не знаем, какое правило связывает их с матрицей. Сейчас актуализируем необходимые действия и попробуем открыть это правило самостоятельно."
Этап 2. Актуализация знаний (5 мин)
Цель этапа: восстановить навыки работы с матрицами, знаками и произведениями чисел.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель предлагает приём "Подумай — обсуди в паре — поделись": "Вычислите значения выражений $2\cdot4-3\cdot1$, $(-2)\cdot5-4\cdot(-1)$ и $ab-cd$. Сначала работайте самостоятельно 30 секунд, затем сравните записи в паре." | Вычисляют выражения индивидуально, затем сверяют знаки и результаты в парах. |
3 мин | Учитель разбирает типичные ошибки: "Почему в выражении с двумя отрицательными числами нельзя сначала убрать оба минуса без объяснения? Как связаны порядок умножения и знак произведения? Запишите словами алгоритм: сначала два произведения, затем их разность." | Объясняют правила знаков, формулируют алгоритм: "Вычислить первое произведение, вычислить второе произведение, из первого вычесть второе"; исправляют записи. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы готовы выполнять два произведения и находить их разность. Теперь проверим, достаточно ли этого правила для разных матриц и как его правильно назвать."
Этап 3. Постановка проблемы и целеполагание (4 мин)
Цель этапа: зафиксировать затруднение и сформулировать план открытия нового знания.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель показывает две записи: $A=\begin{pmatrix}a&b\c&d\end{pmatrix}$ и $B=\begin{pmatrix}a&c\b&d\end{pmatrix}$. "В обеих матрицах стоят почти те же элементы. Можно ли одним и тем же способом получить число, которое позволит сравнивать матрицы? Что изменится при перестановке элементов в строках?" | Сравнивают расположение элементов, предполагают, что поменяется знак или значение выражения; фиксируют затруднение: специальное правило ещё не изучено. |
2 мин | Учитель записывает тему и предлагает план: "Сформулируем цель: дать определение определителя матрицы 2×2, вывести формулу, проверить её на примерах и исследовать свойства. Какие действия включим в план?" | Записывают тему, предлагают этапы: определить обозначение, вывести формулу, вычислить примеры, проверить свойства. |
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Цель поставлена: сегодня мы сами построим правило вычисления определителя и проверим его свойства на конкретных матрицах. Переходим к открытию определения."
Этап 4. Открытие нового знания (11 мин)
Цель этапа: вывести формулу определителя матрицы 2×2 и исследовать его основные свойства.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
4 мин | Учитель записывает на доске: $A=\begin{pmatrix}a&b\c&d\end{pmatrix}$. "Введём понятие определителя. Определитель матрицы второго порядка — число, равное произведению элементов главной диагонали минус произведение элементов побочной диагонали: $\det A=ad-bc$. Проговорите, какие элементы входят в каждое произведение." | Записывают определение; отвечают: "Главная диагональ даёт $ad$, побочная — $bc$"; выделяют диагонали цветом. |
3 мин | Учитель предлагает пример: "Вычислим определитель матрицы $C=\begin{pmatrix}5&2\\3&1\end{pmatrix}$. Не называйте только ответ: проговорите каждый шаг и знак." | Записывают $\det C=5\cdot1-2\cdot3=5-6=-1$; объясняют порядок действий. |
4 мин | Учитель организует мини-исследование: "Для матрицы $D=\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}$ поменяем строки и получим $D_1=\begin{pmatrix}3&4\\1&2\end{pmatrix}$. Вычислите оба определителя. Затем умножьте первую строку исходной матрицы на 3 и сравните результат с исходным." | В парах вычисляют $\det D=1\cdot4-2\cdot3=-2$ и $\det D_1=3\cdot2-4\cdot1=2$, делают вывод о смене знака; для $D_2=\begin{pmatrix}3&6\\3&4\end{pmatrix}$ получают $\det D_2=12-18=-6=3\det D$. |
Запись в тетрадях
Записать: $A=\begin{pmatrix}a&b\c&d\end{pmatrix}$; $\det A=ad-bc$. Свойства: при перестановке двух строк определитель меняет знак; при умножении строки на число $k$ определитель умножается на $k$; если две строки одинаковы или пропорциональны, определитель равен нулю.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы получили формулу и экспериментально подтвердили два свойства. Теперь научимся применять их быстро и объяснять каждый переход, а не только получать число."
Этап 5. Первичное закрепление (7 мин)
Цель этапа: закрепить алгоритм вычисления определителя и применение свойств через совместный разбор.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель раздаёт карточки и говорит: "Решите в парах две задачи. Первая: вычислите определитель матрицы $A=\begin{pmatrix}4&-1\\2&3\end{pmatrix}$. Вторая: не раскрывая полностью вычисления, найдите определитель матрицы, полученной из $A$ перестановкой строк. Обязательно подпишите использованное свойство." | Вычисляют $\det A=4\cdot3-(-1)\cdot2=14$; для переставленной строками матрицы получают $-14$ и записывают объяснение. |
2 мин | Учитель приглашает ученика к доске: "Покажите решение первой задачи. Класс проверяет не только ответ, но и соответствие формуле." | Один ученик оформляет решение у доски, остальные сравнивают с записью в тетради, исправляют возможные ошибки в знаках. |
2 мин | Учитель задаёт вопрос на анализ: "При каком условии определитель матрицы $\begin{pmatrix}x&2\\3&6\end{pmatrix}$ равен нулю? Составьте уравнение и решите его." | Составляют $6x-6=0$, получают $x=1$, объясняют, что строки при этом пропорциональны. |
Эталон решения
$\det A=4\cdot3-(-1)\cdot2=12+2=14$. После перестановки строк определитель меняет знак, поэтому $\det A_1=-14$. Для матрицы $\begin{pmatrix}x&2\\3&6\end{pmatrix}$: $\det=6x-6$. Условие нулевого определителя: $6x-6=0$, откуда $x=1$.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Алгоритм вычисления уже работает, а свойства позволяют сокращать решение. Теперь каждый проверит себя самостоятельно на заданиях разного уровня сложности."
Этап 6. Самостоятельная работа с самопроверкой (9 мин)
Цель этапа: диагностировать индивидуальное освоение формулы и свойств определителя.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
6 мин | Учитель раздаёт карточки трёх уровней: "Выполните обязательное задание и выберите одно из двух дополнительных. Уровень 1: вычислите определители $\begin{pmatrix}3&1\\2&5\end{pmatrix}$ и $\begin{pmatrix}-1&4\\2&3\end{pmatrix}$. Уровень 2: найдите параметр $p$, если $\det\begin{pmatrix}p&2\\3&6\end{pmatrix}=0$. Уровень 3: объясните, почему определитель матрицы с пропорциональными строками равен нулю, и приведите пример." | Индивидуально решают задания, записывают промежуточные вычисления и выбранный уровень. |
3 мин | Учитель открывает эталон: "Проверьте решение по трём критериям: правильно выписана формула, верно расставлены знаки, вывод соответствует условию. Ошибку не стирайте сразу — обозначьте место и исправьте рядом." | Сверяют решения с эталоном, отмечают ошибки, выполняют коррекцию и оценивают себя по критериям. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Самостоятельная работа показала, что формулу вы применяете. Осталось связать определитель с важным вопросом: что означает нулевое значение и где этот признак может пригодиться."
Этап 7. Включение в систему знаний (3 мин)
Цель этапа: связать определитель с понятием обратимости матрицы и дальнейшим изучением систем уравнений.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель показывает две матрицы: $A=\begin{pmatrix}1&2\\2&4\end{pmatrix}$ и $B=\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}$. "У первой матрицы строки пропорциональны, поэтому определитель равен нулю. У второй определитель равен $1\cdot4-2\cdot3=-2$. В дальнейшем ненулевой определитель будет служить признаком обратимости матрицы. Сформулируйте, какую матрицу называют вырожденной." | Вычисляют или называют значения определителей; формулируют: "Матрица с нулевым определителем называется вырожденной"; связывают ненулевой определитель с возможностью дальнейших преобразований. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы увидели, что определитель — не формальная разность произведений, а характеристика, связанная со структурой матрицы. Завершим урок самопроверкой и зафиксируем следующий шаг изучения."
Этап 8. Рефлексия и домашнее задание (3 мин)
Цель этапа: оценить степень достижения цели, выявить затруднения и объяснить домашнюю работу.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель предлагает приём "Билет на выход": "На стикере завершите три фразы: формула определителя — это...; при перестановке строк...; если определитель равен нулю, то... Подпишите, какое действие требует дополнительной тренировки." | Заполняют стикер: формулируют формулу, свойство смены знака и значение нулевого определителя; указывают личное затруднение. |
1 мин | Учитель объясняет домашнее задание: "Выберите обязательный уровень и при желании добавьте повышающий или дополнительный. В каждом решении показывайте два произведения и их разность, а при использовании свойства называйте его словами." | Записывают домашнее задание и задают уточняющие вопросы. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Сегодня вы самостоятельно открыли формулу определителя матрицы 2×2 и подтвердили её свойства вычислениями. На следующем уроке мы используем определители при решении систем линейных уравнений и сравним разные способы рассуждения."
Критерии оценивания практической работы
- «5» — верно вычислены все обязательные определители, правильно применены свойства при перестановке строк и работе с параметром, записи содержат формулу и обоснование.
- «4» — выполнены все обязательные задания, но допущена одна вычислительная или оформительская ошибка, не нарушающая общего понимания алгоритма.
- «3» — правильно записана формула и решена хотя бы одна базовая задача, но имеются ошибки в знаках, применении свойства или объяснении нулевого определителя.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Как записывается формула определителя матрицы 2×2? | Проверка осознания нового алгоритма и правильности расположения элементов. |
Что происходит с определителем при перестановке двух строк? | Выявление понимания ключевого свойства, а не механического запоминания. |
В каком месте самостоятельной работы возникло затруднение? | Диагностика точек затруднения в вычислениях, знаках или применении свойств. |
Почему нулевой определитель важен для характеристики матрицы? | Проверка связи нового понятия с вырожденностью и обратимостью матрицы. |
Завершающее слово учителя
"Сегодня мы открыли определитель матрицы второго порядка как разность произведений элементов главной и побочной диагоналей. Особенно внимательно следите за знаком перед вторым произведением: именно здесь чаще всего появляется ошибка. Мы также увидели, что перестановка строк меняет знак определителя, а пропорциональные строки приводят к нулевому значению. На следующем уроке применим этот инструмент к решению систем линейных уравнений и проверим, как ненулевой определитель помогает сделать вывод о единственности решения."
Домашнее задание
Уровень | Что задать | Зачем |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | Решить 4 задачи на вычисление определителя матриц 2×2 с целыми и отрицательными элементами; в каждом решении явно записать два произведения и их разность. | Закрепляет формулу $ad-bc$ и контроль знаков; при проверке смотреть на порядок элементов и наличие промежуточных вычислений. |
Средний (повышающий) | Решить 3 задачи: найти параметр, при котором определитель равен нулю; вычислить определитель после перестановки строк; применить свойство умножения строки на число. | Формирует умение выбирать свойство вместо полного пересчёта; при проверке оценивать обоснование каждого перехода. |
Продвинутый (дополнительный) | Составить собственный пример матрицы с нулевым определителем и собственный пример матрицы с ненулевым определителем, вычислить их определители и письменно объяснить различие. | Развивает создание математической модели и понимание связи между пропорциональностью строк и нулевым определителем. |
Контрольные вопросы перед выходом из класса: «Как вычисляется определитель матрицы 2×2? Как изменяется определитель при перестановке строк? Как распознать матрицу с нулевым определителем? Почему в формуле важно вычитать произведение элементов побочной диагонали?»
