Системы линейных уравнений. Матрица системы
Цели и задачи
- Цель: к концу урока научиться распознавать матрицу системы линейных уравнений, записывать систему в матричной форме и извлекать из матрицы коэффициенты, свободные члены и переменные.
- Сформировать представление о матрице системы как компактной модели системы линейных уравнений и установить связь между обычной и матричной записью.
- Научиться выделять коэффициенты при переменных, свободные члены и порядок системы, а также проверять соответствие матрицы исходной системе.
- Развивать умение анализировать математическую запись, объяснять выбор элементов матрицы и сотрудничать при исследовательской работе.
- Формировать ответственное отношение к точности записи и понимание роли матричного языка в математике, информатике, экономике и инженерии.
Планируемые результаты
Личностные
- Проявляют познавательный интерес к универсальному языку матриц и его применению в будущей профессиональной деятельности.
- Осознают ценность точной символической записи и последовательной проверки математической модели.
- Развивают готовность самостоятельно формулировать гипотезу и корректировать её на основании найденной ошибки.
- Понимают связь школьной алгебры с высшей математикой, программированием, экономикой и техническими науками.
Метапредметные
- Выделяют существенную информацию в записи системы и преобразуют её в табличную и матричную модель.
- Сравнивают две формы записи, устанавливают соответствия между строками матрицы и уравнениями системы.
- Планируют исследовательские действия, распределяют роли в паре или группе и аргументируют полученный вывод.
- Осуществляют самопроверку по критериям: порядок матрицы, расположение коэффициентов, наличие столбца свободных членов.
Предметные
- Знать понятия «матрица системы», «расширенная матрица системы», «матрица коэффициентов», «столбец свободных членов».
- Уметь определять размер матрицы системы по числу уравнений и переменных.
- Уметь записывать систему линейных уравнений в виде матричного равенства $AX=B$.
- Уметь восстанавливать систему уравнений по заданной матрице и находить ошибки в матричной записи.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Определяют личный смысл изучения матриц как инструмента компактного описания большого числа взаимосвязанных данных.
- Проявляют самостоятельность при выборе способа проверки соответствия матрицы исходной системе.
- Формируют установку на точность, доказательность и принятие конструктивной критики.
Регулятивные УУД
- Формулируют цель исследования и составляют последовательность действий для перехода от системы к матрице.
- Контролируют порядок записи коэффициентов и свободных членов.
- Сопоставляют результат с эталоном, находят и исправляют ошибку.
- Оценивают степень освоения нового понятия по листу самооценки.
Познавательные УУД
- Выделяют коэффициенты при каждой переменной и свободные члены.
- Классифицируют матрицы по размеру и назначению.
- Моделируют систему линейных уравнений матричным равенством.
- Проводят анализ ошибочных записей и формулируют правило построения матрицы.
Коммуникативные УУД
- Обсуждают гипотезу в парах и формулируют общий вывод.
- Задают уточняющие вопросы о порядке строк и столбцов.
- Аргументируют решение математическими обозначениями и устным объяснением.
- Согласуют итоговую запись и корректно реагируют на альтернативные способы рассуждения.
Подготовка учителя к уроку
- Подготовить презентацию или запись на доске с системой из трёх линейных уравнений и несколькими вариантами её матричной записи.
- Распечатать исследовательские карточки трёх уровней: базовые — выделение коэффициентов, базовые — запись $AX=B$, повышенные — анализ ошибок; по одной карточке на пару, всего 15 комплектов.
- Подготовить индивидуальные листы самопроверки с критериями: размер, порядок коэффициентов, свободные члены, соответствие строк уравнениям.
- Вывести на доску шпаргалку-напоминание: $AX=B$, где $A$ — матрица коэффициентов, $X$ — столбец переменных, $B$ — столбец свободных членов.
- Подготовить цветные маркеры или электронные инструменты для выделения коэффициентов, переменных и свободных членов.
- Распечатать билет на выход для каждого ученика — 15 экземпляров.
- Подготовить проектор или интерактивную доску, доску и набор магнитов с обозначениями $A$, $X$, $B$.
Ход урока
Этап 1. Организационный момент и мотивация (3 мин)
Цель этапа: включить учащихся в исследовательскую деятельность и показать практическую ценность компактной записи системы.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель приветствует класс: "Здравствуйте. Сегодня мы будем не просто записывать формулы, а исследовать, как длинную систему уравнений превратить в компактную математическую модель. Проверьте наличие тетради, ручки и калькулятора не требуется: все преобразования выполним точно. На доске вы видите систему, которая могла бы описывать расходы, неизвестные параметры или связи между измеряемыми величинами." | Готовят рабочее место, рассматривают систему на доске, формулируют предположение: "Её можно представить таблицей коэффициентов". |
2 мин | Учитель показывает систему $\begin{cases}2x-y+3z=7\\-x+4y+z=2\\3x+2y-z=5\end{cases}$ и задаёт проблемный вопрос: "Какая информация в этой записи является обязательной для решения и что можно временно отделить от самой структуры уравнений? Подумайте самостоятельно 30 секунд, затем обсудите идею в паре." | Индивидуально выделяют коэффициенты, переменные и свободные члены; обсуждают в парах и сообщают: "Можно отдельно записать таблицу коэффициентов и столбец правых частей". |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Вы уже увидели, что в системе есть повторяющаяся структура: коэффициенты стоят в определённом порядке, а свободные члены образуют отдельный столбец. Сейчас проверим, как описать эту структуру точным языком."
Этап 2. Актуализация знаний (5 мин)
Цель этапа: актуализировать понятия системы, переменной, коэффициента и порядка записи.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель проводит приём "Блиц-опрос": "Что называется линейным уравнением? Как определить коэффициент при переменной? Что называют свободным членом? Сколько переменных и уравнений в системе на доске?" Учитель фиксирует краткие ответы слева на доске. | Отвечают: "Линейное уравнение содержит переменные только в первой степени"; "коэффициент — число перед переменной"; "свободный член не содержит переменной"; определяют: "три уравнения и три переменные". |
3 мин | Учитель раздаёт карточку с записью $\begin{cases}a_{11}x_1+a_{12}x_2= b_1\a_{21}x_1+a_{22}x_2=b_2\end{cases}$ и говорит: "Подпишите над каждым элементом его роль. Не вычисляйте и не преобразуйте систему: нас интересует структура. Почему индексы у коэффициентов состоят из двух цифр?" | В парах подписывают коэффициенты, переменные и свободные члены; объясняют: "Первый индекс показывает номер уравнения, второй — номер переменной"; формулируют, что коэффициенты образуют таблицу 2 на 2. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы вспомнили, как устроена система и как читать каждый её элемент. Теперь попробуем дать название таблице коэффициентов и установить, как её размер связан с системой."
Этап 3. Постановка проблемы и целеполагание (4 мин)
Цель этапа: сформулировать учебную проблему и совместно определить план открытия нового понятия.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель показывает две записи: систему $\begin{cases}2x-y=4\\3x+5y=-1\end{cases}$ и таблицу $\begin{pmatrix}2&-1\\3&5\end{pmatrix}$. "Можно ли по этой таблице восстановить систему? Чего в ней не хватает? Предложите гипотезу, а затем проверьте её на соседней паре." | Сравнивают записи, отвечают: "Не хватает переменных и свободных членов"; предлагают добавить столбцы $\begin{pmatrix}x\y\end{pmatrix}$ и $\begin{pmatrix}4\\-1\end{pmatrix}$. |
2 мин | Учитель принимает формулировки и записывает цель: "Сегодня выясним, что называют матрицей системы, чем отличается матрица коэффициентов от расширенной матрицы, и научимся записывать систему в виде $AX=B$. Составьте план: какие действия нужно выполнить?" | Формулируют план: "Выделить коэффициенты; определить размер таблицы; записать переменные и свободные члены столбцами; проверить восстановлением системы". |
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Проблема поставлена: одной таблицы коэффициентов недостаточно для полной записи системы, но она может стать её важной частью. Перейдём к открытию точных определений и обозначений."
Этап 4. Открытие нового знания (12 мин)
Цель этапа: вывести определения матрицы коэффициентов, расширенной матрицы и матричной формы системы.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
4 мин | Учитель записывает на доске систему $\begin{cases}2x-y+3z=7\\-x+4y+z=2\\3x+2y-z=5\end{cases}$ и цветом выделяет коэффициенты. "Посмотрите на порядок. Первая строка принадлежит первому уравнению, второй столбец — коэффициентам при $y$. Таблица коэффициентов называется матрицей системы и обозначается $A$. Каков её размер?" | Переносят коэффициенты в таблицу $A=\begin{pmatrix}2&-1&3\\-1&4&1\\3&2&-1\end{pmatrix}$; отвечают: "Матрица третьего порядка, или размера $3\times3$"; объясняют значение строки и столбца. |
4 мин | Учитель дописывает: "Но система содержит ещё переменные и свободные члены. Запишем их столбцами: $X=\begin{pmatrix}x\y\z\end{pmatrix}$, $B=\begin{pmatrix}7\\2\\5\end{pmatrix}$. Теперь матричное равенство имеет вид $AX=B$. Проверьте первую строку произведения: что она должна дать?" | Записывают обозначения, проговаривают: "Первая строка даёт $2x-y+3z=7$"; связывают вторую и третью строки с соответствующими уравнениями. |
4 мин | Учитель вводит понятие расширенной матрицы: "Если присоединить к матрице коэффициентов столбец свободных членов, получим расширенную матрицу системы: $\left(\begin{array}{ccc|c}2&-1&3&7\\-1&4&1&2\\3&2&-1&5\end{array}\right)$. Вертикальная черта отделяет коэффициенты от свободных членов. Сравните её размер с размером $A$." | Записывают расширенную матрицу; отвечают: "У неё три строки и четыре столбца, размер $3\times4$"; объясняют, что вертикальная черта не является отдельным элементом матрицы, а показывает границу. |
Запись в тетрадях
- Матрица коэффициентов системы — прямоугольная таблица коэффициентов при переменных, расположенных по строкам в порядке уравнений.
- Если система содержит $m$ уравнений и $n$ переменных, матрица коэффициентов имеет размер $m\times n$.
- Матричная запись системы: $AX=B$, где $A$ — матрица коэффициентов, $X$ — столбец переменных, $B$ — столбец свободных членов.
- Расширенная матрица получается присоединением столбца свободных членов к матрице коэффициентов.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы открыли правило: строки сохраняют порядок уравнений, столбцы — порядок переменных. Матрица коэффициентов вместе со столбцами $X$ и $B$ полностью описывает систему. Теперь проверим это правило на конкретных заданиях."
Этап 5. Первичное закрепление (7 мин)
Цель этапа: закрепить алгоритм построения матрицы и восстановления системы через работу в парах.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель раздаёт карточки и говорит: "Работаем по алгоритму. Для системы $\begin{cases}x+2y-z=3\\4x-y+5z=0\end{cases}$ выпишите $A$, $X$, $B$ и расширенную матрицу. Один ученик пары отвечает за строки, второй — за столбцы; затем поменяйтесь ролями при проверке." | В парах записывают $A=\begin{pmatrix}1&2&-1\\4&-1&5\end{pmatrix}$, $X=\begin{pmatrix}x\y\z\end{pmatrix}$, $B=\begin{pmatrix}3\\0\end{pmatrix}$ и расширенную матрицу размера $2\times4$. |
2 мин | Учитель выводит эталон и предлагает взаимопроверку: "Сверьте сначала размер, затем первую строку и только после этого свободные члены. Поставьте партнёру две отметки: плюс за верную структуру и вопросительный знак там, где требуется исправление." | Проверяют работу партнёра по трём критериям, исправляют найденные ошибки, формулируют: "В первой строке коэффициенты должны идти при $x$, $y$, $z$ именно в таком порядке". |
2 мин | Учитель задаёт обратное задание: "Восстановите систему по записи $A=\begin{pmatrix}2&0&-3\\1&4&2\end{pmatrix}$, $B=\begin{pmatrix}6\\-1\end{pmatrix}$. Объясните классу, почему свободные члены не входят в $A$." | Записывают систему $\begin{cases}2x-3z=6\x+4y+2z=-1\end{cases}$; объясняют: "В $A$ находятся только коэффициенты при переменных, а свободные члены образуют отдельный столбец $B$". |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Алгоритм уже работает в обе стороны: из системы мы строим матрицы, а по матрицам восстанавливаем систему. Теперь каждый самостоятельно проверит, насколько уверенно умеет выполнять оба перехода."
Этап 6. Самостоятельная работа с самопроверкой (8 мин)
Цель этапа: диагностировать индивидуальное освоение понятий и умение находить ошибки в матричной записи.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
5 мин | Учитель раздаёт индивидуальные карточки: "Вариант 1: для системы $\begin{cases}3x-y=8\\-2x+5y=1\end{cases}$ запишите $A$, $X$, $B$ и расширенную матрицу. Вариант 2: по $A=\begin{pmatrix}1&-2\\4&3\end{pmatrix}$ и $B=\begin{pmatrix}5\\7\end{pmatrix}$ восстановите систему. Дополнительное задание: найдите ошибку в записи $\begin{pmatrix}2&1&4\\-1&3&0\end{pmatrix}$ для системы $\begin{cases}2x+y=4\\-x+3y=0\end{cases}$." | Индивидуально выполняют свой вариант, подчёркивают размер матриц и проверяют порядок коэффициентов. |
3 мин | Учитель показывает эталон: "$A=\begin{pmatrix}3&-1\\-2&5\end{pmatrix}$, $X=\begin{pmatrix}x\y\end{pmatrix}$, $B=\begin{pmatrix}8\\1\end{pmatrix}$. Для обратного задания система: $\begin{cases}x-2y=5\\4x+3y=7\end{cases}$. Ошибка в третьем столбце первой матрицы: для данной системы расширенная матрица должна иметь три столбца, а не три коэффициентных столбца." Учитель предлагает отметить результат: 3 — всё верно, 2 — одна ошибка, 1 — требуется помощь. | Сверяют решение с эталоном, исправляют записи красной ручкой, отмечают уровень выполнения и записывают вопрос, если затруднение сохранилось. |
Эталон решения
Для системы $\begin{cases}3x-y=8\\-2x+5y=1\end{cases}$ коэффициенты читаются построчно: $A=\begin{pmatrix}3&-1\\-2&5\end{pmatrix}$; переменные записываются в том же порядке: $X=\begin{pmatrix}x\y\end{pmatrix}$; свободные члены образуют столбец $B=\begin{pmatrix}8\\1\end{pmatrix}$. Расширенная матрица: $\left(\begin{array}{cc|c}3&-1&8\\-2&5&1\end{array}\right)$. Проверка выполняется восстановлением каждой строки системы.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Самостоятельная работа показала, что главный источник ошибок — не вычисления, а нарушение порядка строк и столбцов. Перед выходом мы ещё раз сформулируем правило и свяжем его с дальнейшим изучением систем."
Этап 7. Рефлексия и домашнее задание (6 мин)
Цель этапа: осмыслить способ действия, зафиксировать затруднения и определить направление дальнейшей работы.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель проводит приём "Одноминутка": "Закончите три фразы: матрица системы — это; чтобы построить $A$, нужно; при проверке я сначала смотрю на..." Затем просит двух учеников озвучить ответы. | Письменно завершают фразы; формулируют: "Матрица системы содержит коэффициенты"; "нужно расположить их по строкам уравнений и столбцам переменных"; "сначала смотрю на размер и порядок". |
2 мин | Учитель предлагает "Светофор": "Зелёная карточка означает, что вы можете самостоятельно записать $AX=B$; жёлтая — что нужна одна подсказка; красная — что следует повторить порядок коэффициентов. Поднимите соответствующую карточку и назовите конкретное затруднение." | Поднимают карточку, называют затруднение: "Путаю матрицу коэффициентов и расширенную матрицу" или "ошибаюсь при восстановлении системы". |
2 мин | Учитель раздаёт билет на выход: "Запишите матрицу коэффициентов и расширенную матрицу для системы $\begin{cases}2x+3y=1\\-x+4y=6\end{cases}$ и одним предложением объясните, почему матрица имеет такой размер. Билет сдайте при выходе." | Индивидуально выполняют билет: $A=\begin{pmatrix}2&3\\-1&4\end{pmatrix}$, расширенная матрица $\left(\begin{array}{cc|c}2&3&1\\-1&4&6\end{array}\right)$; объясняют размер $2\times2$ и $2\times3$. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Сегодня вы научились видеть за системой уравнений её структуру и записывать эту структуру матрицами. На следующем уроке мы исследуем элементарные преобразования строк и увидим, как матричная запись помогает решать системы. Сохраните алгоритм: он станет основой дальнейшей работы."
Критерии оценивания практической работы
- «5» — верно выполнены все пункты карточки: определены $A$, $X$, $B$, составлена расширенная матрица или восстановлена система; соблюдены порядок строк и столбцов, размер матриц указан корректно.
- «4» — выполнено не менее 80% задания; допущена одна неточность в обозначении или размере, но структура системы и порядок коэффициентов поняты.
- «3» — правильно выделена хотя бы матрица коэффициентов или свободные члены, но допущены ошибки при составлении расширенной матрицы либо восстановлении системы.
- Ниже отметки «3» — нарушена связь между строками системы и строками матрицы; требуется повторить алгоритм по эталону и выполнить аналогичное задание с учителем.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Что нового вы узнали о матрице системы? | Выявление осознания основного понятия и его назначения. |
Как определить размер матрицы коэффициентов? | Проверка понимания связи между числом уравнений, переменных и размером матрицы. |
На каком шаге построения $AX=B$ вы можете ошибиться? | Выявление индивидуальных точек затруднения в алгоритме. |
Как матричная запись может быть полезна за пределами школьной алгебры? | Связь учебного материала с информатикой, экономикой и техническими дисциплинами. |
Завершающее слово учителя
"Сегодня мы увидели, что система линейных уравнений может быть представлена не только привычной записью, но и матричной моделью. Главное правило — строки сохраняют порядок уравнений, а столбцы сохраняют порядок переменных. Типичная ошибка — включить свободный член в матрицу коэффициентов или перепутать порядок столбцов. Проверьте дома свои записи именно по этим признакам. На следующем уроке мы узнаем, как преобразования матриц помогают исследовать и решать системы."
Домашнее задание
Уровень | Что задать | Зачем |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | Выполнить 4 задания: для данных систем с двумя и тремя переменными определить матрицу коэффициентов, столбец переменных, столбец свободных членов и расширенную матрицу. | Закрепить алгоритм чтения системы и проверить при просмотре правильность размеров и порядка коэффициентов. |
Средний (повышающий) | Выполнить 3 задания на обратный переход: по матрице коэффициентов и столбцу свободных членов восстановить систему, затем записать её в форме $AX=B$. | Развить умение интерпретировать матричную запись и устанавливать соответствие между строками матрицы и уравнениями. |
Продвинутый (дополнительный) | Составить собственную систему из трёх линейных уравнений, описывающую условную практическую ситуацию, записать $A$, $X$, $B$ и расширенную матрицу, а затем обменяться работой с одноклассником для проверки. | Показать уровень создания математической модели и осознать применение матриц для компактного представления данных. |
Контрольные вопросы перед выходом: «Что содержится в матрице коэффициентов? Как по числу уравнений и переменных определить её размер? Чем расширенная матрица отличается от матрицы коэффициентов? Что обозначают $A$, $X$ и $B$ в равенстве $AX=B$?»
