Решение неравенств
Цели и задачи
- Цель урока: к концу занятия научиться решать линейные и дробно-рациональные неравенства методом равносильных преобразований и методом интервалов, обосновывая выбор знаков на числовой прямой.
- Сформировать представление о равносильных преобразованиях неравенств и влиянии умножения или деления на отрицательное число на знак неравенства.
- Научиться решать неравенства с одной переменной, выбирать рациональный способ решения и выполнять проверку результата.
- Развивать умение анализировать условие, выдвигать гипотезу, аргументировать решение и обнаруживать ошибку в рассуждении.
- Воспитывать ответственность за точность математической записи, самостоятельность при выборе стратегии и готовность проверять полученный результат.
Планируемые результаты
Личностные
- Осознают значение точного решения неравенств для анализа ограничений в естественно-научных, экономических и технических задачах.
- Проявляют самостоятельность при выборе способа решения и готовность аргументированно отстаивать математическую позицию.
- Понимают ценность самопроверки и корректного отношения к ошибке как к источнику нового знания.
- Связывают освоение алгоритма решения неравенств с дальнейшим изучением функций и подготовкой к решению практико-ориентированных задач.
Метапредметные
- Формулируют учебную проблему и планируют последовательность действий для её решения.
- Извлекают информацию из записи неравенства, числовой прямой и графической модели.
- Сравнивают несколько способов решения, выявляют преимущества метода равносильных преобразований и метода интервалов.
- Аргументируют ответ в парной и фронтальной работе, используют математическую речь и проверяют результат по критериям.
- Осуществляют самоконтроль с помощью эталона и корректируют решение после обнаружения ошибки.
Предметные
- Знать свойства числовых неравенств и правило изменения знака при умножении или делении обеих частей на отрицательное число.
- Уметь решать линейные неравенства вида $ax+b<c$ и записывать ответ в виде промежутка и на числовой прямой.
- Уметь решать простейшие дробно-рациональные неравенства методом интервалов.
- Уметь определять критические точки, учитывать область допустимых значений и выбирать знак на каждом промежутке.
- Владеть навыком проверки принадлежности конкретного числа найденному множеству решений.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Определяют личный смысл изучения неравенств через их применение к ограничениям и диапазонам допустимых значений.
- Проявляют учебную инициативу, предлагая собственный способ проверки решения.
- Оценивают готовность самостоятельно решать неравенства и называют действие, требующее дополнительной тренировки.
- Принимают необходимость аккуратной записи как условие математической корректности результата.
Регулятивные УУД
- Формулируют цель урока и соотносят её с последовательностью этапов решения неравенства.
- Планируют действия: преобразовать, определить знак, построить числовую прямую, записать ответ, проверить.
- Контролируют изменение знака неравенства при делении на отрицательное число.
- Сверяют решение с эталоном, находят и исправляют ошибку.
- Оценивают результат по критериям полноты, обоснованности и правильности записи.
Познавательные УУД
- Выделяют существенные признаки линейного и дробно-рационального неравенства.
- Строят логическую цепочку преобразований и объясняют равносильность каждого шага.
- Моделируют множество решений с помощью числовой прямой и интервальной записи.
- Анализируют знак произведения или частного на промежутках.
- Проверяют гипотезу подстановкой числовых значений и обобщают алгоритм решения.
Коммуникативные УУД
- Формулируют уточняющие вопросы о допустимых преобразованиях и границах промежутков.
- В паре сравнивают решения и объясняют расхождения без подмены аргумента ответом.
- Используют математические термины: «равносильное преобразование», «критическая точка», «область допустимых значений».
- Аргументируют выбор знака на промежутке и корректно реагируют на возражения.
- Распределяют роли при совместной проверке: решающий, проверяющий, докладчик.
Подготовка учителя к уроку
- Подготовить презентацию или запись на доске с проблемным примером $-2x>6$ и вопросом о причине изменения знака при делении на $-2$.
- Распечатать карточки трёх уровней: базовые линейные неравенства, задания на поиск ошибки и повышенные дробно-рациональные неравенства — по одной карточке на каждого ученика.
- Подготовить карточки с числами $-2$, $0$, $3$ и знаками неравенства для работы в парах — по одному комплекту на парту.
- Подготовить памятку «Алгоритм метода интервалов» — по одной памятке на ученика.
- Вывести на доску или слайд критерии самопроверки: ОДЗ, критические точки, знаки промежутков, запись ответа.
- Подготовить маркеры трёх цветов и магнитные полоски для изображения числовой прямой.
- Подготовить таймер на 3 минуты для самостоятельной работы и стикеры трёх цветов для рефлексии.
- Организовать рабочие тетради, ручки и доступ к доске или проектору; калькуляторы на уроке не требуются.
Ход урока
Этап 1. Организационный момент и мотивация (3 мин)
Цель этапа: включить учащихся в учебную деятельность и показать практический смысл решения неравенств.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель приветствует класс и проверяет готовность: "Здравствуйте, ребята. Сегодня нам понадобится не только знание правил, но и способность обосновывать каждый шаг. Проверьте, что на столе есть тетрадь, ручка и карточка для самостоятельной работы. Запишите дату и тему урока: «Решение неравенств»." | Готовят рабочее место, записывают дату и тему урока. |
2 мин | Учитель показывает на доске условие: "Для участия в эксперименте температура раствора должна быть не ниже $18^\circ C$ и не выше $25^\circ C$. Как записать все допустимые значения одной математической записью? Сегодня мы будем учиться не просто получать ответ, а видеть множество подходящих значений и обосновывать его границы." | Формулируют предположение: "$18\leq t\leq25$"; объясняют, что речь идёт о диапазоне допустимых значений. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы увидели, что неравенство описывает не одно число, а множество допустимых значений. Теперь выясним, какие преобразования сохраняют это множество, а какие требуют изменения знака."
Этап 2. Актуализация знаний (6 мин)
Цель этапа: восстановить свойства неравенств и подготовить основу для открытия алгоритма.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель организует приём «Подумай — обсуди в паре — поделись»: "Вспомните, что произойдёт с неравенством, если к обеим частям прибавить одно и то же число, умножить их на положительное число или умножить на отрицательное число. Сначала запишите ответ самостоятельно, затем обсудите его с соседом." | Индивидуально формулируют три свойства, затем сравнивают записи в парах и предлагают классу формулировки: «при сложении знак не меняется», «при умножении на отрицательное число знак меняется». |
3 мин | Учитель записывает задания: $x+4>9$, $3x\leq12$, $-5x<20$. "Решите первое и второе неравенства устно, а третье разберите особенно внимательно. На каком шаге появляется риск ошибки?" Учитель фиксирует ответы и просит назвать правило. | Решают: $x>5$, $x\leq4$, $x>-4$. Объясняют: «при делении $-5x<20$ на $-5$ знак меняется на противоположный». |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы вспомнили основные свойства и обнаружили ключевое место контроля — действие с отрицательным числом. Теперь проверим, достаточно ли этих правил для любого неравенства и как оформить множество решений."
Этап 3. Постановка проблемы и целеполагание (4 мин)
Цель этапа: выявить затруднение при решении неравенства с переменной в знаменателе и сформулировать план открытия.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель предлагает проблемное задание: "Рассмотрите неравенство $\frac{x-2}{x+1}>0$. Попробуйте решить его теми средствами, которые уже знаете. Что можно сделать сразу, а чего пока не хватает?" Учитель не сообщает алгоритм, а принимает разные гипотезы. | Пытаются преобразовать запись, замечают переменную в знаменателе и формулируют затруднение: «нельзя просто умножить на $x+1$, потому что его знак неизвестен». |
2 мин | Учитель оформляет на доске вопросы урока: "Как учесть знак знаменателя? Как разделить числовую прямую на участки? Как доказать, что выбранные интервалы являются решениями? Сформулируйте цель и план действий." | Формулируют цель: «научиться решать неравенства методом интервалов»; предлагают план: найти ОДЗ и критические точки, отметить их на прямой, определить знаки, записать ответ. |
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Затруднение возникло потому, что знак выражения зависит от значения переменной. Мы сформулировали план, а теперь исследуем его на конкретном примере и выведем общий алгоритм."
Этап 4. Открытие нового знания (10 мин)
Цель этапа: открыть алгоритм метода интервалов и применить его к дробно-рациональному неравенству.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
4 мин | Учитель разбирает пример: "Решим неравенство $\frac{x-2}{x+1}>0$. Шаг первый — область допустимых значений. Знаменатель не равен нулю, поэтому $x\neq-1$. Шаг второй — критические точки: ноль числителя $x=2$ и ноль знаменателя $x=-1$. Отметим их на числовой прямой. Эти точки разбивают прямую на три промежутка. Сейчас определим знак дроби на каждом из них." | Записывают ОДЗ и критические точки, строят числовую прямую с точками $-1$ и $2$, называют промежутки $(-\infty;-1)$, $(-1;2)$, $(2;+\infty)$. |
4 мин | Учитель продолжает: "Выберем по одному числу из каждого промежутка: $-2$, $0$, $3$. Подставим их в выражение и определим знак. Для $x=-2$ дробь положительна, для $x=0$ отрицательна, для $x=3$ положительна. Закрасьте положительные промежутки. Точку $-1$ включить нельзя, потому что выражение не имеет смысла; точку $2$ также нельзя включить, поскольку требуется строгий знак." | Вычисляют знаки на трёх промежутках, закрашивают $(-\infty;-1)$ и $(2;+\infty)$, записывают ответ $x\in(-\infty;-1)\cup(2;+\infty)$. |
2 мин | Учитель формулирует алгоритм на доске: "Метод интервалов состоит из пяти шагов: найти ОДЗ; перенести всё в одну часть; найти нули числителя и знаменателя; отметить критические точки и определить знаки на промежутках; выбрать нужные промежутки и записать ответ с учётом строгого или нестрогого знака." | Переписывают алгоритм, задают вопросы о включении нулей числителя и исключении нулей знаменателя. |
Запись в тетрадях
Записать: «Метод интервалов: ОДЗ → критические точки → числовая прямая → знаки на промежутках → ответ». Отдельно отметить: нули знаменателя не входят в ответ; нули числителя входят только при нестрогом неравенстве.
Эталон решения
$\frac{x-2}{x+1}>0$. 1) ОДЗ: $x\neq-1$. 2) Критические точки: $x=-1$ и $x=2$. 3) Знаки: на $(-\infty;-1)$ выражение положительно; на $(-1;2)$ отрицательно; на $(2;+\infty)$ положительно. 4) Так как знак строгий, точки не включаются. Ответ: $x\in(-\infty;-1)\cup(2;+\infty)$.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы получили алгоритм, который превращает исследование знака сложного выражения в последовательность контролируемых действий. Теперь проверим его на простых примерах и научимся объяснять каждый шаг вслух."
Этап 5. Первичное закрепление (7 мин)
Цель этапа: закрепить алгоритм решения линейного и дробно-рационального неравенств с проговариванием действий.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель раздаёт карточки с заданиями: $4x-7\leq9$ и $\frac{x+3}{x-1}\leq0$. "Работаем в парах. Один ученик проговаривает шаги, второй проверяет знак и запись ответа; через полторы минуты поменяйтесь ролями. Не ограничивайтесь ответом — отметьте на числовой прямой границы." | Решают в парах. Для первого задания получают $x\leq4$; для второго находят точки $-3$ и $1$, определяют подходящий промежуток $[-3;1)$. |
2 мин | Учитель приглашает двух учеников к доске: "Представьте решение так, чтобы класс мог проверить не только результат, но и обоснование включения или исключения границ. Остальные сравнивают записи с решениями в тетради." | Один ученик оформляет решение линейного неравенства, другой — решение методом интервалов; класс отмечает: $-3$ включается, $1$ исключается. |
2 мин | Учитель проводит приём «Найди ошибку» и показывает запись: "$\frac{x-1}{x+2}>0$, значит после умножения на $x+2$ получаем $x-1>0$, ответ $x>1$." Учитель спрашивает: "На каком шаге нарушена логика? Как исправить решение?" | Находят ошибку: знак $x+2$ заранее неизвестен, поэтому нельзя без анализа умножать на него; предлагают метод интервалов и ответ $x\in(-\infty;-2)\cup(1;+\infty)$. |
Эталон решения
Для $\frac{x+3}{x-1}\leq0$: ОДЗ $x\neq1$; критические точки $-3$ и $1$. Знак дроби отрицателен на $(-3;1)$ и равен нулю при $x=-3$. Так как знак нестрогий, $-3$ включается, а $1$ исключается. Ответ: $x\in[-3;1)$.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы закрепили два принципа: в линейном неравенстве контролируем знак коэффициента при переменной, а в дробно-рациональном исследуем все критические точки. Теперь каждый проверит, может ли самостоятельно пройти алгоритм без подсказки пары."
Этап 6. Самостоятельная работа с самопроверкой (10 мин)
Цель этапа: диагностировать индивидуальное освоение алгоритма и сформировать навык самоконтроля.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
6 мин | Учитель раздаёт индивидуальные карточки трёх уровней и объявляет критерии: "Выберите уровень, который соответствует вашей уверенности. Уровень можно изменить после первого задания. Записывайте не только ответ, но и промежуточные шаги. На работу — шесть минут." Базовый: $-3x+6\geq0$ и $2x-5<7$. Повышенный: $\frac{x-4}{x+2}>0$ и $\frac{x+1}{x-3}\leq0$. Дополнительный: $\frac{(x-1)(x+2)}{x-3}\geq0$. | Индивидуально решают выбранные задания, указывают ОДЗ, критические точки, знаки промежутков и ответ в интервальной записи. |
4 мин | Учитель выводит эталон: "$-3x+6\geq0\Rightarrow -3x\geq-6\Rightarrow x\leq2$; $2x-5<7\Rightarrow x<6$; $\frac{x-4}{x+2}>0\Rightarrow x\in(-\infty;-2)\cup(4;+\infty)$; $\frac{x+1}{x-3}\leq0\Rightarrow x\in[-1;3)$. Для дополнительного задания критические точки $-2$, $1$, $3$, ответ $[-2;1]\cup(3;+\infty)$. Проверьте каждую границу отдельно." | Сверяют решения с эталоном, отмечают ошибки условными обозначениями: «О» — ошибка в ОДЗ, «З» — ошибка знака, «Г» — ошибка границы, исправляют запись. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Самостоятельная работа показала, что алгоритм становится надёжным только при последовательной проверке всех его шагов. Осталось связать отдельные действия в общую систему и сформулировать, что именно вы теперь умеете делать."
Этап 7. Рефлексия и домашнее задание (5 мин)
Цель этапа: осмыслить результат обучения, выявить затруднения и определить направление дальнейшей работы.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель проводит рефлексию «Светофор»: "Поднимите зелёную карточку, если можете самостоятельно решить линейное неравенство и объяснить смену знака; жёлтую — если алгоритм понятен, но нужна тренировка; красную — если требуется разбор первого шага. На стикере допишите одно действие, которое вы будете контролировать особенно внимательно." | Поднимают карточки, записывают личную зону затруднения: «ОДЗ», «выбор знака», «включение границ» или «аккуратная интервальная запись». |
1 мин | Учитель задаёт контрольные вопросы: "Почему при делении на отрицательное число знак меняется? Почему ноль знаменателя не включается в ответ? Когда ноль числителя можно включить?" | Отвечают: «порядок чисел на числовой прямой меняется», «выражение не определено», «если неравенство нестрогое». |
2 мин | Учитель сообщает домашнее задание и завершает урок: "Выберите уровень с учётом сегодняшней самостоятельной работы. Важно не количество примеров, а полнота записи: ОДЗ, критические точки, знаки и обоснованный ответ." | Записывают домашнее задание, задают уточняющие вопросы, сдают стикеры рефлексии. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Сегодня вы научились рассматривать неравенство как исследование множества значений, а не как механическую цепочку преобразований. Следующий шаг — применять этот подход к квадратным неравенствам и связывать знаки выражения с графиком функции."
Критерии оценивания практической работы
- «5» — верно решены все задания выбранного уровня, указаны ОДЗ и критические точки, знаки на промежутках определены правильно, ответ записан в интервальной форме без ошибок.
- «4» — верно решены основные задания, но допущена одна неточность в оформлении числовой прямой, обозначении границы или пояснении при сохранении правильного способа решения.
- «3» — правильно выполнены не менее двух базовых преобразований или одно неравенство методом интервалов при наличии отдельных ошибок в знаках или включении границ; ход решения в основном понятен.
- Ниже отметки «3» — отсутствует последовательный алгоритм, не определена область допустимых значений или ответ не подтверждён промежуточными действиями.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Какое действие алгоритма решения неравенства вы теперь выполняете уверенно? | Выявление осознанно освоенного шага и положительной динамики. |
Почему в неравенстве с переменной в знаменателе нельзя сразу умножать обе части на знаменатель? | Проверка понимания зависимости преобразования от неизвестного знака множителя. |
Какое задание оказалось самым сложным и на каком шаге возникло затруднение? | Выявление точек затруднения для последующей коррекции. |
Как вы проверили, что границы промежутков включаются или исключаются? | Проверка понимания связи строгого и нестрогого знака с областью решений. |
Завершающее слово учителя
"Сегодня мы увидели, что решение неравенства — это исследование множества значений, а не только преобразование буквенного выражения. Главная ошибка, которую важно предупреждать, — умножение на выражение с неизвестным знаком без предварительного анализа. Используйте алгоритм как чек-лист: ОДЗ, критические точки, знаки, границы, ответ. На следующем уроке мы применим эту логику к квадратным неравенствам и свяжем её с графиком функции."
Домашнее задание
Уровень | Что задать | Зачем |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | Решить 4 линейных неравенства с коэффициентами разных знаков, включая два случая деления на отрицательное число; записать ответы промежутками и отметить их на числовой прямой. | Закрепляет равносильные преобразования и контроль изменения знака; при проверке смотреть на знак при делении и границы ответа. |
Средний (повышающий) | Решить 4 дробно-рациональных неравенства методом интервалов: два со строгим знаком и два с нестрогим; для каждого указать ОДЗ и критические точки. | Формирует полный алгоритм метода интервалов; при проверке смотреть на исключение нулей знаменателя и включение нулей числителя при нестрогом знаке. |
Продвинутый (дополнительный) | Составить и решить практическую задачу с ограничением диапазона, например о температуре, расходе материала или допустимой скорости, свести условие к неравенству и объяснить полученный промежуток. | Развивает моделирование и функциональную грамотность; при проверке смотреть на корректность математической модели, единицы измерения и интерпретацию ответа. |
Контрольные вопросы перед выходом из класса: «Как меняется знак при делении на отрицательное число? Какие точки называют критическими? Почему ноль знаменателя исключается из ответа? В каком случае ноль числителя включается в множество решений? Назовите пять шагов метода интервалов».
