Теорема Безу: делимость многочлена на линейный двучлен
Цели и задачи
- Цель по SMART: к концу урока сформулировать и доказать теорему Безу, научиться находить остаток от деления многочлена на двучлен вида $x-a$ и применять результат для проверки делимости многочлена.
- Сформировать понимание связи между делением многочлена на $x-a$ и значением многочлена в точке $a$.
- Научиться применять теорему Безу при решении учебных и практико-ориентированных задач.
- Развивать умение выдвигать гипотезу, проверять её на примерах, строить доказательство и анализировать ошибки.
- Воспитывать самостоятельность математического рассуждения и ответственное отношение к подготовке к дальнейшему изучению алгебры и решению задач повышенного уровня.
Планируемые результаты
Личностные
- Осознают ценность строгого доказательства как способа обоснования математического утверждения.
- Проявляют готовность самостоятельно проверять гипотезы и корректировать рассуждение при обнаружении ошибки.
- Понимают связь изучаемого метода с дальнейшим изучением многочленов, уравнений и задач повышенного уровня.
- Развивают учебную мотивацию через исследование закономерности, а не только запоминание формулы.
Метапредметные
- Формулируют цель исследования и планируют последовательность действий.
- Извлекают информацию из алгебраического выражения, таблицы вычислений и схемы деления.
- Сравнивают результаты деления многочлена на $x-a$ с его значением в точке $a$.
- Аргументируют выводы в паре и корректно представляют математическое доказательство.
- Осуществляют самопроверку по эталону и исправляют выявленные ошибки.
Предметные
- Знать формулировку теоремы Безу: остаток от деления многочлена $P(x)$ на $x-a$ равен $P(a)$.
- Уметь находить остаток от деления многочлена на $x-a$ без выполнения полного деления.
- Уметь определять, делится ли многочлен на $x-a$, используя условие $P(a)=0$.
- Уметь применять схему Горнера для вычисления значения многочлена и проверки результата.
- Владеть письменным оформлением решения с указанием основания применяемой теоремы.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Определяют личный вклад в решение общей исследовательской задачи.
- Осознают значение точности записи при преобразованиях многочленов.
- Проявляют интерес к поиску общего правила по нескольким частным случаям.
- Оценивают собственную готовность применять теорему в новых условиях.
Регулятивные УУД
- Принимают и уточняют цель урока на основе проблемного задания.
- Планируют вычисления и доказательство теоремы по предложенному алгоритму.
- Сверяют промежуточные результаты с условием и эталоном.
- Выявляют причину ошибки и вносят коррективы в решение.
- Оценивают степень достижения цели по листу самооценки.
Познавательные УУД
- Выделяют существенную связь между делением на $x-a$ и подстановкой $x=a$.
- Строят гипотезу на основании серии числовых и алгебраических примеров.
- Моделируют деление многочлена с помощью равенства с остатком.
- Проводят логическое доказательство теоремы.
- Переносят правило на многочлены разных степеней и коэффициентов.
Коммуникативные УУД
- Распределяют роли в паре: вычислитель и проверяющий.
- Формулируют уточняющие вопросы к рассуждению одноклассника.
- Обосновывают общий вывод математическими равенствами.
- Корректно обсуждают различия в способах решения.
- Представляют доказательство классу, используя точную терминологию.
Подготовка учителя к уроку
- Подготовить презентацию или запись на доске с равенством $P(x)=(x-a)Q(x)+r$ и пустыми местами для вывода.
- Распечатать исследовательские карточки с тремя многочленами — по одной на парту, 15 экземпляров.
- Распечатать карточки трёх уровней самостоятельной работы — по одной на каждого ученика, 30 экземпляров.
- Подготовить лист самооценки с пунктами «Я могу найти остаток», «Я могу проверить делимость», «Я могу объяснить теорему».
- Разместить на доске таблицу: «Делимое — делитель — частное — остаток».
- Подготовить эталон решения для самопроверки и маркеры трёх цветов.
- Обеспечить проектор или интерактивную доску для вывода примеров и таймера.
- Подготовить стикеры трёх цветов для приёма «Светофор».
Ход урока
Этап 1. Организационный момент и мотивация (3 мин)
Цель этапа: включить учащихся в исследовательскую деятельность и показать практическую ценность нового правила.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель приветствует класс: "Здравствуйте, ребята. Сегодня мы будем не просто запоминать новую теорему, а сами восстановим закономерность, которая позволяет быстро работать с многочленами. Проверьте, что на столе есть тетрадь, ручка и карточка исследователя. В конце урока каждый должен суметь объяснить правило своими словами." | Проверяют готовность, записывают дату и тему урока: «Теорема Безу». Формулируют ожидание: «узнать, как быстро находить остаток». |
2 мин | Учитель показывает на доске многочлен $P(x)=x^3-2x^2-5x+6$ и спрашивает: "Представьте, что полный столбик деления выполнять долго. Как можно проверить, делится ли этот многочлен на $x-1$, не выполняя всё деление? Запишите первую гипотезу, а затем обсудите её с соседом в режиме «Подумай — обсуди в паре — поделись»." | Индивидуально предлагают способ, затем обсуждают его в парах. Высказывают гипотезы: «подставить единицу», «разложить на множители», «выполнить схему Горнера». |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы увидели, что нужен быстрый и обоснованный способ проверки. Сейчас выясним, действительно ли подстановка числа, связанного с делителем, даёт остаток."
Этап 2. Актуализация знаний (5 мин)
Цель этапа: восстановить понятия деления с остатком, значения функции и делимости многочлена.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель обращается к классу: "Вспомним основное равенство деления с остатком. Как связаны делимое, делитель, частное и остаток? Запишите общий вид на черновике и назовите ограничение на степень остатка." | Записывают $A(x)=B(x)Q(x)+R(x)$ и отвечают: «Степень остатка меньше степени делителя». |
2 мин | Учитель показывает запись $P(x)=(x-a)Q(x)+r$ и спрашивает: "Какова степень остатка при делении на линейный двучлен? Какой вид он имеет? Что произойдёт, если в равенство подставить $x=a$?" | Отвечают: «остаток — число, потому что степень меньше единицы»; подставляют $x=a$ и получают $P(a)=r$. |
1 мин | Учитель предлагает устно вычислить $P(2)$ для $P(x)=x^3-3x+1$: "Покажите, что значение многочлена можно находить прямой подстановкой, соблюдая порядок действий." | Вычисляют $P(2)=8-6+1=3$, сверяют ответы с соседом. |
Запись в тетрадях
$P(x)=(x-a)Q(x)+r$, где $r$ — остаток при делении $P(x)$ на $x-a$.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы вспомнили равенство деления с остатком и увидели важную подсказку: после подстановки $x=a$ слагаемое $(x-a)Q(x)$ исчезает. Теперь сформулируем, что именно из этого следует."
Этап 3. Постановка проблемы и целеполагание (4 мин)
Цель этапа: сформулировать гипотезу и учебную задачу на основе полученного равенства.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель раздаёт карточку с заданием: "Для каждого многочлена найдите значение в указанной точке и остаток при делении на соответствующий двучлен любым известным способом: $P(x)=x^2-5x+6$, $x-2$; $Q(x)=2x^3-x+4$, $x+1$. Не ограничивайтесь одним вычислением: сравните два результата." | В парах вычисляют значения $P(2)$ и $Q(-1)$, затем делят многочлены или используют схему Горнера. Фиксируют совпадение результатов: «значение в точке равно остатку». |
2 мин | Учитель задаёт проблемные вопросы: "Совпадение случайно или закономерно? Для какого вида делителя оно возможно? Как доказать утверждение для любого многочлена, а не только для двух примеров? Сформулируйте цель урока одним предложением." | Формулируют гипотезу: «остаток при делении на $x-a$ равен $P(a)$». Предлагают цель: «доказать правило и научиться применять его». |
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Гипотеза сформулирована. Нам осталось получить строгое доказательство из общего равенства деления, а затем проверить, насколько надёжно правило работает в задачах разного уровня."
Этап 4. Открытие нового знания и доказательство (10 мин)
Цель этапа: вывести и обосновать теорему Безу через подстановку корня линейного двучлена.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель записывает на доске: "Пусть при делении многочлена $P(x)$ на $x-a$ получаются частное $Q(x)$ и остаток $r$. Тогда по определению деления $P(x)=(x-a)Q(x)+r$. Подставим $x=a$. Что станет с первым слагаемым?" | Переписывают равенство, подставляют $x=a$ и отвечают: «$(a-a)Q(a)=0$, поэтому $P(a)=r$». |
3 мин | Учитель ведёт Сократовский диалог: "Как называется полученный результат? Что именно можно узнать без нахождения частного? Какое условие означает делимость без остатка? Запишем формулировку аккуратно, включая произвольность многочлена и числа $a$." | Формулируют теорему: «Остаток от деления многочлена $P(x)$ на $x-a$ равен $P(a)$». Делают вывод: «$P(x)$ делится на $x-a$ тогда и только тогда, когда $P(a)=0$». |
4 мин | Учитель предлагает двум парам оформить доказательство и проверяет структуру: "В доказательстве должны быть три шага: записать равенство деления, подставить $a$, сделать вывод о равенстве остатка. Не заменяйте доказательство примером. Одна пара прочитает решение, остальные проверят его по этим критериям." | Пары записывают доказательство, затем одна пара зачитывает его. Остальные отмечают наличие трёх шагов и задают уточняющие вопросы. |
Запись в тетрадях
Теорема Безу. Остаток от деления многочлена $P(x)$ на двучлен $x-a$ равен значению многочлена $P(a)$. Следствие: $P(x)$ делится на $x-a$ без остатка тогда и только тогда, когда $P(a)=0$.
Эталон решения
1. По теореме о делении с остатком $P(x)=(x-a)Q(x)+r$. 2. Подставляем $x=a$: $P(a)=(a-a)Q(a)+r=r$. 3. Следовательно, остаток равен $P(a)$. Если $P(a)=0$, то $r=0$, значит, $P(x)$ делится на $x-a$.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы доказали теорему, а не просто заметили её на примерах. Теперь применим её сначала вместе, проговаривая каждый шаг, а затем самостоятельно."
Этап 5. Первичное закрепление (7 мин)
Цель этапа: отработать применение теоремы Безу при нахождении остатка и проверке делимости.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель разбирает задачу: "Найдём остаток от деления $P(x)=2x^3-3x^2+x-5$ на $x-2$. Не выполняем деление уголком. Сначала определяем число $a$, затем вычисляем $P(a)$. Какие два шага должны быть записаны?" | Отвечают: «$a=2$; остаток равен $P(2)$». Вычисляют $P(2)=16-12+2-5=1$. Формулируют ответ: «остаток равен 1». |
2 мин | Учитель предлагает задачу на делимость: "Проверьте, делится ли $Q(x)=x^3-4x^2+x+6$ на $x-2$. Обязательно запишите условие делимости через значение многочлена." | Вычисляют $Q(2)=8-16+2+6=0$ и записывают: «Да, делится, потому что $Q(2)=0$». |
2 мин | Учитель организует взаимопроверку «Две звезды и пожелание»: "Сравните решения с соседом. Отметьте правильное определение $a$, верное вычисление и обоснованный вывод. Если есть ошибка, сформулируйте конкретное исправление." | Проверяют решения по трём критериям, записывают две сильные стороны и одно исправление. |
Эталон решения
Для $P(x)=2x^3-3x^2+x-5$ и делителя $x-2$ имеем $a=2$. По теореме Безу $r=P(2)=2
e 0$, поэтому деление без остатка невозможно. Для $Q(x)=x^3-4x^2+x+6$: $Q(2)=8-16+2+6=0$, следовательно, $Q(x)$ делится на $x-2$.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Алгоритм закреплён: из делителя $x-a$ извлекаем число $a$, вычисляем $P(a)$ и интерпретируем результат. Переходим к самостоятельной проверке, где важно не только получить число, но и записать основание вывода."
Этап 6. Самостоятельная работа с самопроверкой (10 мин)
Цель этапа: проверить индивидуальное владение алгоритмом на заданиях трёх уровней.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель раздаёт карточки трёх уровней: "Выберите уровень, который позволит вам честно проверить понимание. Минимальный уровень обязателен для всех; после него можно перейти к повышенному. Работайте индивидуально, записи должны быть полными." | Выбирают карточку, записывают фамилию и начинают работу. |
6 мин | Учитель наблюдает и адресно задаёт вопросы: "Какой вид имеет делитель? Какое число нужно подставить? Что означает полученное нулевое значение? Не перепутали ли знак в двучлене $x+3$?" | Решают задания: базовый — найти остаток для двух многочленов; повышенный — определить параметр по условию делимости; высокий — найти все целые значения параметра в условии $P(x)$ делится на $x-a$. |
3 мин | Учитель выводит на экран эталон: "Проверьте не только ответы, но и ход решения. Исправления выполняйте другим цветом. В листе самооценки отметьте: могу самостоятельно, могу с проверкой, пока затрудняюсь." | Сверяют решения с эталоном, исправляют ошибки, подсчитывают результат по критериям и заполняют лист самооценки. |
Эталон решения
Пример повышенного задания: определить $m$, если $P(x)=x^3+mx^2-4x+6$ делится на $x-2$. По теореме Безу $P(2)=0$: $8+4m-8+6=0$, значит $4m+6=0$, откуда $m=-\frac{3}{2}$.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Самостоятельная работа показала, что правило работает и в вычислительных, и в параметрических задачах. Осталось связать теорему с уже известными понятиями корня многочлена и подготовить вывод о её дальнейшем применении."
Этап 7. Включение в систему знаний, рефлексия и домашнее задание (6 мин)
Цель этапа: обобщить алгоритм, выявить затруднения и определить направление дальнейшей работы.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель предлагает заполнить мини-схему: "Свяжите четыре понятия: $x-a$, число $a$, значение $P(a)$, делимость многочлена. Запишите стрелками, что из чего следует. Затем сравните схему с соседом." | Составляют схему: «делитель $x-a$ → подставляем $a$ → находим $P(a)$ → если $P(a)=0$, то $x-a$ — делитель многочлена». |
2 мин | Учитель проводит «Светофор»: "Покажите цвет, который отражает ваше состояние: зелёный — могу объяснить и применить, жёлтый — решаю с проверкой, красный — нужна помощь. Ответьте на вопрос: почему в делителе $x+3$ нужно подставлять $-3$?" | Показывают карточку, отвечают: «потому что $x+3=x-(-3)$; число $a=-3$». Формулируют одно личное затруднение. |
2 мин | Учитель объявляет домашнее задание: "Запишите задание по выбранному уровню. Перед выходом ответьте письменно на два контрольных вопроса: чему равен остаток при делении на $x-a$ и какое условие означает делимость без остатка?" | Записывают домашнее задание и отвечают на контрольные вопросы в тетради или на выходном листке. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Сегодня вы сами вывели и доказали теорему Безу. На следующем уроке мы свяжем её с корнями многочлена, разложением на множители и более быстрым применением схемы Горнера."
Критерии оценивания практической работы
- «5» — правильно выполнены все задания выбранного уровня, верно определено число $a$, вычислено значение многочлена, сделан обоснованный вывод о делимости; в параметрической задаче приведено полное преобразование.
- «4» — выполнено не менее 80% заданий, алгоритм применён верно, но допущена одна вычислительная или оформительская ошибка, не нарушающая понимания теоремы.
- «3» — правильно выполнены базовые задания с помощью эталона или учителя, но допущены ошибки при определении числа $a$, вычислении значения или формулировке вывода.
- «2» — не выполнено базовое задание либо отсутствует понимание связи между остатком и значением многочлена.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Что именно нужно подставить в многочлен, если делитель имеет вид $x-a$? | Проверка понимания ключевого шага алгоритма. |
Как доказать, что остаток равен $P(a)$, а не просто проверить это на примере? | Выявление понимания структуры доказательства. |
Какое место в самостоятельной работе оказалось самым сложным? | Выявление точек затруднения в вычислениях и интерпретации результата. |
Можете ли вы объяснить, почему $P(a)=0$ означает делимость на $x-a$? | Оценка осознанности следствия теоремы. |
Завершающее слово учителя
"Сегодня мы вывели и доказали теорему Безу: остаток при делении многочлена на $x-a$ можно найти одним вычислением $P(a)$. Обратите внимание на типичную ошибку: при делителе $x+3$ подставляется не 3, а $-3$. Важно не только получить ответ, но и объяснить, почему он означает делимость или неделимость. На следующем уроке мы применим теорему для поиска корней и разложения многочлена на множители."
Домашнее задание
Уровень | Что задать | Зачем |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | Решить 4 задачи: найти остаток от деления многочлена на двучлены вида $x-a$, включая один случай с делителем $x+a$; в каждом решении записать значение $a$ и формулу $r=P(a)$. | Закрепить алгоритм и научиться не ошибаться при определении знака числа $a$. |
Средний (повышающий) | Решить 3 задачи на проверку делимости многочлена на $x-a$ и 2 задачи на нахождение неизвестного коэффициента по условию делимости. | Закрепить следствие теоремы и применение равенства $P(a)=0$ в параметрических задачах. |
Продвинутый (дополнительный) | Исследовать многочлен с двумя известными линейными делителями: проверить делимость, найти соответствующие значения и предложить способ связать теорему Безу с разложением на множители. | Развить исследовательское мышление и подготовить переход к теме корней и разложения многочлена. |
Контрольные вопросы перед выходом: 1) Чему равен остаток при делении $P(x)$ на $x-a$? 2) Какое условие необходимо и достаточно для делимости $P(x)$ на $x-a$ без остатка? 3) Какое число подставляют в многочлен при делителе $x+5$?
