Теорема Безу и схема Горнера
Цели и задачи
- Цель урока по SMART: к концу урока научиться применять теорему Безу для проверки делимости многочлена на двучлен x−a и использовать схему Горнера для вычисления значения многочлена и выполнения деления с остатком.
- Сформировать понимание связи между значением многочлена P(a), остатком от деления на x−a и условием делимости многочлена на двучлен.
- Научить выполнять синтетическое деление многочлена по схеме Горнера и проверять полученный результат.
- Развивать умение выдвигать гипотезу, находить закономерность по нескольким примерам и обосновывать математический вывод.
- Формировать ответственное отношение к самопроверке вычислений и понимание практической ценности алгебраических алгоритмов при решении задач повышенного уровня.
Планируемые результаты
Личностные
- Осознают ценность доказательного рассуждения и проверки результата несколькими способами.
- Проявляют познавательный интерес к исследованию закономерности, связывающей деление многочлена и его значение в точке.
- Развивают готовность самостоятельно выбирать способ решения и оценивать его надёжность.
- Понимают связь изучаемого материала с дальнейшим изучением функций, уравнений и математическим образованием в вузе.
Метапредметные
- Выделяют существенные данные в условии, переводят алгебраическую ситуацию в последовательность вычислительных действий.
- Сравнивают результаты деления столбиком и схемы Горнера, формулируют общий вывод на основе частных случаев.
- Планируют решение, осуществляют пошаговый самоконтроль и корректируют вычислительную ошибку.
- Аргументированно представляют решение в паре и кратко объясняют смысл полученного остатка.
Предметные
- Знать формулировку теоремы Безу и условие делимости многочлена на двучлен x−a.
- Уметь находить остаток от деления многочлена P(x) на x−a через вычисление P(a).
- Уметь выполнять деление многочлена на двучлен по схеме Горнера, включая случай пропущенных степеней.
- Владеть навыком проверки результата по равенству P(x)=(x−a)Q(x)+P(a).
- Уметь применять теорему Безу для проверки, является ли число корнем многочлена.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Определяют личный уровень понимания алгоритма и формулируют, какая операция требует дополнительной тренировки.
- Осознают смысл математического доказательства как способа получить надёжное, а не случайное правило.
- Проявляют самостоятельность при выборе между вычислением значения и делением по схеме Горнера.
Регулятивные УУД
- Принимают учебную задачу и формулируют ожидаемый результат урока.
- Планируют последовательность действий при применении схемы Горнера.
- Сверяют промежуточные вычисления с эталоном и находят место ошибки.
- Оценивают результат по критериям: правильность коэффициентов, остатка и итоговой проверки.
Познавательные УУД
- Моделируют деление многочлена на двучлен последовательностью коэффициентов.
- Анализируют несколько вычислительных примеров и выявляют общий алгоритм.
- Устанавливают связь между значением P(a), остатком и корнем многочлена.
- Используют символическую запись для доказательства теоремы Безу.
Коммуникативные УУД
- Формулируют гипотезу и обосновывают её в паре.
- Задают уточняющие вопросы о знаке числа a и порядке коэффициентов.
- Согласовывают общий ответ группы и представляют его классу.
- Корректно дают однокласснику обратную связь по алгоритму решения.
Подготовка учителя к уроку
- Подготовить презентацию или запись на доске с многочленами P(x)=x³−2x²−5x+6 и P(x)=2x⁴−3x²+x−5 для исследовательского сравнения.
- Распечатать карточки трёх уровней: базовый, повышающий и исследовательский — по одной на каждого ученика.
- Подготовить отдельные карточки с коэффициентами многочленов, включая нулевые коэффициенты пропущенных степеней, по одному комплекту на пару.
- Вывести на доску памятку: «1. Записать коэффициенты. 2. Снести первый коэффициент. 3. Умножить на a. 4. Прибавить следующий коэффициент» — пока без готового решения.
- Подготовить слайд с формулировками «P(a) — остаток при делении P(x) на x−a» и «P(a)=0 ⇔ x−a — делитель P(x)».
- Подготовить эталон самостоятельной работы для показа после выполнения заданий.
- Распечатать лист самооценки со светофором и тремя критериями: вычисление, остаток, проверка.
- Подготовить доску, маркеры или интерактивную доску, таймер на 3–5 минут и калькуляторы только для учительской проверки, но не для выполнения заданий.
Ход урока
Этап 1. Организационный момент и мотивация (3 мин)
Цель этапа: включить учащихся в исследовательскую работу и показать практическую задачу, которую нельзя быстро решить привычным делением.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель приветствует класс: "Здравствуйте, ребята. Сегодня мы будем не просто применять готовую формулу, а попробуем восстановить математический алгоритм по наблюдениям. Подготовьте тетради, ручки и настройтесь на точные вычисления: в этом уроке одна неверно переписанная степень меняет весь результат." | Проверяют готовность, записывают дату, открывают тетради и формулируют ожидание: "Будем искать способ быстрее делить многочлены". |
2 мин | Учитель показывает на доске многочлен P(x)=x³−2x²−5x+6 и задаёт проблемный вопрос: "Как быстро проверить, делится ли этот многочлен на x−2, не выполняя полное деление столбиком? Можно ли получить ответ только последовательностью действий с коэффициентами? Запишите свою первую гипотезу, даже если пока не уверены." | Индивидуально записывают гипотезы, затем называют варианты: "Нужно вычислить P(2)", "Можно использовать коэффициенты по очереди", "Если значение равно нулю, деление должно быть без остатка". |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы увидели задачу на быструю проверку делимости. Сейчас вспомним, что уже знаем о делении многочленов и остатке, чтобы понять, на каком месте возникает затруднение."
Этап 2. Актуализация знаний (6 мин)
Цель этапа: восстановить понятия остатка, корня многочлена и деления с остатком.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель проводит приём "Подумай — обсуди в паре — поделись": "Вспомните общий вид деления многочлена на двучлен x−a. Что означает запись P(x)=(x−a)Q(x)+R? Какова возможная степень остатка? Сначала подумайте молча, затем обсудите ответ с соседом и подготовьте одну точную формулировку." | Сначала формулируют ответ индивидуально, затем обсуждают в парах и сообщают: "R — остаток", "При делении на многочлен первой степени остаток имеет степень меньше первой, значит, является числом". |
3 мин | Учитель записывает на доске: P(x)=(x−a)Q(x)+R и спрашивает: "Что произойдёт, если вместо x подставить a? Как через это определить R? А что означает условие P(a)=0? Не называйте только ответ — объясните цепочку рассуждений." | Подставляют x=a: P(a)=R, потому что (a−a)Q(a)=0. Формулируют: "Если P(a)=0, то остаток нулевой и x−a является делителем P(x); число a является корнем многочлена". |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы восстановили важную связь: остаток равен значению многочлена в точке a. Теперь проверим на примере, можно ли вычислять это значение особым способом — только по коэффициентам."
Этап 3. Постановка проблемы и целеполагание (4 мин)
Цель этапа: сформулировать учебную задачу и критерии успешного освоения нового алгоритма.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель предлагает исследование: "Вычислите значение P(2) для многочлена P(x)=x³−2x²−5x+6. Теперь посмотрите на коэффициенты 1, −2, −5, 6. Предположите, можно ли получить тот же результат, выполняя только повторяющиеся действия: умножение на 2 и сложение с очередным коэффициентом. Запишите последовательность." | Вычисляют P(2)=8−8−10+6=−4, пробуют последовательность: 1·2−2=0; 0·2−5=−5; −5·2+6=−4. Замечают совпадение. |
2 мин | Учитель организует "Снежный ком": "Сначала сравните результат в паре, затем объединитесь с другой парой и сформулируйте общий вопрос урока. Что нужно научиться делать по этой схеме?" Учитель фиксирует на доске цель и критерии: правильная запись коэффициентов, последовательное умножение и сложение, проверка остатка. | Формулируют цель: "Научиться находить значение многочлена и остаток при делении на x−a по схеме Горнера, а затем проверять делимость". Записывают критерии в тетради. |
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Цель сформулирована. Мы не будем принимать найденную закономерность на веру: сначала выведем её из обычного деления, затем применим к новым заданиям и проверим результат."
Этап 4. Открытие нового знания (10 мин)
Цель этапа: вывести схему Горнера и связать последний полученный коэффициент с остатком по теореме Безу.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
4 мин | Учитель записывает на доске коэффициенты многочлена P(x)=x³−2x²−5x+6 и число a=2: "Посмотрите: первый коэффициент мы переносим без изменения. Затем умножаем его на a и прибавляем к следующему коэффициенту. Полученный результат снова умножаем на a и прибавляем следующий коэффициент. Последнее число — предполагаемый остаток. Выполним действия медленно и проговорим каждое." | Записывают схему: 1; 1·2−2=0; 0·2−5=−5; −5·2+6=−4. Делают вывод: частное имеет коэффициенты 1, 0, −5, а остаток равен −4. |
3 мин | Учитель объясняет доказательную связь: "Обычное деление даёт равенство P(x)=(x−a)Q(x)+R. Подставим x=a: P(a)=R. Значит, последний результат схемы Горнера обязан совпадать со значением P(a). Поэтому схема одновременно вычисляет значение многочлена и остаток от деления на x−a. Это и есть содержание теоремы Безу." | Записывают формулировку: "Остаток от деления многочлена P(x) на x−a равен P(a)". Формулируют следствие: "x−a является делителем P(x) тогда и только тогда, когда P(a)=0". |
3 мин | Учитель предлагает второй пример с пропущенной степенью: "Рассмотрим P(x)=2x⁴−3x²+x−5 и деление на x−1. Как представить коэффициенты? Не забывайте: пропущенный член означает нулевой коэффициент. Выполните схему вместе со мной и объясните, что означает последний результат." | Записывают коэффициенты 2, 0, −3, 1, −5. Выполняют: 2; 2·1+0=2; 2·1−3=−1; −1·1+1=0; 0·1−5=−5. Получают частное 2x³+2x²−x и остаток −5; заключают, что x−1 не является делителем. |
Запись в тетрадях
Ученики записывают: «Теорема Безу: остаток от деления многочлена P(x) на x−a равен P(a). Следствие: x−a — делитель P(x) тогда и только тогда, когда P(a)=0. Схема Горнера: первый коэффициент переписать; умножить его на a; результат сложить со следующим коэффициентом; повторять до конца. Последнее число — остаток, предыдущие числа — коэффициенты частного».
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы вывели алгоритм и проверили его на многочлене с пропущенной степенью. Теперь каждый шаг нужно проговорить самостоятельно, чтобы схема стала рабочим инструментом, а не механической таблицей."
Этап 5. Первичное закрепление (7 мин)
Цель этапа: закрепить алгоритм схемы Горнера при вычислении остатка и проверке корня многочлена.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель раздаёт карточки на парту и говорит: "Выполните в парах задачу: найдите остаток от деления P(x)=2x³−x²−4x+3 на x−2 по схеме Горнера. Один ученик диктует действия, второй записывает схему, затем поменяйтесь ролями. Не раскрывайте многочлен полностью, если можно работать с коэффициентами." | Записывают коэффициенты 2, −1, −4, 3 и выполняют: 2; 2·2−1=3; 3·2−4=2; 2·2+3=7. Формулируют: "Остаток равен 7". |
2 мин | Учитель задаёт вопрос для проверки смысла: "Можно ли утверждать, что число 2 является корнем этого многочлена? Обоснуйте ответ одним предложением. Какой признак вы используете?" | Отвечают: "Нет, потому что P(2)=7, а корень должен давать значение ноль; остаток не равен нулю". |
2 мин | Учитель предлагает взаимопроверку по приёму "Две звезды и пожелание": "Сверьте схему с эталоном на доске. Отметьте два удачных действия партнёра и один конкретный совет, например: не пропускать нулевой коэффициент или внимательнее работать со знаком." | Сверяют каждый переход, записывают партнёру две сильные стороны и один совет, исправляют найденную ошибку. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Схема позволяет быстро получить остаток и сразу сделать вывод о корне. Теперь проверим, можете ли вы выполнить весь алгоритм самостоятельно, включая запись частного и итоговую проверку."
Этап 6. Самостоятельная работа с самопроверкой (10 мин)
Цель этапа: диагностировать индивидуальное владение теоремой Безу и схемой Горнера на заданиях трёх уровней.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
6 мин | Учитель раздаёт карточки трёх уровней: "Выполните обязательное задание: для P(x)=x³−4x²+x+6 найдите остаток и частное при делении на x−2. Затем выберите повышенное или исследовательское задание. Повышенное: проверьте, является ли число −1 корнем многочлена 2x³+x²−5x+2. Исследовательское: найдите параметр m, при котором x−2 делит многочлен x³+mx²−4x+8. Все преобразования записывайте, чтобы можно было проверить ход мысли." | Индивидуально выполняют обязательное задание и одно задание по выбору. В обязательном задании получают коэффициенты 1, −4, 1, 6; схема даёт 1, −2, −3, 0, значит частное x²−2x−3, остаток 0. |
2 мин | Учитель выводит на доску эталон и говорит: "Проверьте не только последний результат, но и соответствие равенству P(x)=(x−2)Q(x)+R. Если остаток нулевой, умножьте найденное частное на x−2 и убедитесь, что получается исходный многочлен." | Сверяют решение, раскрывают скобки для обязательного задания: (x−2)(x²−2x−3)=x³−4x²+x+6. Исправляют вычислительные или знаковые ошибки. |
2 мин | Учитель просит заполнить лист самооценки: "Поставьте плюс напротив утверждений, которые можете подтвердить: я правильно записываю коэффициенты; я не теряю знак числа a; я понимаю смысл последнего числа; я умею проверить результат. Красный, жёлтый или зелёный сигнал покажет, нужна ли вам дополнительная тренировка." | Заполняют лист самооценки, поднимают карточку светофора и формулируют личный вывод: "Мне нужно потренировать знаки" или "Я могу самостоятельно применить алгоритм". |
Эталон решения
Для P(x)=x^3−4x^2+x+6 и a=2: коэффициенты: 1, −4, 1, 6. Схема: b_0=1; b_1=1·2−4=−2; b_2=−2·2+1=−3; b_3=−3·2+6=0. Поэтому Q(x)=x^2−2x−3, R=0. Проверка: (x−2)(x^2−2x−3)=x^3−4x^2+x+6.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Самостоятельная работа показала, что алгоритм уже можно применять без постоянной подсказки. В завершение обобщим, когда удобнее вычислять P(a), а когда — сразу получать частное и остаток по схеме Горнера."
Этап 7. Включение в систему знаний, рефлексия и домашнее задание (5 мин)
Цель этапа: обобщить изученное, выявить уровень понимания и определить дальнейшую учебную работу.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель проводит блиц-рефлексию: "Закончите три предложения. Теорема Безу утверждает, что… Схема Горнера нужна для того, чтобы… Если последний результат равен нулю, то… Отвечайте кратко, но математически точно." | Формулируют: "Остаток равен P(a)"; "схема быстро вычисляет значение, частное и остаток"; "x−a является делителем, а a — корнем многочлена". |
1 мин | Учитель задаёт контрольный вопрос: "Какой коэффициент нужно записать для пропущенной степени в многочлене 3x⁴−2x²+1 и почему?" | Отвечают: "Коэффициенты 3, 0, −2, 0, 1, потому что пропущенные члены имеют нулевые коэффициенты". |
2 мин | Учитель сообщает домашнее задание и завершает урок: "Выберите обязательный уровень и, при готовности, один из повышенных. Перед уходом проверьте, что в тетради есть формулировка теоремы, алгоритм схемы и один пример с проверкой." | Записывают домашнее задание, отмечают выбранный уровень и сдают или показывают лист самооценки. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Сегодня вы установили связь между значением многочлена и остатком от деления, а затем превратили эту связь в удобный алгоритм. На следующем уроке мы используем теорему Безу и схему Горнера для разложения многочленов на множители и поиска рациональных корней."
Критерии оценивания практической работы
- «5» — верно выполнены обязательное и выбранное дополнительное задания, коэффициенты записаны полностью, схема Горнера проведена без ошибок, остаток и частное указаны, выполнена содержательная проверка результата.
- «4» — верно выполнено обязательное задание и большая часть дополнительного, но допущена одна вычислительная или оформительская ошибка, не нарушающая понимания алгоритма.
- «3» — правильно записана основная последовательность схемы и найден остаток хотя бы в обязательном задании, но допущены ошибки в знаках, пропущенных коэффициентах или проверке.
- Ниже «3» — алгоритм не воспроизведён или последний результат не связан с остатком; требуется повторное выполнение базового задания по памятке.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Что связывает значение P(a) и остаток при делении на x−a? | Выявление понимания теоремы Безу, а не только механического запоминания формулы. |
На каком шаге схемы Горнера вы чаще всего можете допустить ошибку? | Выявление конкретной точки затруднения в алгоритме и необходимости коррекции. |
Как проверить, что найденные частное и остаток верны? | Проверка сформированности навыка самоконтроля через равенство P(x)=(x−a)Q(x)+R. |
Какой уровень домашнего задания вы выбираете и почему? | Осознание собственного уровня освоения материала и развитие учебной самостоятельности. |
Завершающее слово учителя
"Сегодня мы увидели, что деление многочлена можно превратить в компактную последовательность действий с его коэффициентами. Теорема Безу даёт смысл последнего числа: это остаток, а при нулевом результате число становится корнем многочлена. Самая частая ошибка — забыть нулевой коэффициент пропущенной степени или неверно учесть знак числа a. На следующем уроке мы применим этот инструмент для разложения многочленов и поиска их корней."
Домашнее задание
Уровень | Что задать | Зачем |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | Решить 4 задания: для заданных многочленов найти остаток при делении на x−a по схеме Горнера; в двух заданиях определить, является ли a корнем. | Закрепляет запись коэффициентов, последовательность умножения и сложения, смысл последнего результата; при проверке смотреть на знаки и пропущенные степени. |
Средний (повышающий) | Решить 3 задания на деление многочлена третьей или четвёртой степени на x−a с записью частного и остатка, затем выполнить проверку умножением. | Формирует полный навык применения схемы Горнера и контроля равенства P(x)=(x−a)Q(x)+R. |
Продвинутый (дополнительный) | Исследовать параметр: подобрать значение параметра m, при котором x−a делит многочлен с параметром, и объяснить решение через условие P(a)=0. Составить собственный пример многочлена, имеющего заданный корень. | Развивает анализ, обобщение и создание математической модели; при проверке оценивать обоснование, а не только полученное число. |
Контрольные вопросы перед выходом из класса: «Чему равен остаток при делении P(x) на x−a? Какой признак показывает, что a — корень многочлена? Что делать, если в многочлене пропущена степень? Как проверить результат схемы Горнера?»
