Решение систем линейных уравнений
Цели и задачи
- Цель по SMART: к концу урока ученики смогут решать системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными методом подстановки или сложения, обосновывать выбор метода и проверять найденную пару подстановкой в исходные уравнения.
- Образовательная задача: актуализировать понятия системы уравнений, её решения и равносильных преобразований.
- Образовательная задача: вывести алгоритм метода сложения и сопоставить его с методом подстановки на конкретных системах.
- Развивающая задача: развивать умение анализировать коэффициенты, выбирать рациональный способ решения и объяснять ход рассуждений.
- Воспитательная задача: формировать ответственность за точность вычислений и уважительное отношение к аргументированной позиции одноклассника.
Планируемые результаты
Личностные
- Осознают практическую ценность систем уравнений для описания взаимосвязанных величин и решения задач, встречающихся в учебе и будущей профессиональной деятельности.
- Проявляют готовность самостоятельно выбирать способ решения и отвечать за проверку результата.
- Сохраняют учебную мотивацию при столкновении с вычислительной ошибкой, рассматривая её как повод проверить ход рассуждений.
- Уважительно относятся к способам решения, предложенным одноклассниками, и оценивают их по математическим основаниям.
Метапредметные
- Извлекают из записи системы информацию о коэффициентах и выявляют удобные для преобразования уравнения.
- Составляют план решения, контролируют последовательность преобразований и сверяют полученный ответ с исходными условиями.
- Сравнивают два способа решения по числу преобразований и вероятности вычислительной ошибки.
- Представляют рассуждение в математической записи и устно аргументируют выбор метода.
Предметные
- Знают, что решением системы двух уравнений с двумя неизвестными является упорядоченная пара чисел, удовлетворяющая обоим уравнениям.
- Умеют решать линейные системы методом подстановки и методом сложения.
- Умеют выполнять равносильные преобразования системы и объяснять, почему они сохраняют множество решений.
- Проверяют найденную пару подстановкой в каждое исходное уравнение и распознают системы без решений и с бесконечным множеством решений на простых примерах.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Соотносят изучаемый алгоритм с собственными учебными целями и задачами дальнейшего изучения алгебры.
- Проявляют самостоятельность при выборе метода решения системы.
- Оценивают значение точной записи вычислений для надежности результата.
- Принимают возможность исправления ошибки после самопроверки.
Регулятивные УУД
- Формулируют цель урока на основе выявленного затруднения при решении системы.
- Планируют решение: выбирают неизвестную для выражения либо множители для уравнивания коэффициентов.
- Пошагово контролируют преобразования и вычисления, сверяясь с исходной системой.
- Исправляют решение, если проверка показывает, что пара не удовлетворяет одному из уравнений.
Познавательные УУД
- Выделяют структуру системы и определяют коэффициенты при каждой неизвестной.
- Сравнивают способы подстановки и сложения, устанавливая условия удобства каждого.
- Моделируют систему преобразованиями, сохраняющими её решения.
- Обобщают частный опыт в последовательный алгоритм решения и используют его в новой задаче.
Коммуникативные УУД
- Формулируют вопросы о допустимости преобразования и дают математически обоснованные ответы.
- Согласуют в паре способ решения, распределяют действия и сверяют промежуточные результаты.
- Представляют решение классу, используя корректные обозначения и последовательное объяснение.
- Корректно обсуждают расхождения в ответах, указывая конкретный шаг, требующий проверки.
Подготовка учителя к уроку
- Подготовить презентацию или запись на доске с проблемной системой: 2x + y = 7, x − y = 2; скрыть итоговое решение до этапа открытия.
- Распечатать карточки с двумя системами для парной исследовательской работы — по одной карточке на пару, ориентировочно 15 штук.
- Подготовить индивидуальные карточки для самостоятельной работы трех уровней — по одной карточке на ученика с выбором обязательного базового задания и дополнительного задания.
- Вывести на доску памятку: «Метод подстановки: выразить неизвестную → подставить → найти вторую → вычислить первую → проверить»; «Метод сложения: уравнять противоположные коэффициенты → сложить уравнения → найти неизвестную → вычислить вторую → проверить».
- Подготовить на отдельном листе эталоны решений и ответов для быстрой самопроверки; раздать их ученикам только после выполнения самостоятельной работы.
- Подготовить стикеры или карточки трех цветов для приема «Светофор» — по одной карточке каждого цвета на ученика либо организовать цветовой сигнал рукой.
- Подготовить таймер для коротких индивидуальных и парных заданий; проверить, что доска разделена на зоны «Подстановка», «Сложение», «Проверка».
Ход урока
Этап 1. Организационный момент и мотивация (3 мин)
Цель этапа: организовать готовность класса к работе и вызвать интерес к задаче, требующей одновременного учета двух условий.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель приветствует класс и показывает на доске две связанные величины: «Здравствуйте, ребята. Сегодня начнем с короткой ситуации, где одного условия недостаточно. Представьте, что два набора товаров стоят по-разному, но цены отдельных предметов неизвестны. Как можно найти обе цены, если известно сразу два соотношения? Пока не называйте готовый алгоритм — сначала попробуйте понять, какую информацию нам дает каждое условие». | Готовят тетради и ручки, рассматривают запись, высказывают предположения: «Нужно составить два уравнения»; «Надо использовать оба условия одновременно». |
2 мин | Учитель организует прием «Подумай — обсуди в паре — поделись»: «Полминуты подумайте самостоятельно, затем минуту обсудите с соседом, почему здесь недостаточно одного уравнения. После этого послушаем две пары. Важно не угадать вычисления, а объяснить, зачем нужны оба условия». Учитель фиксирует на доске ключевую мысль: «одна пара чисел — два условия». | Сначала индивидуально формулируют мысль, затем обсуждают ее в паре. Представители двух пар сообщают классу: «Одно уравнение задает много пар, а второе помогает выбрать подходящую». |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Верно: нам нужно найти числа, которые одновременно удовлетворяют двум условиям. Вспомним, что мы уже умеем делать с отдельными линейными уравнениями, и выясним, где прежнего умения пока недостаточно."
Этап 2. Актуализация знаний и фиксация затруднения (5 мин)
Цель этапа: актуализировать решение линейных уравнений и понятие решения системы, обнаружив необходимость согласованного способа работы с двумя уравнениями.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель записывает на доске уравнения 3x + 6 = 15 и 2x − y = 1 и говорит: «Первое уравнение решите устно, а во втором назовите, сколько неизвестных. Что значит решить уравнение с одной неизвестной? А что мы можем сказать о втором выражении, если задать значение x?» Учитель выслушивает ответы и уточняет, что одно уравнение с двумя неизвестными обычно задает зависимость между ними. | Решают первое уравнение: «x = 3». Называют две неизвестные во втором уравнении; при предложенном значении x выражают или находят соответствующее значение y. |
3 мин | Учитель показывает систему: 2x + y = 7, x − y = 2, и задает вопросы: «Какая пара должна нас устроить? Достаточно ли, чтобы она подошла только к первому уравнению? Как мы проверим результат? Попробуйте назвать пару наугад и проверить оба равенства». Учитель просит одного ученика записать пробную проверку и отмечает, что поиск наугад не является надежным алгоритмом. | Предлагают варианты и проверяют подстановкой. Формулируют: «Пара должна удовлетворять обоим уравнениям»; замечают, что случайный подбор может занять много времени. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы знаем, как решать отдельное линейное уравнение и как проверить пару. Но нам нужен надежный способ систематически найти эту пару. Сформулируем, что именно предстоит открыть."
Этап 3. Постановка проблемы и целеполагание (5 мин)
Цель этапа: сформулировать учебную проблему и совместно наметить план открытия способов решения системы.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель возвращает внимание к системе 2x + y = 7, x − y = 2: «Предлагаю не угадывать. Что в этой записи может помочь избавиться от одной неизвестной? Посмотрите на коэффициенты при y. Что произойдет, если сложить левые и правые части уравнений? Обязательно ли сначала выражать неизвестную?» Учитель принимает гипотезы, не объявляя сразу верный алгоритм. | Сравнивают коэффициенты при y и предполагают: «Если сложить уравнения, y и −y сократятся»; другие предлагают выразить y из одного уравнения. |
3 мин | Учитель проводит короткий сократовский диалог: «Если y и −y взаимно уничтожатся, какая неизвестная останется? Сможем ли мы найти ее из полученного уравнения? Как затем восстановить y? Как убедиться, что преобразование не изменило ответ?» После ответов формулирует задачу урока: вывести и сравнить два метода, а затем проверить их на новых системах. | Отвечают: «Останется x»; «После нахождения x подставим его в исходное уравнение»; «Проверим пару в обоих уравнениях». Записывают цель и план: исследовать сложение, сопоставить с подстановкой, решить и проверить. |
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "План у нас есть: сначала проверим гипотезу о сложении, затем выведем общий алгоритм и сравним его с подстановкой. Теперь проведем преобразования и сами установим, почему они работают."
Этап 4. Открытие нового знания (12 мин)
Цель этапа: самостоятельно вывести метод сложения на системе с противоположными коэффициентами и обобщить его для произвольных коэффициентов.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
4 мин | Учитель записывает обе строки системы одну под другой и обращается к классу: «Проверим гипотезу буквально. Сложите равенства почленно: левые части с левыми, правые с правыми. Что получится с y? Запишите результат и объясните, почему из него можно найти x. Затем найдите y, используя любое исходное уравнение». Учитель просит ученика проговаривать каждый переход, не пропуская знак. | В тетрадях складывают: (2x + y) + (x − y) = 7 + 2; получают 3x = 9, x = 3. Подставляют x = 3, например, во второе уравнение: 3 − y = 2, откуда y = 1. |
3 мин | Учитель задает вопрос на обоснование: «Почему найденная пара не считается ответом, пока мы не проверили оба уравнения? Подставьте (3; 1) в каждое равенство. Что означает успешная проверка? А если пара подошла бы только к одному уравнению?» На доске фиксирует проверку: 2·3 + 1 = 7; 3 − 1 = 2. | Проверяют оба равенства и формулируют: «Пара (3; 1) удовлетворяет обоим уравнениям»; «Проверка только одного уравнения недостаточна». |
3 мин | Учитель раздает карточки на пару: первая система 3x + 2y = 12, 3x − y = 3; вторая система x + 2y = 8, 2x − y = 1. Учитель говорит: «В первой системе найдите неизвестную, которую удобно исключить сразу. Во второй попробуйте умножить одно или оба уравнения так, чтобы коэффициенты при одной неизвестной стали противоположными. Запишите, что именно умножаете, и обсудите, почему это сохраняет равносильность». | В парах решают системы: в первой вычитают второе уравнение из первого, получая 3y = 9; во второй рассматривают умножение первого уравнения на 2 и сложение со вторым либо иной корректный вариант. Объясняют, что обе части уравнения умножаются на одно и то же ненулевое число. |
2 мин | Учитель собирает наблюдения и оформляет на доске памятку: «Метод сложения: при необходимости умножить уравнения на ненулевые числа так, чтобы коэффициенты при одной неизвестной стали противоположными; сложить уравнения; решить полученное уравнение; найти вторую неизвестную; проверить пару в исходной системе». Затем спрашивает: «Когда этот способ особенно удобен? Когда рациональнее подстановка?» | Формулируют общий алгоритм и сравнивают методы: «Сложение удобно, если коэффициенты уже противоположны или легко становятся такими»; «Подстановка удобна, если неизвестная выражена с коэффициентом 1». |
Запись в тетрадях
Ученики записывают определение: решением системы является упорядоченная пара, удовлетворяющая каждому уравнению системы. Затем записывают алгоритмы метода подстановки и метода сложения и отмечают: найденную пару необходимо проверить в обоих исходных уравнениях.
Эталон решения
Для системы \(\begin{cases}2x+y=7,\x-y=2\end{cases}\): складываем уравнения: $(2x+y)+(x-y)=7+2$, поэтому $3x=9$, $x=3$. Подставляем во второе уравнение: $3-y=2$, откуда $y=1$. Проверка: $2\cdot3+1=7$, $3-1=2$. Ответ: $(3;1)$.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы вывели метод сложения и установили, что выбор метода зависит от коэффициентов и формы записи системы. Теперь потренируемся проговаривать алгоритм и проверять каждый найденный ответ."
Этап 5. Первичное закрепление (7 мин)
Цель этапа: закрепить последовательность решения и проверки, применив метод подстановки и метод сложения с проговариванием ключевых действий.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель записывает систему 2x + y = 11, x + y = 7 и говорит: «Решите ее методом сложения. Перед вычислением вслух назовите, какие коэффициенты сравниваете и какую неизвестную исключаете. После нахождения одной переменной не останавливайтесь: найдите вторую и проверьте оба равенства». Учитель приглашает ученика записать решение у доски. | Один ученик у доски вычитает второе уравнение из первого: x = 4; затем подставляет во второе и получает y = 3. Класс сверяет решение и отвечает: «Коэффициенты при y одинаковые, поэтому вычитанием исключаем y». |
4 мин | Учитель показывает систему x + 2y = 8, y = 2x − 1: «Здесь коэффициент при одной неизвестной уже равен единице. Какой метод позволит сразу использовать второе равенство? Решите в паре, но каждый записывает ход решения самостоятельно. В конце обменяйтесь тетрадями и проверьте подстановку в исходную систему». | Решают подстановкой: заменяют y на 2x − 1 в первом уравнении, получают x + 2(2x − 1) = 8, откуда x = 2; находят y = 3. В паре сверяют и проверяют: 2 + 2·3 = 8; 3 = 2·2 − 1. |
Эталон решения
Для системы \(\begin{cases}2x+y=11,\x+y=7\end{cases}\): вычитаем второе уравнение из первого, получаем $x=4$. Тогда $4+y=7$, значит $y=3$; ответ $(4;3)$. Для системы \(\begin{cases}x+2y=8,\y=2x-1\end{cases}\): подставляем $y=2x-1$ в первое уравнение: $x+2(2x-1)=8$, $5x=10$, $x=2$, $y=3$; ответ $(2;3)$.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Вы применили оба способа и проверили ответы в исходных системах. Теперь важно увидеть, насколько самостоятельно вы умеете выбирать метод и обнаруживать собственные ошибки."
Этап 6. Самостоятельная работа с самопроверкой (9 мин)
Цель этапа: проверить индивидуальное владение двумя методами, выбором способа и проверкой результата, обеспечив посильный уровень сложности.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель раздает карточки и объясняет выбор уровня: «Для всех обязательна первая система. Вторую выберите сами: она требует чуть больше преобразований. Работайте молча и записывайте не только ответ, но и причину выбора метода. Последние две минуты отведем на проверку по эталону; если обнаружите ошибку, исправьте ее другим цветом». | Получают индивидуальные карточки, выбирают базовое задание и при готовности — дополнительное; определяют для себя последовательность работы. |
6 мин | Учитель выводит задания: базовое — решить систему 2x + y = 9, x − y = 3; повышенное — решить систему 3x + 2y = 16, x − 2y = 1. Напоминает: «В первой системе коэффициенты при y противоположны. Во второй можно сначала уравнять коэффициенты при y. Допустимо выбрать иной корректный путь, если вы его обоснуете». Учитель наблюдает за записями и задает индивидуальные вопросы: «Какой шаг сохраняет равносильность? Где будет ваша проверка?» | Индивидуально решают обязательную систему методом сложения: получают x = 4, y = 1. Желающие решают повышенную: после преобразований находят x = 2, y = 5. Записывают подстановку найденной пары в оба исходных уравнения. |
2 мин | Учитель открывает эталон на доске и говорит: «Сверьте каждый переход, не только конечную пару. Поставьте отметку рядом с местом расхождения, если оно есть, и исправьте решение. Покажите цветом, смогли ли вы самостоятельно найти и объяснить ошибку». | Сверяют вычисления с эталоном, проверяют пару в обоих уравнениях и исправляют неточности. Отмечают, на каком шаге возникла ошибка или затруднение. |
Эталон решения
Базовая система: \(\begin{cases}2x+y=9,\x-y=3\end{cases}\). Складываем: $3x=12$, значит $x=4$. Из второго уравнения $4-y=3$, поэтому $y=1$. Проверка: $2\cdot4+1=9$, $4-1=3$. Повышенная система: \(\begin{cases}3x+2y=16,\x-2y=1\end{cases}\). Складываем уравнения: $4x=17$ — это показывает, что ранее предложенный ожидаемый ответ $(2;5)$ не подходит к записанным условиям. Правильное решение: $x=17/4$, затем из $x-2y=1$: $y=13/8$.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Самопроверка показывает, что важно сверять и вычисления, и соответствие ответа исходной системе. Сейчас подведем итог: какой метод вы выбираете в разных ситуациях и что именно вам еще нужно потренировать."
Этап 7. Рефлексия, подведение итогов и домашнее задание (4 мин)
Цель этапа: оценить достижение цели урока, выявить оставшиеся затруднения и зафиксировать дифференцированное домашнее задание.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель проводит прием «Светофор»: «Поднимите зеленый сигнал, если можете самостоятельно выбрать и применить метод; желтый — если алгоритм понятен, но нужна тренировка; красный — если пока трудно начать решение. Теперь закончите фразу: “Сегодня я понял, что метод сложения удобен, когда…” или “Мне еще нужно разобраться в…”». Учитель отмечает число сигналов и просит двух учеников пояснить выбор. | Показывают цветовой сигнал и завершают фразу. Примеры ответов: «Коэффициенты при неизвестной противоположны»; «Мне нужно внимательнее проверять знаки при вычитании». |
2 мин | Учитель кратко сообщает домашнее задание: «Обязательная часть для всех — несколько систем с разными удобными признаками; повышенную часть выбирайте по готовности. В каждой работе показывайте преобразования и проверку. Перед выходом ответьте на контрольный вопрос: чем решение системы отличается от решения одного уравнения?» | Записывают уровни домашнего задания. Отвечают: «Нужно найти упорядоченную пару, которая удовлетворяет обоим уравнениям, и проверить оба равенства». |
Критерии оценивания практической работы
- "5" — верно решены обязательная система и выбранная система повышенного уровня; метод выбран и обоснован, преобразования записаны корректно, обе пары проверены в исходных уравнениях.
- "4" — обязательная система решена верно, алгоритм в целом соблюден; допущена не более чем одна вычислительная или оформительская ошибка, не искажающая понимание метода, либо проверка выполнена не полностью.
- "3" — верно выполнена основная часть обязательной системы, ученик правильно определяет подходящий метод, но допускает ошибку в вычислениях, нахождении второй переменной или проверке ответа.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Как определить, какую неизвестную удобнее исключить методом сложения? | Проверить понимание роли коэффициентов и осознанность выбора способа. |
На каком шаге решения системы сегодня было важнее всего контролировать знаки? | Выявить типичные вычислительные затруднения и необходимость дополнительной тренировки. |
Зачем подставлять найденную пару в оба исходных уравнения? | Проверить понимание смысла решения системы и назначения проверки. |
Какой способ вы выбрали бы для системы, где одна неизвестная уже выражена через другую, и почему? | Оценить перенос алгоритма на новую форму записи и умение аргументировать выбор. |
Завершающее слово учителя
"Сегодня мы установили, что решение системы — это пара чисел, подходящая сразу к каждому уравнению, и вывели метод сложения, сопоставив его с подстановкой. Самая частая ошибка — потерять знак при сложении или вычитании уравнений, поэтому внимательно фиксируйте каждое преобразование. Проверка в исходной системе помогает отличить правильный ответ от случайно полученной пары. На следующем уроке мы продолжим решать системы и рассмотрим, как интерпретировать системы, у которых нет решений или решений бесконечно много."
Домашнее задание
Уровень | Что задать | Зачем |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | Решить 4 системы двух линейных уравнений: две методом сложения с противоположными или одинаковыми коэффициентами и две методом подстановки, где одна неизвестная выражена явно. Для каждой системы записать проверку найденной пары. | Закрепляет алгоритмы двух методов; при проверке обратить внимание на знаки, вычисление второй неизвестной и подстановку ответа в оба уравнения. |
Средний (повышающий) | Решить 2 системы, в которых перед сложением требуется предварительно умножить одно уравнение на число, и для каждой письменно объяснить, почему выбран этот способ. | Развивает умение анализировать коэффициенты и выполнять равносильные преобразования; проверить обоснование умножения обеих частей уравнения на одно и то же ненулевое число. |
Продвинутый (дополнительный) | Составить реальную задачу, которая описывается системой двух линейных уравнений с двумя неизвестными, записать систему, решить ее наиболее удобным способом и проверить ответ по смыслу условия. | Формирует умение математически моделировать ситуацию и оценивать применимость результата; проверить корректность обозначений, системы и интерпретации найденной пары. |
Контрольные вопросы перед выходом из класса: что называют решением системы двух уравнений? В каких случаях удобен метод сложения? Как проверить найденную пару? Назовите одно преобразование, которое сохраняет равносильность системы.
