Решение квадратных тригонометрических уравнений способом замены переменной
Цели и задачи
- Цель: научиться решать тригонометрические уравнения, сводимые к квадратным с помощью введения новой переменной, учитывая область определения тригонометрических функций.
- Образовательная задача: сформировать алгоритм решения уравнений вида a*f²(x) + b*f(x) + c = 0.
- Развивающая задача: развивать навыки критического мышления через анализ корней вспомогательного квадратного уравнения.
- Воспитательная задача: воспитывать ответственность за результат через процедуру самопроверки по эталону.
Планируемые результаты
Личностные
- Готовность к осознанному выбору дальнейшей образовательной траектории (подготовка к профильному ЕГЭ).
- Умение ясно и грамотно излагать свои мысли в устной и письменной речи.
- Критичность мышления, умение распознавать логически некорректные высказывания.
Метапредметные
- Умение определять цели и составлять планы деятельности.
- Навыки познавательной рефлексии как осознания совершаемых действий и мыслительных процессов.
- Умение использовать средства ИКТ для визуализации тригонометрических решений.
Предметные
- Знать алгоритм метода замены переменной для тригонометрических уравнений.
- Уметь решать квадратные уравнения относительно sin x, cos x, tg x, ctg x.
- Владеть навыком отбора корней с учетом области значений функций sin x и cos x.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Установление связи между целью учебной деятельности и ее мотивом.
- Формирование научного мировоззрения.
Регулятивные УУД
- Саморегуляция как способность к мобилизации сил и энергии.
- Оценка — выделение и осознание учащимся того, что уже усвоено и что еще подлежит усвоению.
Познавательные УУД
- Выбор наиболее эффективных способов решения задач в зависимости от конкретных условий.
- Анализ объектов с целью выделения признаков.
Коммуникативные УУД
- Умение с достаточной полнотой и точностью выражать свои мысли.
- Управление поведением партнера — контроль, коррекция, оценка действий партнера.
Подготовка учителя к уроку
- Подготовить презентацию с графической интерпретацией тригонометрического круга.
- Распечатать карточки для самостоятельной работы (3 варианта сложности) — 25 шт.
- Проверить работоспособность интерактивной доски и проектора.
- Подготовить шаблоны «Билетов на выход» для рефлексии.
- Выписать на доску основные тригонометрические формулы-подсказки.
Ход урока
Этап 1. Организационный момент и мотивация (3 мин)
Цель этапа: создать психологический настрой на работу, актуализировать значимость темы для будущих экзаменов.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | "Здравствуйте, одиннадцатиклассники! Сегодня мы продолжаем погружение в мир тригонометрии. Посмотрите на доску: там записана цитата Лобачевского: 'Математика — это язык, на котором говорят все точные науки'. Как вы думаете, почему тригонометрические уравнения так часто встречаются в задачах ЕГЭ профильного уровня?" | Приветствуют учителя, проверяют наличие учебников и тетрадей. Высказывают предположения: "Потому что они описывают циклические процессы", "Это база для физики и инженерии". |
2 мин | "Верно. Сегодня мы освоим один из самых мощных инструментов решения сложных уравнений — метод замены переменной. Этот метод позволит нам превращать 'страшные' тригонометрические конструкции в привычные квадратные уравнения. Готовы?" | Слушают учителя, настраиваются на работу, открывают тетради и записывают дату. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Прежде чем мы перейдем к новому, давайте вспомним наш 'багаж' знаний, который нам сегодня пригодится".
Этап 2. Актуализация знаний (5 мин)
Цель этапа: повторить решение простейших тригонометрических уравнений и свойства квадратных уравнений.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | "Давайте проведем блиц-опрос. Я называю уравнение, вы — корни. sin x = 1? cos x = 0? sin x = 2?" Учитель акцентирует внимание на последнем вопросе: "Почему sin x = 2 не имеет решений? Какое ограничение есть у функций синуса и косинуса?" | Отвечают хором или по поднятой руке: "x = π/2 + 2πk", "x = π/2 + πk". На вопрос про sin x = 2 отвечают: "Решений нет, так как область значений синуса от -1 до 1". |
2 мин | "Вспомним алгебру 8 класса. Как мы решаем уравнение t² + 5t - 6 = 0? Кто может быстро назвать корни по теореме Виета?" | Ученики вычисляют: "Сумма корней -5, произведение -6. Значит, корни 1 и -6". |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Отлично, эти два факта — ограничение синуса и умение решать квадратные уравнения — станут фундаментом нашего сегодняшнего урока".
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Этап 3. Выявление места и причины затруднения (4 мин)
Цель этапа: создать проблемную ситуацию, подвести к необходимости введения новой переменной.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель записывает на доске уравнение: sin²x + 5sin x - 6 = 0. "Ребята, посмотрите на это уравнение. Оно похоже на те простейшие, что мы решали раньше? Можем ли мы сразу записать ответ?" | Ученики анализируют запись: "Нет, здесь есть и квадрат синуса, и первая степень. Сразу найти x не получится". |
2 мин | "В чем основная трудность? Что нам мешает?" Учитель подводит к мысли о структуре уравнения: "Если мы закроем слово 'sin', на что станет похожа эта запись?" | Отвечают: "На квадратное уравнение! Мешает то, что вместо переменной стоит целая функция". |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Значит, наша задача — свести это незнакомое тригонометрическое уравнение к знакомому алгебраическому. Как мы назовем тему урока?"
Этап 4. Построение проекта выхода из затруднения (12 мин)
Цель этапа: разработать алгоритм решения и реализовать его на конкретном примере.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | "Давайте введем новую переменную. Пусть sin x = t. Какие требования мы предъявим к t?" Учитель записывает на доске: 'Замена: sin x = t, где |t| ≤ 1'. | Записывают в тетрадь. Комментируют: "t должно быть в пределах от -1 до 1, иначе синус не будет существовать". |
5 мин | "Перепишем наше уравнение через t: t² + 5t - 6 = 0. Мы уже нашли его корни: t₁ = 1, t₂ = -6. Что мы делаем дальше? Все ли корни нам подходят?" | Один ученик у доски записывает решение квадратного уравнения. Класс обсуждает: "t = -6 не подходит, так как оно меньше -1. Пишем: не удовлетворяет условию |t| ≤ 1". |
4 мин | "Теперь делаем обратную замену. Если t = 1, то sin x = 1. Решите это уравнение." | Ученики решают простейшее уравнение: "x = π/2 + 2πk, k ∈ Z". Записывают итоговый ответ. |
Запись в тетрадях
Алгоритм решения:
1. Ввести замену (например, sin x = t).
2. Указать ограничение для новой переменной (|t| ≤ 1 для sin и cos).
3. Решить полученное квадратное уравнение.
4. Проверить корни на соответствие ограничению.
5. Сделать обратную замену и решить простейшие уравнения.
6. Записать ответ.
1. Ввести замену (например, sin x = t).
2. Указать ограничение для новой переменной (|t| ≤ 1 для sin и cos).
3. Решить полученное квадратное уравнение.
4. Проверить корни на соответствие ограничению.
5. Сделать обратную замену и решить простейшие уравнения.
6. Записать ответ.
Эталон решения
$\sin^2 x + 5\sin x - 6 = 0$
Пусть $\sin x = t$, $|t| \le 1$.
$t^2 + 5t - 6 = 0$
$D = 25 - 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 49 = 7^2$
$t_1 = \frac{-5+7}{2} = 1$; $t_2 = \frac{-5-7}{2} = -6$
$t_2 = -6$ — не удовлетворяет условию $|t| \le 1$.
Обратная замена: $\sin x = 1 \implies x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $\frac{\pi}{2} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.
Пусть $\sin x = t$, $|t| \le 1$.
$t^2 + 5t - 6 = 0$
$D = 25 - 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 49 = 7^2$
$t_1 = \frac{-5+7}{2} = 1$; $t_2 = \frac{-5-7}{2} = -6$
$t_2 = -6$ — не удовлетворяет условию $|t| \le 1$.
Обратная замена: $\sin x = 1 \implies x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $\frac{\pi}{2} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы составили универсальный план. Будет ли он работать, если в уравнении будет косинус или тангенс? Давайте проверим".
Этап 5. Первичное закрепление (7 мин)
Цель этапа: закрепить алгоритм при решении уравнений с другими тригонометрическими функциями.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
7 мин | Учитель предлагает задание для работы в парах (прием "Think-Pair-Share"): "Решите уравнение 2cos²x - 5cos x + 2 = 0. Сначала подумайте сами 1 минуту, затем обсудите план с соседом и решите вместе". Учитель ходит по классу, консультирует. | Работают в парах. Один ученик вводит замену cos x = t, другой следит за ограничением. Находят корни t = 1/2 и t = 2. Отбрасывают t = 2. Решают cos x = 1/2. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Вижу, что большинство пар справились. Главная ловушка — не забыть про ограничение — вами успешно пройдена".
Этап 6. Самостоятельная работа с самопроверкой (9 мин)
Цель этапа: индивидуальная проверка усвоения материала, развитие навыков самоконтроля.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
6 мин | Раздает карточки с заданиями трех уровней. "Выберите тот уровень, который вам по силам. Уровень А — базовый, Б — с небольшим усложнением (нужно использовать основное тождество), В — повышенный (с отбором корней на промежутке)". | Выбирают уровень и решают самостоятельно в тетрадях. |
3 мин | Выводит ответы и критерии на экран. "Сверьте свои решения с эталоном. Если есть ошибка — отметьте, на каком шаге алгоритма она возникла". | Проверяют свои работы, ставят знаки '+' или '?' рядом с шагами решения. Оценивают себя. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Самостоятельная работа показала, что метод замены вами освоен. Теперь подведем итоги".
Этап 7. Рефлексия и домашнее задание (5 мин)
Цель этапа: осознание учащимися своей учебной деятельности, самооценка результатов.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | "Наш урок подходит к концу. Заполните, пожалуйста, 'Билет на выход'. Ответьте на один вопрос: какой шаг в алгоритме кажется вам самым коварным?" | Заполняют короткие анкеты-листочки, сдают их учителю при выходе. |
2 мин | Объясняет домашнее задание, акцентируя внимание на творческом пункте. | Записывают задание в дневники. |
Критерии оценивания практической работы
- "5" — работа выполнена полностью, без ошибок; верно выполнен отбор корней (для уровня В).
- "4" — алгоритм соблюден, но допущена одна вычислительная ошибка или не полностью записан ответ.
- "3" — верно введена замена и решено квадратное уравнение, но допущены ошибки в обратной замене или не учтены ограничения.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
В какой момент решения тригонометрического уравнения мы переходим к алгебре? | Проверка осознания момента введения замены. |
Почему важно проверять условие |t| ≤ 1? | Выявление понимания области значений функций sin и cos. |
Какую оценку ты бы поставил себе за работу на уроке? | Формирование навыка адекватной самооценки. |
Завершающее слово учителя
"Сегодня вы отлично поработали и добавили в свой арсенал очень важный метод. Помните, что замена переменной — это не просто математический трюк, а способ упростить сложную задачу, сведя ее к уже известной. На следующем уроке мы усложним задачу: научимся использовать тригонометрические формулы, чтобы 'подгонять' уравнения под этот метод. Всем спасибо за урок!"
Домашнее задание
Уровень сложности | Задания | Описание |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | № 15.1, 15.3 (учебник) | Решить 4 уравнения по алгоритму. |
Средний (повышающий) | № 15.12 (а, б) | Уравнения, требующие применения формулы sin²x + cos²x = 1 перед заменой. |
Продвинутый (дополнительный) | Творческое задание | Придумать свое квадратное тригонометрическое уравнение, имеющее ровно один корень на круге. |