Рациональные числа. Обыкновенные и десятичные дроби
Цели и задачи
- Цель: К концу урока учащиеся смогут систематизировать знания о множестве рациональных чисел, выведут критерий представимости обыкновенной дроби в виде конечной десятичной и освоят алгоритм перевода периодических дробей в обыкновенные.
- Образовательная задача: Повторить классификацию чисел, закрепить навыки перехода от одной формы записи числа к другой, рассмотреть связь с заданиями ЕГЭ.
- Развивающая задача: Развивать логическое мышление через анализ структуры знаменателя дроби и исследовательские навыки при работе с периодическими дробями.
- Воспитательная задача: Формировать культуру математической речи и ответственное отношение к точности вычислений как фактору успеха на итоговой аттестации.
Планируемые результаты
Личностные
- Готовность к осознанному выбору дальнейшей образовательной траектории на основе понимания роли математики в профессиональной деятельности.
- Критическое отношение к результатам своих вычислений и умение признавать ошибки.
- Формирование качеств мышления, необходимых для адаптации в современном цифровом обществе.
Метапредметные
- Умение структурировать знания, анализировать объекты с целью выделения признаков.
- Способность выбирать наиболее эффективные способы решения задач в зависимости от конкретных условий (выбор формы записи числа).
- Владение навыками смыслового чтения математических текстов и перевода информации из одной знаковой системы в другую.
Предметные
- Знать определение рационального числа и способы его представления.
- Уметь применять критерий разложимости обыкновенной дроби в конечную десятичную.
- Владеть алгоритмом обращения бесконечной десятичной периодической дроби в обыкновенную.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Установление связи между целью учебной деятельности и её мотивом (зачем мне нужно уметь переводить дроби для ЕГЭ).
- Нравственно-этическая ориентация в рамках учебного сотрудничества.
Регулятивные УУД
- Целеполагание как постановка учебной задачи на основе соотнесения того, что уже известно, и того, что ещё неизвестно.
- Прогнозирование результата вычислений.
- Самоконтроль и коррекция действий в случае несовпадения с эталоном.
Познавательные УУД
- Самостоятельное выделение и формулирование познавательной цели.
- Построение логической цепи рассуждений при доказательстве свойств чисел.
- Моделирование процесса перевода периодической дроби через уравнение.
Коммуникативные УУД
- Умение с достаточной полнотой и точностью выражать свои мысли в соответствии с задачами коммуникации.
- Инициативное сотрудничество в поиске и сборе информации при работе в парах.
Подготовка учителя к уроку
- Подготовить презентацию с визуализацией классификации числовых множеств (N, Z, Q).
- Распечатать карточки для самостоятельной работы с заданиями открытого банка ЕГЭ (задание №1 базового уровня и №6 профильного).
- Подготовить на доске таблицу для приёма «Знаю — Хочу узнать — Узнал».
- Проверить наличие калькуляторов (только для этапа исследования структуры дробей).
- Подготовить раздаточный материал с алгоритмом перевода периодических дробей.
Ход урока
Этап 1. Мотивация и самоопределение (3 мин)
Цель этапа: создать эмоциональный настрой и вызвать интерес к теме через парадоксальный факт.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель: "Здравствуйте, коллеги! Именно так я хочу к вам обращаться, ведь в 10 классе мы занимаемся уже серьезной наукой. Посмотрите на доску. Там записано равенство: 0,(9) = 1. Как вы считаете, это правда или математическая шутка? Многие из вас интуитивно скажут, что 0,999... чуть меньше единицы. Но сегодня мы докажем, что это одно и то же число. Зачем нам это? В бланки ЕГЭ мы можем вносить только конечные десятичные дроби. Но вся математика вокруг нас состоит из рациональных чисел, которые не всегда так 'удобны'. Сегодня мы научимся их приручать." | Ученики включаются в диалог, высказывают сомнения: "Наверное, это приближенное равенство", "0,(9) стремится к 1, но не равна ей". Записывают тему урока в тетрадь. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Интрига создана. Чтобы разобраться с этим парадоксом, нам нужно вспомнить, что такое рациональное число в принципе."
Этап 2. Актуализация знаний (5 мин)
Цель этапа: актуализировать базовые понятия о числовых множествах и форме записи рационального числа.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
5 мин | Учитель использует приём «Сократовский диалог»: "Вспомните, какое число называется рациональным? Как оно записывается в общем виде?" Учитель фиксирует на доске формулу Q = {m/n | m ∈ Z, n ∈ N}. "Любую ли обыкновенную дробь можно перевести в десятичную? Давайте попробуем: 1/2, 1/4, 1/5, 1/3, 1/6. Что вы замечаете? Почему одни дроби 'заканчиваются', а другие уходят в бесконечность?" | Ученики отвечают: "Рациональное число — это число, которое можно представить в виде дроби m/n". Выполняют устные вычисления: 1/2=0,5; 1/4=0,25; 1/5=0,2; 1/3=0,333...; 1/6=0,1666... Замечают, что 1/3 и 1/6 дают бесконечный хвост. |
Запись в тетрадях
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Рациональное число — это число вида m/n, где m — целое, n — натуральное. Любое рациональное число можно представить в виде бесконечной периодической десятичной дроби.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы увидели проблему: не все дроби одинаково удобны для записи в десятичном виде. Давайте выясним, от чего это зависит."
Этап 3. Выявление места и причины затруднения (4 мин)
Цель этапа: подвести учащихся к самостоятельному открытию критерия конечности десятичной дроби.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
4 мин | Учитель предлагает приём «Подумай — обсуди в паре»: "Посмотрите на знаменатели дробей, которые превратились в конечные десятичные: 2, 4, 5, 8, 20, 25. И на те, что не превратились: 3, 6, 7, 11, 15. Разложите знаменатели на простые множители. Какую закономерность вы видите? Сформулируйте гипотезу." | Ученики работают в парах, раскладывают числа: 4=2*2, 8=2*2*2, 20=2*2*5, 25=5*5. Формулируют гипотезу: "Если в разложении знаменателя несократимой дроби есть только двойки и пятерки, то дробь конечная". |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Ваша гипотеза абсолютно верна. Это фундаментальное правило, которое убережет вас от ошибок на экзамене при попытке перевести дробь, которая в принципе не переводится."
Этап 4. Построение проекта выхода из затруднения и реализация (12 мин)
Цель этапа: освоить алгоритм перевода периодической дроби в обыкновенную и доказать парадокс начала урока.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
6 мин | Учитель: "А теперь вернемся к нашему 0,(9). Как нам превратить периодическую дробь в обыкновенную? Давайте используем метод уравнения. Пусть x = 0,999... Тогда чему равно 10x? Верно, 9,999... Давайте вычтем из второго уравнения первое: 10x - x = 9,999... - 0,999... Что получится?" | Ученики следят за логикой: "Получится 9x = 9". Отсюда делают вывод: "x = 1". Удивление и осознание доказательства. |
6 мин | Учитель вводит общий алгоритм: "Чтобы перевести любую периодическую дробь, например 0,1(2), нужно: 1) Обозначить дробь за x. 2) Умножить на 10 в степени k, чтобы перенести запятую к началу периода. 3) Умножить на 10 в степени m, чтобы перенести запятую к концу периода. 4) Вычесть уравнения. Давайте попробуем вместе для 0,1(2)." | Ученики записывают алгоритм и решают вместе с учителем: x=0,1222...; 10x=1,222...; 100x=12,222...; 100x-10x=11; 90x=11; x=11/90. |
Эталон решения
Пример перевода 0,(15):
x = 0,1515...
100x = 15,1515...
100x - x = 15
99x = 15
x = 15/99 = 5/33.
x = 0,1515...
100x = 15,1515...
100x - x = 15
99x = 15
x = 15/99 = 5/33.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Теперь вы владеете универсальным инструментом перевода. Любое рациональное число теперь под вашим контролем."
Этап 5. Первичное закрепление (7 мин)
Цель этапа: закрепить навыки на конкретных примерах, включая задания с подвохом.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
7 мин | Учитель вызывает к доске троих учеников для решения задач: 1) Представить в виде десятичной дроби 7/20. 2) Можно ли представить 5/14 в виде конечной десятичной? 3) Перевести 0,2(3) в обыкновенную дробь. Учитель комментирует: "Обратите внимание на 5/14. 14 = 2 * 7. Лишняя семерка 'портит' нам всё дело." | Ученики работают у доски и в тетрадях. 1) 7/20 = 35/100 = 0,35. 2) Нет, так как 14 содержит множитель 7. 3) x=0,233...; 10x=2,33...; 100x=23,33...; 90x=21; x=21/90=7/30. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Вы отлично справляетесь. Пора проверить себя в условиях, приближенных к экзаменационным."
Этап 6. Самостоятельная работа с самопроверкой (8 мин)
Цель этапа: диагностика усвоения темы и формирование навыка самоконтроля.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
6 мин | Учитель раздает карточки с 4 заданиями (2 на перевод в десятичную, 1 на анализ знаменателя, 1 на перевод периодической). "У вас 6 минут. Работаем самостоятельно. Помните: в ЕГЭ важна каждая цифра." | Ученики выполняют задания на карточках. |
2 мин | Учитель выводит ответы на экран. "Сравните свои результаты с эталоном. Если у вас 4 плюса — вы мастер рациональных чисел. 3 плюса — нужно быть внимательнее в вычислениях. Меньше — жду вас на консультации." | Самопроверка, фиксация ошибок, выставление баллов в лист самооценки. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Большинство справилось. Главное — не сама ошибка, а понимание её причины."
Этап 7. Рефлексия и домашнее задание (3 мин)
Цель этапа: осознание результатов деятельности и постановка задач на самоподготовку.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель задает вопросы для рефлексии и диктует ДЗ. "Что сегодня было самым неожиданным? Какой алгоритм вам показался самым сложным? Запишите домашнее задание. Оно дифференцированное — выберите свой уровень." | Ученики отвечают на вопросы, записывают ДЗ в дневники. |
Критерии оценивания практической работы
- «5» — Верно выполнены все задания самостоятельной работы, продемонстрировано полное понимание критерия конечности дроби и алгоритма перевода периодических дробей.
- «4» — Допущена 1 вычислительная ошибка при верном алгоритме решения, или не полностью обоснован критерий конечности дроби.
- «3» — Верно выполнены 2 задания из 4, есть затруднения в применении алгоритма перевода периодических дробей.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Как отличить обыкновенную дробь, которую можно перевести в конечную десятичную, не выполняя деления? | Проверка усвоения ключевого критерия урока. |
В чем заключается основной трюк при переводе периодической дроби в обыкновенную? | Осознание метода уравнений как способа избавления от периода. |
Где в ЕГЭ вам пригодятся сегодняшние знания? | Связь теории с практикой итоговой аттестации. |
Завершающее слово учителя
«"Сегодня мы с вами проделали путь от простых дробей до доказательства математических парадоксов. Мы выяснили, что мир рациональных чисел гораздо глубже, чем кажется на первый взгляд. Умение видеть структуру числа — это первый шаг к успешному решению сложных задач профильного уровня. На следующем уроке мы пойдем дальше и познакомимся с числами, которые принципиально нельзя представить в виде дроби — иррациональными числами. Спасибо за работу, до встречи!"»
Домашнее задание
Уровень сложности | Задания | Описание |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | Учебник, № 1.15, 1.18 (а, б) | Перевод обыкновенных дробей в десятичные и обратно. |
Средний (повышающий) | № 1.25, 1.27 | Перевод сложных периодических дробей, работа с отрицательными рациональными числами. |
Продвинутый (дополнительный) | Исследовательская задача | Доказать, что сумма двух периодических дробей всегда является рациональным числом. |
Контрольный вопрос: "Может ли знаменатель дроби, представимой в виде конечной десятичной, быть равен 250? Почему?"
