Рациональные числа. Бесконечные периодические десятичные дроби
Цели и задачи
- Цель: к концу урока учащиеся смогут переводить любую бесконечную периодическую десятичную дробь в обыкновенную и классифицировать рациональные числа по их десятичной записи.
- Образовательная задача: актуализировать знания о множестве рациональных чисел и научить применять алгоритм перевода периодической дроби в обыкновенную через решение уравнений.
- Развивающая задача: развивать навыки логического вывода, умение находить закономерности и строить математические модели (переход от арифметической записи к алгебраической).
- Воспитательная задача: формировать культуру математической речи и критическое мышление в контексте подготовки к профильным экзаменам.
Планируемые результаты
Личностные
- Готовность к осознанному выбору дальнейшей образовательной траектории (связь темы с теорией чисел и высшей математикой).
- Умение управлять своим познавательным процессом в условиях поиска решения новой задачи.
- Критичность мышления, распознавание логически некорректных высказываний.
Метапредметные
- Познавательные: умение выделять существенные признаки рациональных чисел, устанавливать причинно-следственные связи при выводе алгоритма.
- Регулятивные: способность ставить цель на основе соотнесения того, что уже известно, и того, что еще неизвестно.
- Коммуникативные: умение аргументировать свою позицию при обсуждении парадокса 0,(9) = 1.
Предметные
- Знать определение рационального числа как отношения m/n.
- Уметь представлять обыкновенную дробь в виде десятичной (конечной или периодической).
- Владеть алгоритмом перевода бесконечной периодической дроби в обыкновенную.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Формирование научного мировоззрения на основе современных представлений о структуре числовых множеств.
- Развитие интеллектуальных способностей в процессе решения нестандартных задач.
Регулятивные УУД
- Планирование пути достижения цели.
- Самоконтроль правильности выполнения преобразований.
Познавательные УУД
- Анализ объектов с целью выделения признаков.
- Синтез — составление целого из частей при выводе формул.
Коммуникативные УУД
- Инициативное сотрудничество в поиске и сборе информации.
- Умение с достаточной полнотой и точностью выражать свои мысли.
Подготовка учителя к уроку
- Подготовить презентацию с визуализацией деления столбиком для получения периодических дробей.
- Распечатать карточки для самостоятельной работы (3 варианта сложности) по 15 штук.
- Проверить работу проектора и интерактивной доски.
- Подготовить демонстрационные плакаты со схемами числовых множеств (N, Z, Q).
- Выписать на доске ключевые примеры: 1/3, 1/6, 1/7 для этапа актуализации.
Ход урока
Этап 1. Организационный момент и мотивация (3 мин)
Цель этапа: создать психологический настрой и вызвать интерес к теме через математический парадокс.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | "Здравствуйте! Присаживайтесь. Сегодня мы работаем с фундаментом всей алгебры — числами. Но начнем с провокации. Посмотрите на доску. Я утверждаю, что 0,(9) в точности равно 1. Не 'почти равно', не 'стремится к', а именно равно. Кто готов поспорить?" | Слушают учителя, удивляются. Некоторые начинают спорить: "Нет, оно же всегда будет чуть меньше единицы!" |
2 мин | "Ваша интуиция говорит вам одно, а строгая математика — другое. Сегодня мы научимся доказывать такие вещи и поймем, как устроены периодические дроби. Запишите тему урока: 'Рациональные числа. Бесконечные периодические десятичные дроби'." | Записывают тему урока в тетради. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы зафиксировали наше сомнение. Чтобы разрешить его, нам нужно вспомнить, что мы уже знаем о рациональных числах."
Этап 2. Актуализация опорных знаний (5 мин)
Цель этапа: повторить определение рационального числа и способы его представления.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | "Вспомним определение. Какое число называется рациональным? Я начну, а вы продолжите: это число вида m/n, где..." Учитель рисует на доске схему множеств. | Отвечают: "...где m — целое число, а n — натуральное". Вспоминают иерархию множеств: N входит в Z, Z входит в Q. |
2 мин | "Давайте переведем обыкновенные дроби в десятичные: 1/2, 1/4, 1/3, 5/6. Что вы замечаете? Почему в одних случаях деление заканчивается, а в других — нет?" | Выполняют деление в тетрадях. Отвечают: "1/2 = 0,5; 1/4 = 0,25 — это конечные дроби. 1/3 = 0,333...; 5/6 = 0,8333... — это бесконечные периодические дроби". |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Итак, любое рациональное число можно представить либо в виде конечной десятичной дроби, либо в виде бесконечной периодической. А работает ли это в обратную сторону?"
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Этап 3. Выявление затруднения и постановка проблемы (4 мин)
Цель этапа: осознать отсутствие готового алгоритма для перевода периодической дроби в обыкновенную.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | "С конечными дробями всё просто: 0,25 = 25/100 = 1/4. А как перевести в обыкновенную дробь число 0,(3)? Или более сложное — 0,1(6)? Попробуйте предложить способ." | Ученики пробуют записать через 10, 100 в знаменателе, но понимают, что количество цифр бесконечно. Возникает пауза. |
2 мин | "В чем главная проблема? Правильно, в бесконечности хвоста. Значит, наша задача на сегодня — найти способ 'уничтожить' этот бесконечный хвост." | Формулируют цель урока: "Найти универсальный алгоритм перевода периодической дроби в обыкновенную". |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Для решения этой проблемы мы воспользуемся главным инструментом алгебры — уравнением."
Этап 4. Открытие нового знания (12 мин)
Цель этапа: вывести алгоритм перевода периодической дроби в обыкновенную на примере.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
5 мин | "Давайте разберем число x = 0,(3). Запишем его: x = 0,333... Если мы умножим обе части на 10, что получится? 10x = 3,333... Посмотрите на правые части уравнений. Что в них общего?" | Записывают: $x = 0,333...$ и $10x = 3,333...$. Замечают: "Дробные части у них абсолютно одинаковые и бесконечные!" |
4 мин | "Гениально! А что будет, если мы вычтем из второго уравнения первое? 10x - x = 3,333... - 0,333... Что произойдет с бесконечным хвостом?" | Радостно отвечают: "Он исчезнет! Останется 9x = 3". Решают уравнение: $x = 3/9 = 1/3$. |
3 мин | "Теперь вернемся к моему парадоксу. Пусть x = 0,(9). Проделайте те же действия самостоятельно. Чему равен x?" | Выполняют действия: $10x = 9,999...$; $10x - x = 9$; $9x = 9$; $x = 1$. Приходят к выводу: "Значит, 0,(9) действительно равно 1!" |
Эталон решения (для сложного случая)
Пример перевода 0,1(6):
1. Пусть $x = 0,1666...$
2. Умножим на 10, чтобы период начинался сразу после запятой: $10x = 1,666...$
3. Умножим еще на 10 (длина периода — 1 цифра): $100x = 16,666...$
4. Вычтем: $100x - 10x = 16,666... - 1,666...$
5. $90x = 15 ightarrow x = 15/90 = 1/6$.
1. Пусть $x = 0,1666...$
2. Умножим на 10, чтобы период начинался сразу после запятой: $10x = 1,666...$
3. Умножим еще на 10 (длина периода — 1 цифра): $100x = 16,666...$
4. Вычтем: $100x - 10x = 16,666... - 1,666...$
5. $90x = 15 ightarrow x = 15/90 = 1/6$.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы открыли метод: нужно умножить число на такую степень десятки, чтобы 'сдвинуть' период, и вычесть уравнения друг из друга."
Этап 5. Первичное закрепление (7 мин)
Цель этапа: отработать алгоритм на типовых примерах с проговариванием действий.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
4 мин | "Работаем в парах (Think-Pair-Share). Переведите в обыкновенную дробь 0,(12). Обсудите с соседом: на сколько нужно умножить x, чтобы период совпал?" | Обсуждают. Выясняют, что нужно умножать на 100, так как в периоде две цифры. Записывают решение: $100x - x = 12
ightarrow 99x = 12
ightarrow x = 12/99 = 4/33$. |
3 мин | Учитель вызывает одного ученика к доске для решения примера 1,2(3). "Будьте внимательны, здесь есть целая часть и цифра перед периодом." | Ученик у доски комментирует: "Сначала умножим на 10, чтобы получить 12,(3). Затем еще на 10..." Класс сверяет решение. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Вижу, что принцип понятен. Теперь проверим, как вы справитесь самостоятельно."
Этап 6. Самостоятельная работа с самопроверкой (7 мин)
Цель этапа: индивидуальная проверка усвоения алгоритма.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
5 мин | Раздает карточки с тремя уровнями сложности. "Выберите свой уровень. Уровень А — простые дроби типа 0,(5). Уровень Б — смешанные дроби типа 0,2(4). Уровень В — задачи из ЕГЭ (задание 1, работа с рациональными числами)." | Выбирают задания и решают их в тетрадях. |
2 мин | Выводит ответы на экран. "Проверьте себя по эталону. Если всё верно — поставьте '+', если есть ошибка — обведите её и попробуйте найти причину." | Сверяют ответы, проводят самоанализ. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Большинство справилось. Те, у кого возникли трудности с уровнем В, не переживайте — это наша зона роста на следующем уроке."
Этап 7. Рефлексия и домашнее задание (4 мин)
Цель этапа: подвести итоги, оценить уровень понимания и дать инструкции к ДЗ.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | "Давайте подведем итоги. Какое открытие мы сегодня сделали? Что нового узнали о числе 0,(9)?" | Отвечают: "Узнали, что бесконечные дроби — это тоже рациональные числа. Поняли, почему 0,(9) = 1 через уравнения". |
2 мин | Объясняет домашнее задание. "Дома вам предстоит закрепить навык и попробовать вывести общее правило (формулу) без уравнений." | Записывают задание в дневники. |
Критерии оценивания практической работы
- "5" — верно выполнены 4 задания, включая уровень В или Б без ошибок, алгоритм записан полностью.
- "4" — верно выполнены 3 задания уровней А и Б, допущены незначительные вычислительные ошибки при сокращении дробей.
- "3" — верно выполнены 2 задания уровня А, понятен принцип составления уравнения, но допущены ошибки в преобразованиях.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
На каком этапе решения уравнения чаще всего возникала ошибка? | Выявление слабых мест в алгебраических навыках (перенос запятой, вычитание). |
Сможете ли вы объяснить другу, почему 0,(9) = 1? | Проверка осознанности усвоения материала и способности к аргументации. |
Какое задание уровня В показалось самым интересным? | Оценка мотивации и интереса к сложным задачам. |
Завершающее слово учителя
"Сегодня мы увидели, как алгебра помогает приручить бесконечность. Числа, которые казались странными и неуловимыми, обрели четкую форму обыкновенных дробей. Это умение критически важно не только для успешной сдачи ЕГЭ, но и для понимания того, как устроена математическая логика. На следующем уроке мы пойдем дальше и узнаем, существуют ли дроби, которые нельзя превратить в обыкновенные. Спасибо за работу!"
Домашнее задание
Уровень сложности | Задания | Описание |
|---|---|---|
Базовый | №76, №78 (учебник) | Перевести 5 периодических дробей в обыкновенные по алгоритму. |
Средний | №82, №85 | Сравнить числа, предварительно переведя их в один вид (периодический/обыкновенный). |
Продвинутый | Исследование | Сформулировать и доказать правило перевода дроби в обыкновенную без использования уравнений (через количество девяток и нулей в знаменателе). |
Контрольный вопрос: сколько девяток будет в знаменателе при переводе дроби 0,(123)?
