Рациональные числа. Бесконечные периодические дроби; иррациональные числа. Множество действительных чисел
Цели и задачи
- Цель по SMART: к концу урока научиться распознавать рациональные и иррациональные числа, представлять рациональное число в виде конечной или бесконечной периодической десятичной дроби, объяснять включение множеств натуральных, целых, рациональных и действительных чисел.
- Сформировать представление о том, почему обыкновенная дробь задаёт конечную или периодическую десятичную дробь, и научить применять этот признак к конкретным примерам.
- Развивать умение выдвигать гипотезы, проверять их на примерах, устанавливать связи между числовыми множествами и аргументировать математический вывод.
- Формировать навыки самоконтроля: проверять принадлежность числа множеству действительных чисел и обнаруживать ошибки в рассуждениях о периодических дробях.
- Показать межпредметное значение действительных чисел при измерениях, построении координатной оси, работе с приближёнными значениями и математическом моделировании.
Планируемые результаты
Личностные
- Осознают роль числовых моделей в математике, физике, информатике и будущей профессиональной деятельности.
- Проявляют готовность самостоятельно проверять математические утверждения, не принимая результат без обоснования.
- Понимают ценность точного языка математики и различие между точным и приближённым значением.
- Развивают учебную мотивацию через исследование математической проблемы, не сводящейся к механическому применению алгоритма.
Метапредметные
- Формулируют гипотезу о связи вида десятичной дроби со свойствами знаменателя обыкновенной дроби.
- Извлекают информацию из примеров, таблиц и числовой прямой, структурируют её в виде схемы.
- Планируют последовательность исследования, сопоставляют полученный результат с образцом и корректируют рассуждение.
- Аргументированно представляют вывод в паре и группе, используют математические термины и символические записи.
- Применяют цифровые инструменты или калькулятор только как средство проверки гипотезы, а не как замену доказательству.
Предметные
- Знать определения рационального, иррационального и действительного числа.
- Уметь распознавать конечные и бесконечные периодические десятичные дроби.
- Уметь переводить простую периодическую дробь в обыкновенную дробь методом умножения на степень десяти и вычитания.
- Уметь объяснять, что каждое рациональное и иррациональное число является действительным, а множество рациональных чисел является подмножеством действительных.
- Уметь приводить примеры иррациональных чисел и отличать точную запись от десятичного приближения.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Определяют личный смысл изучения действительных чисел для дальнейшего изучения функций, геометрии, физики и информатики.
- Проявляют ответственное отношение к точности вычислений и математической аргументации.
- Оценивают собственную готовность работать с абстрактными объектами и формулировать самостоятельные выводы.
- Принимают право одноклассника на иную гипотезу, если она подкреплена корректным рассуждением.
Регулятивные УУД
- Формулируют цель исследования по наблюдаемым примерам десятичных дробей.
- Составляют план проверки гипотезы: преобразовать дроби, выделить закономерность, сформулировать вывод.
- Контролируют правильность записи периода, знаков равенства и преобразований при переводе дроби.
- Сверяют решение с эталоном, находят место ошибки и предлагают способ её исправления.
- Оценивают степень достижения цели по листу самооценки и определяют вопрос для дальнейшего изучения.
Познавательные УУД
- Классифицируют числа по принадлежности множествам натуральных, целых, рациональных и действительных чисел.
- Анализируют структуру знаменателя приведённой дроби и связывают её с видом десятичной записи.
- Моделируют отношения между числовыми множествами с помощью вложенных кругов Эйлера.
- Используют преобразования с переменной для доказательства равенства периодической дроби и обыкновенной дроби.
- Различают доказанный вывод, численное наблюдение и приближённую оценку.
Коммуникативные УУД
- Формулируют уточняющие вопросы о принадлежности числа определённому множеству.
- Распределяют роли в группе: вычислитель, проверяющий, секретарь и докладчик.
- Аргументируют вывод, используя определения, преобразования и контрпримеры.
- Слушают решение другой группы и корректно указывают совпадения или расхождения.
- Согласуют общую формулировку вывода и представляют её классу.
Подготовка учителя к уроку
- Подготовить презентацию или запись на доске с примерами: 0,75; 0,(3); 1,2(5); √2; π; −7; 5/9.
- Распечатать исследовательские карточки трёх уровней: по одной карточке на каждого ученика, всего по числу учащихся в классе.
- Подготовить карточки для групповой работы с дробями 1/8, 5/6, 7/12, 2/11, 13/40 и 17/30.
- Вывести на доску схему вложения множеств N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R, оставив пустые места для примеров.
- Подготовить числовую прямую на экране или плакате с отмеченными точками 0, 1, −1, √2 и π.
- Распечатать лист самооценки с пунктами «Я умею определять вид дроби», «Я умею переводить периодическую дробь», «Я понимаю отношения множеств».
- Подготовить калькулятор или математическое приложение для краткой проверки приближённых значений √2 и π; заранее предупредить, что проверка не заменяет доказательство.
- Подготовить маркеры, стикеры и четыре листа А3 для групповой схемы.
- На доске записать памятку: «Рациональное число: a/b, a,b∈Z, b≠0» и «Иррациональное число: действительное число, не представимое в виде a/b».
- Подготовить межпредметный пример: измерение диагонали прямоугольника со сторонами 1 и 1, дающее длину √2.
Ход урока
Этап 1. Организационный момент и мотивация (3 мин)
Цель этапа: включить учащихся в исследовательскую деятельность и создать проблемную ситуацию, показывающую необходимость расширения множества рациональных чисел.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель приветствует класс и говорит: "Сегодня мы будем не просто повторять определения, а проверим, достаточно ли уже известных нам рациональных чисел для описания всех точек числовой прямой. Откройте тетради, запишите дату и тему урока. Сразу отметьте вопрос, на который мы должны ответить: существуют ли числа, которые нельзя записать в виде обыкновенной дроби?" | Записывают дату и тему, формулируют предварительные версии: "Наверное, существуют корни и число π" или "Любое число можно записать дробью". |
2 мин | Учитель показывает на экране единичный квадрат и его диагональ: "Рассмотрите квадрат со стороной 1. По теореме Пифагора длина диагонали равна √2. Можно ли представить её точно в виде дроби? Не спешите соглашаться с первым предположением: сегодня мы построим обоснованный ответ." | Рассматривают рисунок, вспоминают теорему Пифагора, записывают гипотезы и формулируют вопрос: "Как доказать, что √2 не является рациональным числом?" |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы увидели, что знакомая геометрическая задача приводит к вопросу о новом типе чисел. Сначала восстановим свойства рациональных чисел, а затем проверим, какие числа требуют расширения числовой системы."
Этап 2. Актуализация знаний и выявление затруднения (6 мин)
Цель этапа: актуализировать определения и обнаружить границу применения рациональных чисел.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель организует приём "Подумай — обсуди в паре — поделись": "Индивидуально распределите числа 3, −4, 2/7, 0,125, 0,(6), √5 и π по двум группам: рациональные и предположительно нерациональные. Запишите основание каждой классификации. Через минуту сравните записи с соседом." | Сначала классифицируют числа самостоятельно, затем обсуждают в парах. Предполагаемые ответы: "3, −4, 2/7, 0,125 и 0,(6) рациональны; √5 и π, вероятно, иррациональны". |
3 мин | Учитель фиксирует ответы в таблице и спрашивает: "Почему 0,125 — рациональное число? Как представить 0,(6) в виде дроби? Достаточно ли нескольких цифр калькулятора, чтобы доказать иррациональность?" Учитель подчёркивает различие между наблюдением и доказательством. | Отвечают: "0,125=125/1000=1/8"; предлагают для 0,(6) дробь 2/3; объясняют: "Конечное отображение √5 на калькуляторе не доказывает, что запись заканчивается". |
Запись в тетрадях
Рациональное число — число, которое можно представить в виде дроби a/b, где a∈Z, b∈Z, b≠0. Десятичная запись рационального числа является конечной или бесконечной периодической.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы вспомнили определение рационального числа и уже заметили, что периодическая запись тоже может быть точной. Теперь выясним, как переводить такую запись в дробь и почему период возникает закономерно."
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Этап 3. Постановка проблемы и целеполагание (4 мин)
Цель этапа: сформулировать учебную проблему и спланировать исследование.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель записывает на доске 0,(3), 0,(27), 1,2(5) и обращается к классу: "У этих записей бесконечно много цифр, но они не выглядят хаотичными. Как доказать, что каждая из них задаёт точное число? Предложите способ, который можно применить к любой простой периодической дроби." | Предлагают гипотезу: "Обозначить дробь буквой x, умножить на 10 или 100, чтобы период оказался после запятой, и вычесть". |
2 мин | Учитель формулирует план на доске: "Проверяем гипотезу на примере 0,(3), затем исследуем дроби с различными знаменателями, после чего определяем место иррациональных чисел в общей числовой системе. В конце вернёмся к √2." | Записывают план исследования, задают уточняющие вопросы, формулируют цель: "Научиться различать рациональные и иррациональные числа и обосновывать принадлежность числа множеству действительных чисел". |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Цель определена, способ проверки предложен. Сейчас мы применим его не как готовое правило, а как исследовательский инструмент и сами выведем преобразование периодической дроби в обыкновенную."
Этап 4. Открытие нового знания (11 мин)
Цель этапа: вывести способ перевода периодической дроби в обыкновенную и установить признак рациональной десятичной записи.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
4 мин | Учитель записывает на доске: "Пусть x=0,(3). Умножим обе части на 10: 10x=3,(3). Теперь вычтем первое равенство из второго. Посмотрите, что происходит с бесконечной частью записи: 10x−x=3,(3)−0,(3). Почему период исчезает?" | Записывают преобразования, отвечают: "Одинаковые периодические части вычитаются" и получают 9x=3, x=1/3. |
4 мин | Учитель продолжает: "Проверим запись с двумя цифрами в периоде: x=0,(27). На какое число нужно умножить x, чтобы периодическая часть совпала после запятой? Запишите два равенства и выполните вычитание." Учитель просит одного ученика объяснить решение у доски. | Решают: 100x=27,(27), 100x−x=27, поэтому 99x=27 и x=27/99=3/11. Объясняют, почему использовано умножение на 100. |
3 мин | Учитель организует работу в группах: "Каждая группа получает дробь 1/8, 5/6, 7/12 или 2/11. Представьте её в десятичном виде делением в столбик и определите: запись конечная или периодическая. Сформулируйте наблюдение о простом знаменателе после сокращения." | Вычисляют и оформляют мини-выводы: 1/8=0,125; 5/6=0,8(3); 7/12=0,58(3); 2/11=0,(18). Замечают, что конечная запись получается при знаменателе, содержащем только множители 2 и 5. |
Запись в тетрадях
- Рациональные числа в десятичной записи имеют конечную или бесконечную периодическую форму.
- Если после сокращения знаменатель обыкновенной дроби имеет вид 2^m5^n, то десятичная запись конечная.
- Если в разложении знаменателя есть простой множитель, отличный от 2 и 5, десятичная запись бесконечная периодическая.
- Для перевода периодической дроби в обыкновенную используют обозначение x и умножение на степень 10.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы установили свойства рациональных чисел, но пока не объяснили, куда отнести √2 и π. Следующий шаг — строго проверить, может ли √2 иметь вид дроби, и увидеть, почему возникает множество иррациональных чисел."
Этап 5. Исследование иррациональности и межпредметная связь (7 мин)
Цель этапа: обосновать иррациональность √2 и связать понятие действительных чисел с геометрией и физическим измерением.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
4 мин | Учитель предлагает доказательство от противного: "Предположим, что √2=m/n, где дробь несократима. Тогда 2=m²/n², значит m²=2n². Чётность квадрата показывает, что m чётно. Пусть m=2k. Подставьте это равенство и определите, что следует для n." Учитель задаёт вопросы: "Почему из чётности m² следует чётность m?" | Записывают доказательство: m²=2n², поэтому m² чётно и m=2k. Тогда 4k²=2n², откуда n²=2k², значит n чётно. Делают вывод: m и n имеют общий делитель 2, что противоречит несократимости дроби. |
3 мин | Учитель показывает единичный квадрат и говорит: "В геометрии диагональ единичного квадрата равна √2, поэтому иррациональное число описывает реальную длину. В физике измерения часто дают приближённые значения, например √2≈1,414, но точное значение остаётся √2. На числовой прямой это конкретная точка, а не отсутствие числа." | Объясняют связь: "Диагональ существует независимо от того, удалось ли записать её дробью"; отмечают на числовой прямой приближённое положение √2 и π; различают точное и приближённое значение. |
Эталон решения
Пусть √2=m/n, где m,n∈Z, n≠0, дробь несократима. Тогда m²/n²=2, следовательно m²=2n². Число m² чётно, значит m=2k. Подстановка даёт 4k²=2n², поэтому n²=2k² и n также чётно. Получено, что m и n делятся на 2, что противоречит несократимости дроби. Следовательно, √2∉Q; это иррациональное число.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "√2 нельзя представить отношением двух целых чисел, но оно является точкой числовой прямой. Значит, рациональных чисел недостаточно для описания всех чисел, встречающихся в математике и естественных науках. Объединим оба класса в множество действительных чисел."
Этап 6. Первичное закрепление и построение системы множеств (6 мин)
Цель этапа: закрепить определения и установить отношения между числовыми множествами.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель раздаёт группам листы А3 и предлагает приём "Математическая карта": "Нарисуйте вложенные области N, Z, Q и R. В каждой области разместите по два подходящих примера, а вне Q, но внутри R укажите √2 и π. Обязательно объясните, почему область Q находится внутри R." | Создают схему N⊂Z⊂Q⊂R, размещают 1, 0, −3, 2/5, 0,(7), √2 и π. Формулируют: "Каждое рациональное число является действительным, но не каждое действительное число рационально". |
3 мин | Учитель проводит быструю проверку "Светофор": "Покажите зелёную карточку, если утверждение верно, жёлтую — если нужна проверка, красную — если оно неверно. 1) −5∈Q. 2) 0,(12)∉Q. 3) √9∉Q. 4) π∈R. 5) Q=R." После каждого ответа просит назвать основание. | Поднимают карточки и обосновывают: "−5 рационально, потому что −5=−5/1"; "0,(12) рационально"; "√9=3∈Q"; "π действительно; Q и R не совпадают". |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Схема числовых множеств готова: натуральные входят в целые, целые — в рациональные, рациональные — в действительные. Теперь каждый самостоятельно проверит, умеет ли применять эту систему без подсказки группы."
Этап 7. Самостоятельная работа с самопроверкой (5 мин)
Цель этапа: проверить индивидуальное понимание признаков рациональности и иррациональности.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель раздаёт карточки трёх уровней и говорит: "Выберите уровень, который позволит вам честно проверить себя. Минимум обязателен для всех, повышенный и исследовательский можно выбрать дополнительно. Работайте без обсуждения, записывайте не только ответ, но и основание." | Выбирают карточку и записывают выбранный уровень. |
3 мин | Учитель предлагает задания. Минимум: определить, рациональны ли 0,4; 0,(27); √7; −11. Базовый: перевести 0,(45) в обыкновенную дробь и построить схему принадлежности числа 3/8. Повышенный: объяснить, почему √12 иррационально, используя связь √12=2√3. | Решают индивидуально. Ожидаемые результаты: 0,4∈Q; 0,(27)∈Q; √7∉Q; −11∈Q; 0,(45)=45/99=5/11; 3/8∈Q⊂R; √12=2√3 и √3 иррационально. |
1 мин | Учитель выводит эталон на доску и просит выполнить самопроверку: "Поставьте рядом с каждым заданием знак +, если решение верно, или ? возле места, которое нужно разобрать. Ошибку не стирайте: обозначьте её и исправьте рядом." | Сверяют решения, исправляют ошибки, отмечают затруднение в листе самооценки. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Индивидуальная работа показала, какие признаки уже применяются уверенно, а где требуется повторное рассуждение. Осталось обобщить материал и сформулировать ответ на проблемный вопрос начала урока."
Этап 8. Рефлексия и домашнее задание (3 мин)
Цель этапа: обобщить новое знание, оценить достижение цели и обеспечить осмысленное домашнее исследование.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель предлагает приём "Билет на выход": "На стикере завершите три фразы: рациональное число — это...; иррациональное число — это...; множество действительных чисел состоит из... Затем ответьте: почему √2 не является рациональным?" Учитель собирает стикеры у выхода. | Заполняют стикер: "Рациональное представимо дробью; иррациональное не представимо дробью; действительные состоят из рациональных и иррациональных". Кратко записывают противоречие в доказательстве √2. |
1 мин | Учитель сообщает домашнее задание: "Выберите обязательный уровень и, если готовы, добавьте один повышенный или дополнительный пункт. При записи решения указывайте основание классификации, а не только символ принадлежности." | Записывают выбранный уровень домашней работы, задают вопросы по критериям проверки. |
Критерии оценивания практической работы
- «5» — правильно выполнены все задания выбранной карточки, рациональные и иррациональные числа классифицированы с обоснованием, перевод периодической дроби оформлен без ошибок, схема N⊂Z⊂Q⊂R построена корректно.
- «4» — выполнено не менее 80% заданий, основная классификация и схема множеств верны, допущена одна вычислительная или оформительская ошибка, не нарушающая общий ход рассуждения.
- «3» — выполнено не менее 60% обязательных заданий, распознаны основные рациональные числа и записано отношение Q⊂R, но есть затруднения при переводе периодической дроби или объяснении иррациональности.
- «2» — не выполнена большая часть обязательных заданий либо отсутствуют объяснения, по которым можно проверить понимание критериев классификации.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Что нового вы узнали о связи рациональных чисел и десятичных дробей? | Выявление осознания конечной и бесконечной периодической записи. |
Как вы докажете, что 0,(27) является рациональным числом? | Проверка понимания алгоритма алгебраического преобразования. |
Почему приближённое значение √2 на калькуляторе не доказывает рациональность или иррациональность? | Разведение понятий точного значения, приближения и доказательства. |
На каком шаге работы возникло затруднение и что поможет его преодолеть? | Выявление индивидуальных точек затруднения и планирование коррекции. |
Завершающее слово учителя
"Сегодня мы установили, что рациональные числа имеют конечную или периодическую десятичную запись, а иррациональные числа нельзя представить отношением двух целых чисел. Мы доказали иррациональность √2 и увидели, что геометрическая длина может быть действительным числом, не являющимся рациональным. Важно не путать приближённую запись на калькуляторе с точным математическим объектом. На следующем уроке мы продолжим работу с действительными числами и научимся применять их свойства при преобразовании выражений и решении задач."
Домашнее задание
Уровень | Что задать | Зачем |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | Выполнить 4–5 заданий на классификацию чисел: целые, обыкновенные дроби, конечные и периодические десятичные дроби, квадратные корни из целых чисел. Для каждого числа указать наименьшее подходящее множество и обосновать ответ. | Закрепляет определения и вложение N⊂Z⊂Q⊂R; при проверке смотреть на наличие основания, а не только на правильный символ. |
Средний (повышающий) | Решить 3 задания на перевод простых периодических дробей в обыкновенные, включая дроби с одной и двумя цифрами в периоде, и выполнить 2 задания на распознавание конечной десятичной записи по разложению знаменателя. | Формирует алгоритм умножения и вычитания, закрепляет связь знаменателя с видом десятичной записи; при проверке контролировать сокращение дроби. |
Продвинутый (дополнительный) | Подготовить письменное исследование на 8–10 строк: доказать иррациональность √3 или объяснить, почему диагональ прямоугольника со сторонами 1 и 2 равна √5 и является иррациональной; отдельно указать её приближённое значение с точностью до сотых. | Развивает доказательное мышление и межпредметную связь алгебры с геометрией; при проверке смотреть на логическую завершённость доказательства и различение точного и приближённого значения. |
Контрольные вопросы перед выходом из класса: «Какое число называют рациональным?», «Какая десятичная запись у рационального числа?», «Почему √2 не принадлежит Q?», «Как связаны множества Q и R?». Ученик должен ответить минимум на три вопроса и назвать один шаг, который необходимо повторить дома.
