Преобразование функций
Цели и задачи
- Цель по SMART: к концу урока научиться распознавать и строить графики функций, полученных из y=f(x) сдвигами, растяжениями и отражениями, а также объяснять соответствие между формулой и преобразованием.
- Сформировать представление о преобразованиях графика функции вида y=f(x)+b, y=f(x-a), y=af(x), y=f(kx).
- Научиться применять алгоритм преобразования графика к линейным, квадратичным и другим известным функциям.
- Развивать умение выдвигать гипотезы, проверять их по таблице значений и обосновывать математические выводы.
- Формировать ответственное отношение к самостоятельной работе и понимание практической ценности функционального мышления для дальнейшего изучения математики.
Планируемые результаты
Личностные
- Проявляют познавательный интерес к исследованию зависимости графика от параметров формулы.
- Осознают значение точного математического языка для обучения в вузе и решения задач повышенной сложности.
- Развивают готовность самостоятельно проверять гипотезу и признавать необходимость коррекции ошибочного вывода.
- Связывают освоенный способ действий с будущей учебной и профессиональной деятельностью.
Метапредметные
- Планируют исследование преобразования функции и фиксируют его результат в таблице или схеме.
- Извлекают информацию из формулы, графика и таблицы значений, сопоставляя разные способы представления.
- Формулируют гипотезы, анализируют полученные данные и аргументируют вывод.
- Осуществляют самопроверку по эталону и корректируют построенный график.
Предметные
- Знать правила преобразований графика y=f(x) при переходе к функциям y=f(x)+b, y=f(x-a), y=af(x) и y=f(kx).
- Уметь строить графики преобразованных функций по графику базовой функции и по её формуле.
- Уметь определять преобразование по формуле и записывать формулу функции по описанию изменения графика.
- Владеть алгоритмом выбора опорных точек и проверки результата подстановкой координат.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Определяют личный уровень понимания правил преобразования функций.
- Осознают смысл изучаемого материала через связь формулы, графика и реального изменения величин.
- Проявляют самостоятельность при выборе способа проверки гипотезы.
- Оценивают собственный вклад в парное и общее обсуждение.
Регулятивные УУД
- Формулируют цель исследования и планируют последовательность построения графика.
- Сверяют результат с условием и эталоном, находят причину ошибки.
- Осуществляют пошаговый самоконтроль при переносе и изменении координат точек.
- Оценивают степень достижения цели на основе листа самооценки.
Познавательные УУД
- Выделяют существенные признаки преобразования в записи функции.
- Сравнивают графики и устанавливают соответствие между изменением формулы и изменением координат.
- Моделируют преобразование с помощью таблицы точек и координатной плоскости.
- Обобщают частные наблюдения в правила преобразования функций.
Коммуникативные УУД
- Формулируют математические вопросы и дают точные ответы с использованием терминов.
- Распределяют роли в паре: исследователь, построитель, проверяющий.
- Аргументируют выбор преобразования и корректно обсуждают расхождения.
- Представляют общий вывод группы и отвечают на уточняющие вопросы.
Подготовка учителя к уроку
- Подготовить презентацию с координатной плоскостью и графиками функций y=x², y=x²+3, y=(x−2)², y=2x², y=−x².
- Распечатать исследовательские карточки четырёх типов — по одной на пару, всего по числу пар в классе.
- Распечатать индивидуальные карточки трёх уровней — по одной на каждого ученика.
- Подготовить лист самооценки с пунктами «Я могу определить преобразование», «Я могу построить график», «Я могу объяснить правило».
- Раздать каждой паре миллиметровую бумагу, линейку, карандаш и маркер для выделения опорных точек.
- Вывести на доску опорный график y=f(x), координатную сетку и таблицу соответствия преобразований.
- Подготовить слайд с проблемным вопросом: «Как по формуле предсказать движение и изменение графика, не строя его заново?»
- Подготовить эталон решения для самостоятельной работы и таймер на 4 минуты.
- Оставить на доске место для итоговой схемы: «внешнее изменение — вертикальное, внутреннее изменение — горизонтальное».
Ход урока
Этап 1. Организационный момент и мотивация (3 мин)
Цель этапа: включить учащихся в исследовательскую деятельность и обозначить практическую значимость темы.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель приветствует класс и показывает на экране два графика: y=x² и y=(x−3)². «Здравствуйте, ребята. Сегодня мы не будем строить каждый график с нуля. Посмотрите на экран: перед нами две параболы. Как вы думаете, можно ли по формуле заранее определить, куда переместилась вторая парабола? Запишите первое предположение одним предложением». | Рассматривают графики, записывают гипотезу и предполагают: «График сдвинулся вправо», «изменение внутри скобок влияет на положение по оси Ox». |
2 мин | Учитель вводит приём «Проблемный вопрос». «Представьте, что вы строите математическую модель движения объекта и меняете параметр формулы. Нужно быстро понять, как изменится график. Сегодня выясним, какие преобразования можно выполнять без полного построения. В конце урока вернёмся к вопросу и проверим первоначальные гипотезы». | Формулируют учебную задачу: «Научиться связывать изменение формулы с изменением графика»; записывают тему урока. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Мы увидели, что небольшое изменение формулы меняет положение или форму графика. Теперь восстановим свойства исходной функции, которые понадобятся для исследования».
Этап 2. Актуализация знаний (6 мин)
Цель этапа: актуализировать понятия функции, графика, координат точки и опорных точек известных функций.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель показывает таблицу значений для y=x². «Назовите, что показывает график функции. Какие координаты имеет вершина параболы? Как расположены точки с одинаковыми по модулю абсциссами? Запишите пять опорных точек и сформулируйте свойство симметрии». | Называют график множеством точек, координаты которых удовлетворяют формуле; записывают точки (−2;4), (−1;1), (0;0), (1;1), (2;4); формулируют: «График симметричен относительно оси Oy». |
3 мин | Учитель организует «Подумай — обсуди в паре — поделись». «Сначала самостоятельно объясните, как построить y=x²+3 по таблице. Затем обсудите в паре, какие координаты изменятся. Представители двух пар назовите общий вывод, а я зафиксирую его на доске». | За 30 секунд формулируют ответ, минуту обсуждают в парах; называют преобразование: «Каждая ордината увеличивается на 3, поэтому график поднимается вверх на 3 единицы»; приводят пример (1;1) → (1;4). |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Мы вспомнили, что график можно рассматривать как набор точек и отслеживать изменение их координат. Теперь проверим, одинаково ли работают изменения вне функции и внутри её аргумента».
Этап 3. Постановка проблемы и целеполагание (4 мин)
Цель этапа: выявить затруднение при интерпретации внутреннего преобразования и сформулировать план исследования.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель записывает на доске пары функций: y=x²+2 и y=(x−2)². «Обе формулы содержат число 2. Одинаково ли оно действует на график? Не торопитесь с ответом: сравните координаты вершины и одной дополнительной точки. Почему правило “прибавили 2 — подняли на 2” нельзя механически применить ко второй формуле?» | Сравнивают вершины (0;2) и (2;0), отмечают различие; отвечают: «В первом случае число прибавлено к значению функции, во втором изменён аргумент». |
2 мин | Учитель записывает план исследования: «1) изучить вертикальный сдвиг; 2) изучить горизонтальный сдвиг; 3) исследовать растяжение и отражение; 4) проверить правила на новых функциях. Какая запись будет доказательством, а не догадкой?» | Предлагают строить несколько соответствующих точек, сравнивать координаты и формулировать правило; записывают цель и план в тетради. |
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Затруднение обнаружено: внешнее и внутреннее изменения формулы требуют разных способов рассуждения. Переходим к исследованию и попробуем открыть правила самостоятельно».
Этап 4. Открытие нового знания: исследование преобразований (10 мин)
Цель этапа: вывести правила основных преобразований графика через работу с координатами точек.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
4 мин | Учитель раздаёт карточки с исследованием функций y=x², y=x²+3 и y=(x−2)². «В каждой паре выберите две-три точки исходного графика. Рассчитайте их координаты на новом графике и сравните. Не ограничивайтесь рисунком: составьте таблицу “исходная точка — новая точка”. Сформулируйте правило для y=f(x)+b и y=f(x−a)». | В парах заполняют таблицу. Для y=x²+3 получают (x;y) → (x;y+3); для y=(x−2)² получают (x;y) → (x+2;y). Формулируют: «График y=f(x)+b сдвигается по вертикали на b, а y=f(x−a) — вправо на a при a>0». |
3 мин | Учитель раздаёт следующую карточку: y=x², y=2x² и y=−x². «Сравните ординаты точек. Что происходит с расстоянием от оси Ox? Что меняется при отрицательном коэффициенте? Обсудите, почему коэффициент 2 не перемещает вершину». | Сравнивают точки и делают вывод: «При y=2f(x) ординаты удваиваются, график растягивается от оси Ox; при y=−f(x) график отражается относительно оси Ox». |
3 мин | Учитель обобщает наблюдения на доске. «Запишите в тетради четыре правила: y=f(x)+b; y=f(x−a); y=af(x); y=f(kx). Обратите внимание на последнее правило: если k>1, график сжимается к оси Oy, потому что для получения прежнего значения аргумент по модулю становится меньше. Проверьте это на точке и проговорите правило своими словами». | Записывают схему: y=f(x)+b — вертикальный сдвиг; y=f(x−a) — горизонтальный сдвиг; y=af(x) — изменение ординат; y=f(kx) — изменение абсцисс. Проверяют пример y=|2x| и формулируют: «График y=|x| сжат к оси Oy в 2 раза». |
Запись в тетрадях
Общий алгоритм: 1) определить базовую функцию; 2) распознать изменение вне или внутри аргумента; 3) преобразовать координаты опорных точек; 4) построить график; 5) проверить одну точку подстановкой.
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Мы получили правила не из готовой схемы, а из изменения координат точек. Сейчас проверим их на конкретных примерах и научимся проговаривать каждое действие».
Этап 5. Первичное закрепление (7 мин)
Цель этапа: научить применять правила преобразования с проговариванием каждого шага.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель предлагает задачу: «Постройте график функции y=(x−1)²−2, используя график y=x². Назовите порядок преобразований и координаты вершины». Учитель просит одного ученика объяснять у доски, а класс проверяет по таблице точек. | Указывают: «Сначала сдвиг вправо на 1, затем вниз на 2». Переносят вершину (0;0) в (1;−2), строят точки (0;−1), (2;−1), (−1;2), (3;2), изображают параболу. |
2 мин | Учитель задаёт вопрос с ловушкой: «Как преобразовать y=−2x²+1? Можно ли сказать, что график просто сдвинулся?» Затем просит сравнить с y=x². | Отвечают: «Сначала ординаты умножаются на −2: парабола отражается относительно Ox и растягивается в 2 раза, затем сдвигается вверх на 1». |
2 мин | Учитель организует взаимопроверку по критериям: правильное направление сдвига, вершина, две симметричные точки, форма графика. «Обменяйтесь листами и поставьте две отметки: “правило распознано” и “построение проверено”. Если есть ошибка, напишите конкретную рекомендацию». | Проверяют работу соседа, отмечают верность вершины и направления преобразования, формулируют рекомендации: «Внутри скобок знак меняется при определении направления сдвига». |
Эталон решения
Для функции \(y=(x-1)^2-2\): базовая функция \(y=x^2\). Замена \(x\to x-1\) даёт сдвиг вправо на 1: \((0,0)\to(1,0)\). Вычитание 2 вне скобок даёт сдвиг вниз на 2: \((1,0)\to(1,-2)\). Дополнительные точки: \((0,1)\to(0,-1)\), \((2,1)\to(2,-1)\). Вершина графика — \((1,-2)\), ось симметрии — \(x=1\).
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Главная проверка построения — не внешний вид рисунка, а соответствие координат формуле. Теперь каждый самостоятельно выполнит задания и покажет, насколько уверенно умеет выбирать правило».
Этап 6. Самостоятельная работа с самопроверкой (10 мин)
Цель этапа: проверить индивидуальное владение алгоритмом преобразования и организовать коррекцию ошибок.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель раздаёт карточки трёх уровней. «Выберите уровень, который соответствует вашей уверенности. Базовый вариант обязателен для всех, повышенный и дополнительный можно выбрать при готовности. Работайте самостоятельно, сначала определите базовую функцию и только затем выполняйте преобразование». | Выбирают карточку, записывают номер варианта и начинают решение, соблюдая алгоритм. |
5 мин | Учитель предлагает задания. Базовый: определить преобразования для y=(x+3)²−1 и y=−|x|+2. Повышенный: построить y=2|x−1|−3. Дополнительный: описать все преобразования для y=−3(x−2)²+4. Учитель напоминает: «Для каждого ответа укажите вершину или опорные точки и проверьте одну точку подстановкой». | Решают индивидуально: называют сдвиги, отражение, растяжение; строят выбранные графики; выполняют подстановочную проверку. |
4 мин | Учитель открывает эталон на экране и проводит самопроверку. «Сверьте не только итоговый рисунок, но и промежуточные шаги. Поставьте плюс у верного шага, вопрос у места сомнения и исправьте одну ошибку полностью». | Сверяют решения с эталоном, исправляют ошибки. Отмечают тип затруднения: направление горизонтального сдвига, порядок преобразований или коэффициент растяжения. |
Эталон решения
Для \(y=2|x-1|-3\): базовая функция \(y=|x|\). Замена \(x\to x-1\) означает сдвиг вправо на 1. Умножение на 2 удваивает ординаты: график растягивается от оси \(Ox\). Вычитание 3 сдвигает график вниз на 3. Вершина \((0,0)\to(1,0)\to(1,0)\to(1,-3)\). Опорные точки исходного графика \((-1,1),(1,1)\) переходят в \((0,-1),(2,-1)\) после всех преобразований.
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Самостоятельная работа показала, что большинство ошибок связано не с вычислениями, а с направлением горизонтального сдвига. В финале сформулируем универсальное правило и проверим достижение цели урока».
Этап 7. Рефлексия и домашнее задание (5 мин)
Цель этапа: обобщить открытые правила, оценить индивидуальный результат и определить содержание домашней работы.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель проводит приём «Одноминутка». «За одну минуту завершите три фразы: “Если к функции прибавили число, то…”, “Если изменили аргумент на x−a, то…”, “Моя типичная ошибка сегодня…”. Затем два ученика прочитают ответы». | Письменно завершают фразы: «график сдвигается по вертикали», «график сдвигается вправо на a», «нужно внимательно учитывать знак внутри скобок»; зачитывают ответы. |
1 мин | Учитель предлагает «Светофор». «Покажите цвет: зелёный — могу определить и построить; жёлтый — понимаю правило, но ошибаюсь в построении; красный — нужна помощь. Запишите в листе самооценки одно действие для улучшения». | Поднимают карточку выбранного цвета, фиксируют личную цель: «повторить горизонтальный сдвиг», «проверять точки подстановкой». |
2 мин | Учитель сообщает домашнее задание и контрольные вопросы. «Перед выходом ответьте: чем отличается y=f(x)+b от y=f(x−a)? Как найти вершину преобразованной параболы? Почему в y=f(2x) график сжимается к оси Oy?» | Отвечают устно или письменно: «в первом случае меняются ординаты, во втором — абсциссы»; формулируют алгоритм нахождения вершины; объясняют изменение аргумента. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Сегодня вы открыли способ преобразовывать графики через изменение координат, а не через механическое заучивание рисунков. Проверьте дома, сможете ли вы объяснить каждое преобразование другому человеку».
Критерии оценивания практической работы
- «5» — правильно определены преобразования во всех заданиях выбранного варианта, построение содержит верную вершину или опорные точки, выполнена проверка подстановкой, объяснение использует математические термины.
- «4» — правильно решены основные задания, но допущена одна неточность в изображении или объяснении, не повлиявшая на общий способ решения.
- «3» — распознано хотя бы одно преобразование и построен график базового уровня, но допущены ошибки в направлении сдвига, координатах или проверке.
- Ниже базового уровня — правило преобразования не распознано или решение отсутствует; требуется повторная работа по алгоритму с опорой на таблицу координат.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Что нового вы узнали о различии внешнего и внутреннего изменения формулы? | Выявление осознания ключевого различия между вертикальным и горизонтальным преобразованием. |
Какое преобразование вы теперь можете выполнить без построения нового графика с нуля? | Проверка переноса открытого способа в практическую ситуацию. |
На каком шаге возникло затруднение: распознавание правила, перенос точки или проверка? | Выявление конкретной точки затруднения в алгоритме решения. |
Как вы проверили, что построенный график соответствует формуле? | Оценка владения самоконтролем и математическим обоснованием результата. |
Завершающее слово учителя
«Сегодня мы установили, что график функции можно преобразовывать системно: изменение вне функции влияет на ординаты, а изменение аргумента — на абсциссы. Самая частая ошибка — неверно определить направление горизонтального сдвига в записи f(x−a), поэтому всегда проверяйте координаты вершины или другой опорной точки. Вы научились не только строить график, но и объяснять, почему он изменился именно так. На следующем уроке применим эти преобразования к исследованию свойств функций и более сложным формулам».
Домашнее задание
Уровень | Что задать | Зачем |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | Решить 4 задания на определение преобразований для функций вида f(x)+b и f(x−a), указать направление сдвига и координаты образа одной опорной точки. | Закрепить различение вертикального и горизонтального сдвига; при проверке обратить внимание на знак внутри скобок. |
Средний (повышающий) | Построить 3 графика функций вида af(x)+b или a f(x−c)+b, используя известные графики модуля, квадратичной или линейной функции; для каждого записать последовательность преобразований. | Закрепить порядок действий, изменение ординат и перенос опорных точек; проверить вершину и минимум две точки. |
Продвинутый (дополнительный) | Составить собственный пример преобразованной квадратичной или модульной функции, построить её график двумя способами и кратко доказать совпадение результатов. | Развивать исследовательскую самостоятельность и умение обосновывать эквивалентность графического и координатного способов построения. |
Контрольные вопросы перед выходом: «Что происходит с графиком при переходе от f(x) к f(x)+b? Как определить направление сдвига в f(x−a)? Что делает множитель перед функцией? Как проверить построение одной подстановкой?»
