Построение графиков функций с помощью геометрических преобразований
Цели и задачи
- Цель: к концу урока научиться строить графики функций вида $y=f(x)+a$, $y=f(x-a)$, $y=-f(x)$ и $y=f(-x)$ по графику базовой функции, объясняя каждое преобразование и проверяя результат по ключевым точкам.
- Познакомить учащихся с алгоритмом построения графиков функций с использованием параллельных переносов и симметрий относительно координатных осей.
- Научить применять преобразования к графикам степенных, показательных, логарифмических и тригонометрических функций на материале учебника.
- Развивать умение анализировать формулу, выдвигать гипотезу о виде графика, строить математическую модель и проверять её по контрольным точкам.
- Формировать ответственное отношение к математическому рассуждению, аккуратность построений и готовность самостоятельно выбирать способ решения.
Планируемые результаты
Личностные
- Осознают значение графического метода для дальнейшего изучения математики, физики, экономики и подготовки к обучению в вузе.
- Проявляют познавательную инициативу при исследовании преобразований графиков.
- Понимают ценность проверки гипотезы по формуле, таблице значений и графическому образу.
- Развивают уверенность в самостоятельном выборе рационального способа построения.
- Осознают необходимость точности, аргументированности и самоконтроля при математической работе.
Метапредметные
- Формулируют учебную цель и план действий при построении нового графика.
- Извлекают информацию из формулы, графика и текста учебника, сопоставляют разные представления функции.
- Выделяют существенные признаки преобразований, устанавливают причинно-следственные связи между изменением формулы и графика.
- Работают в паре, формулируют вопросы и аргументируют выводы.
- Проводят самопроверку построения по контрольным точкам и корректируют ошибки.
Предметные
- Знать геометрический смысл преобразований $y=f(x)+a$, $y=f(x-a)$, $y=-f(x)$ и $y=f(-x)$.
- Уметь строить графики функций по графику базовой функции с использованием переноса и симметрии.
- Уметь определять направление и величину сдвига по формуле.
- Уметь составлять таблицу соответствия точек исходного и преобразованного графиков.
- Владеть алгоритмом проверки построения по области определения, контрольным точкам и характерным элементам графика.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Определяют личный вклад в парное исследование и оценивают собственное продвижение.
- Связывают изучаемый способ с задачами будущего обучения и практического применения математики.
- Проявляют настойчивость при поиске причины ошибки в построении.
Регулятивные УУД
- Принимают и уточняют цель урока на основе проблемной ситуации.
- Планируют последовательность анализа формулы и построения графика.
- Используют критерии самопроверки: направление сдвига, координаты точек, симметрия, область определения.
- Сравнивают результат с эталоном, находят и исправляют ошибку.
- Оценивают степень освоения алгоритма и формулируют дальнейший шаг.
Познавательные УУД
- Сравнивают графики $y=f(x)$ и преобразованных функций.
- Преобразуют информацию из формулы в геометрическую модель.
- Выдвигают гипотезу о координатах образа точки $(x,y)$.
- Строят таблицу соответствия исходных и новых точек.
- Обобщают частные наблюдения в алгоритм построения.
Коммуникативные УУД
- Распределяют роли в паре: аналитик формулы и проверяющий построение.
- Объясняют партнёру направление переноса или ось симметрии.
- Задают уточняющие вопросы и приводят математические аргументы.
- Согласовывают общий вывод и представляют его классу.
- Корректно обсуждают ошибочные решения, отделяя ошибку от личности ученика.
Подготовка учителя к уроку
- Подготовить доску или презентацию с координатной плоскостью и графиками базовых функций $y=x^2$, $y=|x|$, $y=\sqrt{x}$, $y=\frac{1}{x}$.
- Распечатать карточки для парной работы трёх уровней: базовый — переносы, повышенный — симметрии, дополнительный — несколько последовательных преобразований; по одной карточке на пару.
- Подготовить индивидуальные листы самопроверки по 3 критериям: направление преобразования, правильность контрольных точек, соответствие области определения.
- Подготовить цветные маркеры или магнитные точки для показа образов точек на координатной плоскости.
- Вывести на экран проблемный пример: $y=(x-2)^2+3$ и график $y=x^2$ без готового ответа.
- Подготовить на доске или отдельном слайде памятку: «снаружи скобок — вертикальный сдвиг; внутри скобок — горизонтальный сдвиг; знак перед функцией — отражение».
- Предусмотреть работу с текстом учебника по теме: учащиеся самостоятельно находят формулировки свойств и сверяют их с наблюдениями.
- Подготовить линейки, карандаши, тетради в клетку, калькуляторы по решению учителя и таймер на 3 минуты для исследовательских заданий.
Ход урока
Этап 1. Организационный момент и мотивация (3 мин)
Цель этапа: включить учащихся в исследовательскую деятельность и создать мотивацию к открытию общего способа построения графиков.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель приветствует класс: "Здравствуйте, ребята. Сегодня мы будем не просто строить графики, а исследовать, как формула управляет движением уже известного графика. Проверьте, что у вас есть тетрадь в клетку, линейка и карандаш. Откройте учебник на теме, посвящённой преобразованиям графиков функций, но пока не переписывайте готовые правила." | Проверяют готовность, открывают нужный раздел учебника, записывают дату. |
2 мин | Учитель показывает на доске график $y=x^2$ и формулу $y=(x-2)^2+3$: "Предположим, что таблицу значений составлять нельзя и график строится по уже известной параболе. Как вы думаете, куда переместится её вершина? Почему? Запишите гипотезу, обсудите её с соседом и будьте готовы защитить ответ." | Индивидуально записывают гипотезу, затем обсуждают её в паре; предполагают: "Вершина переместится вправо на 2 и вверх на 3". |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы увидели, что небольшое изменение формулы может означать конкретное геометрическое движение графика. Теперь проверим наши предположения и выясним, можно ли описать такие движения единым алгоритмом."
Этап 2. Актуализация знаний (5 мин)
Цель этапа: актуализировать свойства функций, координаты точек и особенности известных базовых графиков.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель обращается к классу: "Назовите базовые функции, графики которых вы умеете строить без подробной таблицы. Какие точки и свойства помогают быстро восстановить график?" Учитель фиксирует ответы в виде кластера на доске. | Называют $y=x^2$, $y=|x|$, $y=\sqrt{x}$, $y=\frac{1}{x}$, $y=\sin x$; выделяют вершину, оси симметрии, нули, область определения и характерные точки. |
3 мин | Учитель предлагает устную проверку: "Для точки $A(1;4)$ назовите координаты точки, симметричной ей относительно оси $Ox$, оси $Oy$ и начала координат. Затем объясните, как изменится график при прибавлении числа 3 к значению функции." | Записывают и проговаривают: относительно $Ox$ — $(1;-4)$, относительно $Oy$ — $(-1;4)$, относительно начала координат — $(-1;-4)$; формулируют: "график поднимается вверх на 3 единицы". |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы вспомнили, что положение точки задаётся двумя координатами и что изменение каждой координаты имеет свой геометрический смысл. Теперь найдём, какая часть формулы отвечает за вертикальное, а какая — за горизонтальное движение."
Этап 3. Постановка проблемы и целеполагание (4 мин)
Цель этапа: выявить затруднение и совместно сформулировать алгоритм исследования преобразований.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель предлагает сравнить функции $y=x^2+3$ и $y=(x-3)^2$: "Обе формулы содержат число 3. Означает ли это, что оба графика сдвигаются одинаково? Не спешите отвечать. Найдите координаты вершины каждой параболы и объясните различие." | Находят вершины $(0;3)$ и $(3;0)$, формулируют: "В первом случае сдвиг вверх, во втором — вправо". |
2 мин | Учитель задаёт вопрос: "Какую проблему нам необходимо решить, чтобы строить такие графики быстро и без случайного перебора точек? Сформулируйте цель урока и предложите порядок действий." | Формулируют цель: "Научиться распознавать преобразование по формуле и строить новый график по базовому"; предлагают план: определить базовый график, установить преобразование, перенести точки, проверить результат. |
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Проблема поставлена: нам нужно связать запись формулы с движением точек графика. Перейдём к исследованию конкретных случаев и проверим их на материале учебника."
Этап 4. Открытие нового знания. Исследование преобразований (10 мин)
Цель этапа: вывести правила параллельного переноса и симметрии графика через анализ координат точек.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
4 мин | Учитель предлагает работу с учебником: "Найдите в тексте определения преобразований графика и сопоставьте их с формулами. Рассмотрим точку $A(x;y)$ графика $y=f(x)$. Если к значению функции прибавили число $a$, получаем $y=f(x)+a$. Что произошло с координатами точки? А если записали $y=f(x-a)$? Не просто прочитайте правило, а объясните его через координаты." | В парах читают фрагмент учебника, составляют таблицу: $y=f(x)+a$ — точка $(x;y+a)$, сдвиг вверх при $a>0$; $y=f(x-a)$ — точка $(x+a;y)$, сдвиг вправо при $a>0$. |
3 мин | Учитель показывает на доске памятку: "Зафиксируем два правила. Число вне аргумента меняет вертикальную координату. Число внутри скобок действует на горизонтальную координату с противоположным знаком. Например, из $y=x^2$ получаем $y=(x-2)^2+3$: сначала сдвигаем вправо на 2, затем вверх на 3. Вершина $(0;0)$ переходит в $(2;3)$." | Записывают правила и строят по клеткам образ вершины и точек $(-1;1)$, $(1;1)$, получая точки $(1;4)$, $(3;4)$. |
3 мин | Учитель продолжает: "Рассмотрим знак минус. Что произойдёт с графиком при $y=-f(x)$? А при $y=f(-x)$? Сравните изменение координат точки и назовите ось симметрии. Проверьте вывод по рисунку в учебнике." | Формулируют: $y=-f(x)$ — симметрия относительно оси $Ox$; $y=f(-x)$ — симметрия относительно оси $Oy$. Записывают соответствующие преобразования координат. |
Запись в тетрадях
1. $y=f(x)+a$ — перенос графика $y=f(x)$ вдоль оси $Oy$ на $a$ единиц. При $a>0$ — вверх, при $a<0$ — вниз.
2. $y=f(x-a)$ — перенос графика вдоль оси $Ox$ на $a$ единиц. При $a>0$ — вправо, при $a<0$ — влево.
3. $y=-f(x)$ — симметрия относительно оси $Ox$.
4. $y=f(-x)$ — симметрия относительно оси $Oy$.
2. $y=f(x-a)$ — перенос графика вдоль оси $Ox$ на $a$ единиц. При $a>0$ — вправо, при $a<0$ — влево.
3. $y=-f(x)$ — симметрия относительно оси $Ox$.
4. $y=f(-x)$ — симметрия относительно оси $Oy$.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы установили координатный смысл основных преобразований. Теперь применим правила сначала вместе, проговаривая каждый шаг, а затем проверим, сможете ли вы выполнить построение самостоятельно."
Этап 5. Первичное закрепление. Работа в парах (7 мин)
Цель этапа: закрепить алгоритм построения графиков на примерах с одним и двумя преобразованиями.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель раздаёт каждой паре карточку: "Постройте график $y=|x-2|+1$ по графику $y=|x|$. Сначала назовите преобразования словами, затем перенесите вершину и две симметричные точки. Один ученик объясняет, второй выполняет построение, затем поменяйтесь ролями." | Определяют: сдвиг вправо на 2 и вверх на 1; переносят вершину в $(2;1)$, точки $(-1;1)$ и $(1;1)$ — в $(1;2)$ и $(3;2)$; строят лучи. |
3 мин | Учитель организует проверку: "Поднимите карточки с результатом. Назовите координаты вершины и объясните, почему нельзя сказать, что график сдвинут влево на 2. Сверьте построение с эталоном на доске и поставьте отметку за каждый правильно выполненный шаг." | Отвечают: "Вершина $(2;1)$; запись $x-2$ означает сдвиг вправо". Сверяют три критерия: преобразование, точки, форма графика. |
2 мин | Учитель предлагает второй пример: "По графику $y=\sqrt{x}$ постройте $y=-\sqrt{x+1}+2$. Назовите преобразования в правильной последовательности. Обратите внимание на начальную точку графика." | Формулируют: сдвиг влево на 1, отражение относительно $Ox$, сдвиг вверх на 2; находят начальную точку $(-1;2)$ и строят несколько точек образа. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Вы уже умеете читать преобразование непосредственно по формуле и переносить характерные точки. Следующий шаг — индивидуальная работа без подсказки, чтобы проверить устойчивость алгоритма."
Этап 6. Самостоятельная работа с самопроверкой (10 мин)
Цель этапа: проверить индивидуальное владение алгоритмом и выявить затруднения.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель раздаёт индивидуальные карточки: "Работаем самостоятельно. Запишите исходную функцию, перечислите преобразования, укажите координаты двух-трёх контрольных точек и выполните построение. Выберите базовый или повышенный вариант, если готовы к исследованию нескольких преобразований." | Выбирают вариант, записывают последовательность действий и приступают к построению. |
6 мин | Учитель предлагает задания: базовый вариант — построить $y=(x-1)^2-2$ по графику $y=x^2$; повышенный вариант — построить $y=-|x+2|+3$ по графику $y=|x|$; дополнительный — построить $y=\sqrt{x-2}-1$ по графику $y=\sqrt{x}$. Учитель наблюдает, задаёт уточняющие вопросы: "Как изменилась абсцисса? Относительно какой оси выполнена симметрия?" | Решают выбранное задание, строят график, отмечают вершину или начальную точку и контрольные точки. |
3 мин | Учитель показывает эталонные преобразования на доске: "Проверьте не только вид графика, но и координаты. Если есть ошибка, зачеркните неверный шаг одной линией и рядом запишите исправление. Не переписывайте всё решение без анализа причины ошибки." | Сверяют решения, исправляют ошибки, заполняют лист самопроверки и отмечают: "могу выполнить самостоятельно", "нужна тренировка", или "нужна помощь". |
Эталон решения
Для $y=(x-1)^2-2$: 1) базовый график — $y=x^2$; 2) выражение $x-1$ означает перенос вправо на 1; 3) число $-2$ означает перенос вниз на 2; 4) вершина $(0;0)$ переходит в $(1;-2)$; 5) точки $(-1;1)$ и $(1;1)$ переходят в $(0;-1)$ и $(2;-1)$; 6) через полученные точки строится парабола, ветви направлены вверх.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Самостоятельная работа показала, что главное затруднение обычно связано не с построением, а с чтением знака внутри скобок. На заключительном этапе проверим, какой способ вы теперь можете объяснить другому человеку и что ещё требует тренировки."
Этап 7. Рефлексия и домашнее задание (6 мин)
Цель этапа: осмыслить открытый способ, оценить его применение и определить содержание дальнейшей самостоятельной работы.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель проводит приём "Одноминутка": "За одну минуту завершите три фразы: сегодня я научился; при чтении формулы особенно важно; проверить себя можно с помощью. Затем сравните ответы с соседом и назовите один полезный совет классу." | Заполняют три фразы, обсуждают их в парах, формулируют советы: "Сначала выделить базовый график", "Проверить вершину и несколько точек", "Не путать знак внутри скобок". |
2 мин | Учитель проводит «Светофор»: "Покажите цвет: зелёный — могу построить график и объяснить преобразования; жёлтый — понимаю правило, но ошибаюсь в точках; красный — нужна помощь в чтении формулы. По жёлтым и красным сигналам запишите конкретный вопрос." | Показывают карточку, записывают вопрос или затруднение, формулируют личную цель для домашней работы. |
1 мин | Учитель сообщает домашнее задание: "Выберите уровень по таблице на доске. Во всех решениях обязательно записывайте базовую функцию, последовательность преобразований и координаты контрольных точек." | Записывают домашнее задание, задают уточняющие вопросы. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Сегодня мы научились видеть за изменением формулы геометрическое движение графика и использовать это движение вместо построения большого количества точек. Проверьте себя вопросом: могу ли я объяснить, почему $x-2$ даёт сдвиг вправо? Если ответ пока неуверенный, именно этот момент станет первой целью домашней тренировки."
Критерии оценивания практической работы
- «5» — правильно определены базовая функция и все преобразования, верно построены график и минимум три контрольные точки, объяснены знаки в формуле, работа выполнена аккуратно.
- «4» — преобразования определены верно, график в целом построен правильно, но допущена одна неточность в точке, обозначении или объяснении.
- «3» — распознано хотя бы одно основное преобразование и построена часть графика, но допущены ошибки в направлении сдвига, симметрии или координатах.
- Ниже «3» — не определена базовая функция или отсутствует связное объяснение последовательности преобразований; требуется индивидуальная отработка алгоритма.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Что нового вы узнали о роли числа внутри скобок и вне скобок? | Выявление осознания различий между горизонтальным и вертикальным переносом. |
Какое преобразование вы можете объяснить без помощи записи? | Определение уровня самостоятельности и устойчивости знания. |
На каком шаге самостоятельной работы возникло затруднение? | Выявление конкретной точки затруднения в алгоритме. |
Как вы проверяли правильность построения? | Проверка сформированности навыков самоконтроля и математической аргументации. |
Завершающее слово учителя
"Сегодня мы увидели, что график новой функции часто можно получить из знакомого графика простым геометрическим преобразованием. Особенно внимательно проверяйте знак внутри скобок: выражение $x-a$ даёт сдвиг вправо, а не влево. Важно не только получить рисунок, но и уметь объяснить, как изменились координаты точек. На следующем уроке мы продолжим исследование преобразований и рассмотрим, как они влияют на область определения, множество значений и свойства функции."
Домашнее задание
Уровень | Что задать | Зачем |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | Выполнить 4 задания на построение графиков вида $y=f(x)+a$ и $y=f(x-a)$ по базовым графикам, используя разные знаки и значения параметра. Для каждого задания записать преобразование и отметить две контрольные точки. | Закрепляет различение вертикального и горизонтального переносов; при проверке обратить внимание на направление сдвига и координаты точек. |
Средний (повышающий) | Выполнить 3 задания на построение графиков вида $y=-f(x)$, $y=f(-x)$ и функций с двумя последовательными преобразованиями, например $y=-|x-2|+1$. | Формирует умение сочетать симметрию и перенос; при проверке смотреть на порядок действий и сохранение характерной формы графика. |
Продвинутый (дополнительный) | Исследовать 2 функции, содержащие три преобразования, построить их графики и письменно объяснить, как изменились область определения, множество значений и координаты характерной точки. | Развивает исследовательское мышление и умение связывать формулу, график и свойства функции; при проверке оценивать полноту аргументации. |
Контрольные вопросы перед выходом из класса: «Что означает запись $y=f(x)+a$?», «Почему $y=f(x-3)$ даёт сдвиг вправо?», «Как построить $y=-f(x)$?», «Какие точки вы выберете для проверки графика?»
