Неравенства и их решения: от условия к множеству решений
Цели и задачи
- Цель по SMART: к концу урока учащиеся сформулируют определение неравенства и решения неравенства, научатся изображать множество решений на числовой прямой и решат не менее 4 линейных неравенств с проверкой результата.
- Сформировать представление о неравенстве как математической записи отношения между выражениями и о множестве его решений.
- Научить различать строгое и нестрогое неравенства, выбирать способ обозначения границ множества решений на числовой прямой.
- Развивать умение анализировать преобразования, обнаруживать изменение знака неравенства при умножении или делении на отрицательное число.
- Организовать сотрудничество в группах и дифференцированную практику с самооценкой результата.
Планируемые результаты
Личностные
- Осознают значение точности математической записи для решения практических и учебных задач.
- Проявляют ответственное отношение к самостоятельной работе и проверке полученного ответа.
- Развивают готовность аргументированно отстаивать способ решения и уважать обоснованные решения одноклассников.
- Связывают освоение темы с дальнейшим изучением функций, математического анализа и подготовкой к обучению в вузе.
Метапредметные
- Извлекают информацию из условия, математической записи и изображения на числовой прямой.
- Планируют последовательность решения, соотносят промежуточные преобразования с исходным неравенством.
- Сотрудничают в группе, распределяют роли и формулируют общий вывод.
- Используют формирующее оценивание: сверяют решение с эталоном, находят ошибку и корректируют запись.
Предметные
- Знать определения неравенства, решения неравенства и множества решений.
- Уметь различать знаки $>$, $<$, $\geq$, $\leq$ и изображать соответствующие множества на числовой прямой.
- Уметь решать линейные неравенства переносом слагаемых и делением на коэффициент при переменной.
- Уметь объяснять необходимость изменения знака неравенства при умножении или делении на отрицательное число.
- Уметь записывать ответ в виде промежутка и проверять принадлежность числа множеству решений.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Определяют личный уровень понимания темы через самооценку и рефлексию.
- Осознают ценность доказательного рассуждения и аккуратной математической записи.
- Проявляют учебную самостоятельность при выборе уровня практического задания.
- Сохраняют готовность исправлять ошибку как часть исследовательской работы.
Регулятивные УУД
- Формулируют цель урока на основе выявленного затруднения.
- Планируют алгоритм решения линейного неравенства.
- Осуществляют пошаговый самоконтроль преобразований и знака неравенства.
- Сопоставляют результат с эталоном, выявляют причину ошибки и вносят исправления.
Познавательные УУД
- Сравнивают уравнение и неравенство, выделяют их общие и отличительные признаки.
- Моделируют множество решений на числовой прямой.
- Анализируют влияние умножения и деления на отрицательное число на знак неравенства.
- Обобщают частные случаи в алгоритм решения и используют его в новых заданиях.
Коммуникативные УУД
- Распределяют роли в группе: координатор, решающий, проверяющий, докладчик.
- Объясняют ход решения с использованием математических терминов.
- Задают уточняющие вопросы и аргументированно оценивают предложенный способ.
- Договариваются о единой записи группового ответа.
Подготовка учителя к уроку
- Подготовить презентацию или запись на доске с проблемной парой: $x+3=7$ и $x+3>7$, а также с изображениями открытой и закрашенной точек на числовой прямой.
- Распечатать карточки для четырёх групп: базовые, стандартные и повышенные задания; подготовить по одному комплекту на группу.
- Распечатать индивидуальные карточки трёх уровней — по одной на каждого ученика с запасом 3–4 экземпляра.
- Подготовить лист «Алгоритм решения линейного неравенства» с пятью шагами: упростить, перенести, привести подобные, разделить с учётом знака, записать ответ и изобразить множество решений.
- Вывести на экран таблицу соответствия: $x>a$ — открытая точка и луч вправо; $x\geq a$ — закрашенная точка и луч вправо; аналогично для знаков $<$ и $\leq$.
- Подготовить четыре маркера, листы А3 для групп, стикеры двух цветов и карточки для приёма «Светофор».
- Организовать рабочие места для четырёх групп по 4–6 человек, назначить на столах роли участников.
- Подготовить таймер, проектор или интерактивную доску и эталоны решений для самопроверки.
- Заранее записать на доске тему урока, проблемный вопрос «Чем решение неравенства отличается от решения уравнения?» и критерии практической работы.
Ход урока
Этап 1. Организационный момент и мотивация (3 мин)
Цель этапа: включить учащихся в работу и показать практическую необходимость понятия множества решений.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель приветствует класс и обращается к ученикам: "Здравствуйте. Сегодня нам понадобится не только умение выполнять преобразования, но и способность точно описывать множество возможных значений. Проверьте, что на столе есть тетрадь, ручка и калькулятор для самопроверки, хотя основные вычисления мы выполним устно. В конце урока каждый определит, какой уровень задания готов выполнять самостоятельно." | Проверяют готовность, записывают дату, настраиваются на индивидуальную и групповую работу. |
2 мин | Учитель показывает на доске условие: "Для допуска к соревнованию результат должен быть больше 70 баллов. Как математически записать все допустимые результаты? Можно ли назвать только одно число? Почему здесь нужен не один ответ, а целое множество?" Учитель фиксирует проблемный вопрос: "Как находить и записывать все решения неравенства?" | Предлагают записи вида $x>70$, объясняют: "Подходит любое число, большее 70", формулируют, что требуется описать множество значений. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы увидели, что в реальной ситуации часто требуется не найти одно значение, а определить все допустимые значения. Сейчас проверим, какие знания об уравнениях помогут нам начать решение неравенств."
Этап 2. Актуализация знаний и выявление затруднения (6 мин)
Цель этапа: актуализировать преобразования выражений и обнаружить отличие неравенства от уравнения.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель организует приём «Подумай — обсуди в паре — поделись»: "Сначала самостоятельно решите уравнение $3x-5=10$. Затем сравните его с записью $3x-5>10$. Обсудите с соседом, какие шаги сохраняются, а где может появиться новая трудность. Через минуту назовите общий алгоритм." Учитель выслушивает две пары и записывает на доске опорные шаги. | Решают $3x-5=10$, получают $x=5$; в парах выделяют перенос слагаемого и деление на коэффициент; формулируют: "В неравенстве, вероятно, получится не одно число, а промежуток значений". |
3 мин | Учитель предлагает быстро оценить утверждения карточками «верно/неверно»: "При переносе слагаемого через знак неравенства знак меняется. При умножении неравенства на отрицательное число знак меняется. Если $x>2$, число 2 входит в множество решений. Для записи $x\geq 2$ точка 2 должна быть закрашена." Учитель просит объяснить не только ответ, но и причину. | Поднимают карточки, исправляют ошибочные утверждения: "При переносе слагаемого знак не меняется; при умножении или делении на отрицательное число меняется"; объясняют, что 2 не входит в $x>2$, но входит в $x\geq2$. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы умеем выполнять преобразования, но пока не сформулировали единый алгоритм и не объяснили, как проверять бесконечное множество значений. Зафиксируем цель и вместе откроем правило, которое позволит решать такие записи без перебора чисел."
Этап 3. Постановка проблемы и целеполагание (4 мин)
Цель этапа: сформулировать учебную задачу и критерии успешного решения.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель возвращается к записи $3x-5>10$: "Предположите, какие значения подходят. Достаточно ли проверить только $x=6$? Как доказать, что подходят все числа больше некоторого значения?" Учитель подводит класс к понятию решения неравенства и просит предложить цель урока. | Предполагают: "$x>5$; подходят 6, 7, 100 и любое число больше 5"; формулируют цель: "Научиться решать неравенства и записывать все решения". |
2 мин | Учитель записывает на доске критерии: "К концу урока вы должны уметь назвать решение неравенства, выполнить равносильные преобразования, изобразить ответ на прямой и объяснить смену знака при делении на отрицательное число. Выберите личный уровень: базовый, стандартный или повышенный." | Записывают цель и критерии, выбирают стартовый уровень карточки; сильные ученики планируют взять повышенное задание после обязательного минимума. |
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Цель поставлена: мы не просто получим ответы, а научимся обосновывать, почему множество решений именно такое. Начнём с наблюдения, которое поможет самим вывести главное правило."
Этап 4. Открытие нового знания в группах (9 мин)
Цель этапа: вывести алгоритм решения линейного неравенства и правило изменения знака.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель делит класс на четыре группы и раздаёт листы А3: "Используйте приём «Исследовательская группа». На листе есть цепочка преобразований и вопрос к каждому шагу. Распределите роли: координатор, решающий, проверяющий и докладчик. Ваша задача — не переписать готовое правило, а объяснить, почему оно работает." | Распределяют роли, читают карточку, выделяют шаги решения и вопросы к ним. |
4 мин | Учитель предлагает группам исследовать примеры: 1-я группа решает $2x+3<11$; 2-я — $-4x+5\geq13$; 3-я сравнивает $x>2$ и $x+4>6$; 4-я изображает ответы $x<3$ и $x\leq3$. Учитель задаёт вопросы: "На каком шаге знак изменился? Почему? Как вы понимаете открытую и закрашенную точку?" | Решают задания на листах, отмечают момент деления на отрицательное число, изображают ответы; формулируют: "При делении на отрицательное число знак меняется", "строгая граница не включается", "нестрогая граница включается". |
3 мин | Учитель организует короткие сообщения: "Докладчик каждой группы, назовите результат и одно объяснение. Остальные группы сравнивают его со своей записью и прикрепляют зелёный стикер, если согласны, или жёлтый, если нужен вопрос." Учитель сводит ответы в общий алгоритм на доске. | Докладчики сообщают решения: $x<4$; $x\leq-2$; преобразование сохраняет знак; при $x<3$ точка открытая, при $x\leq3$ закрашенная. Учащиеся задают вопросы и корректируют лист группы. |
Запись в тетрадях
Учащиеся записывают: «Неравенство — это запись отношения между двумя выражениями с помощью знаков $>$, $<$, $\geq$, $\leq$. Решением неравенства называется значение переменной, при котором неравенство становится верным. При сложении, вычитании одного и того же числа знак неравенства не меняется; при умножении или делении на отрицательное число знак меняется». Алгоритм: 1) раскрыть скобки и привести подобные; 2) перенести слагаемые с переменной в одну часть; 3) разделить на коэффициент; 4) изменить знак при отрицательном коэффициенте; 5) записать ответ и изобразить его на числовой прямой.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы сами вывели два ключевых правила: знак сохраняется при прибавлении или вычитании одного и того же числа и меняется при умножении или делении на отрицательное число. Теперь проверим алгоритм на коротких заданиях с обязательным проговариванием каждого шага."
Этап 5. Первичное закрепление: решение с проговариванием (7 мин)
Цель этапа: закрепить алгоритм решения линейных неравенств и связь алгебраической записи с числовой прямой.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель разбирает пример у доски: "Решим неравенство $5x-7\leq18$. Сначала назовите действие, которое уберёт свободный член. Затем назовите действие с коэффициентом при $x$. Не забывайте проговаривать, изменяется ли знак." Учитель просит ученика записывать преобразования, а класс проверяет каждый шаг. | Один ученик записывает $5x\leq25$, затем $x\leq5$; класс проговаривает: "Прибавили 7, знак не изменился; разделили на положительное 5, знак не изменился"; изображают на прямой закрашенную точку 5 и луч влево. |
2 мин | Учитель предлагает парное задание: "Решите $-3x+4>16$. Один ученик выполняет преобразования, второй контролирует знак и изображение ответа. Затем поменяйтесь ролями при проверке." Учитель наблюдает за парами и адресно помогает тем, кто путает знак. | В парах получают $-3x>12$, затем $x<-4$; отмечают открытую точку $-4$ и луч влево; объясняют: "При делении на отрицательное число знак $>$ сменился на $<$". |
2 мин | Учитель проводит приём «Светофор»: "Покажите зелёную карточку, если можете решить линейное неравенство самостоятельно, жёлтую, если нужна памятка, красную, если пока не понимаете смену знака. Это не оценка, а сигнал для выбора следующей карточки." | Показывают карточку, фиксируют в листе самооценки, какой шаг требует дополнительного внимания. |
Эталон решения
$-3x+4>16$; $-3x>12$ — вычитаем 4 из обеих частей; $x<-4$ — делим обе части на $-3$ и меняем знак неравенства. Ответ: $x\in(-\infty;-4)$. На числовой прямой точка $-4$ открытая, луч направлен влево.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Алгоритм уже работает на простых примерах. Главное место риска мы назвали: деление на отрицательное число. Теперь каждый выберет посильный уровень и покажет, умеет ли применять правило без коллективной подсказки."
Этап 6. Дифференцированная самостоятельная работа с самопроверкой (10 мин)
Цель этапа: проверить индивидуальное освоение алгоритма и обеспечить коррекцию ошибок.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель объясняет выбор: "Обязательный минимум выполняют все. Если он получается уверенно, переходите к стандартному уровню; повышенный уровень выбирайте после проверки базовых заданий. На карточке записывайте не только ответ, но и преобразования, чтобы можно было найти причину ошибки." | Выбирают карточку с учётом самооценки и приступают к индивидуальному решению. |
6 мин | Учитель раздаёт задания. Базовый уровень: решить $x+6>10$, $4x-8\leq0$. Стандартный уровень: решить $7-2x<15$, $3(2x-1)\geq9$. Повышенный уровень: решить $\frac{x-2}{3}\leq x+1$ и объяснить, почему ответ можно проверить подстановкой двух чисел. Учитель консультирует группы поддержки, не сообщая готовый ответ. | Индивидуально решают выбранные неравенства, изображают ответы на прямой, записывают промежутки; учащиеся повышенного уровня приводят объяснение проверки. |
3 мин | Учитель открывает эталон: "Сверьте каждую строку, подчеркните место первой ошибки и исправьте её другим цветом. Если ответ совпал, проверьте граничную точку: входит она в множество или нет?" Учитель собирает краткие данные: сколько учеников выполнили базовый, стандартный и повышенный уровень. | Проверяют по эталону, исправляют ошибки, выполняют контрольную подстановку. Например, для $7-2x<15$ получают $x>-4$ и проверяют числа $-5$ и $0$. |
Эталон решения
Базовый уровень: $x+6>10$, значит $x>4$, ответ $x\in(4;+\infty)$; $4x-8\leq0$, значит $4x\leq8$, $x\leq2$, ответ $x\in(-\infty;2]$. Стандартный уровень: $7-2x<15$, $-2x<8$, $x>-4$, ответ $x\in(-4;+\infty)$; $3(2x-1)\geq9$, $6x-3\geq9$, $6x\geq12$, $x\geq2$, ответ $x\in[2;+\infty)$. Повышенный уровень: $\frac{x-2}{3}\leq x+1$; умножаем на 3: $x-2\leq3x+3$; $-5\leq2x$; $x\geq-\frac52$; ответ $x\in[-\frac52;+\infty)$. Граничная точка включается, так как знак нестрогий.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Вы проверили не только правильность ответа, но и качество рассуждения. Ошибка в знаке или в граничной точке меняет всё множество решений. Осталось обобщить, что именно мы сегодня научились делать, и определить следующий шаг работы."
Этап 7. Рефлексия и домашнее задание (6 мин)
Цель этапа: осознать результат урока, выявить индивидуальные затруднения и принять домашнее задание с выбором уровня.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель предлагает приём «Одноминутная запись»: "За одну минуту закончите три фразы: «Неравенство — это…», «Знак меняется, когда…», «Чтобы изобразить ответ, я должен…». Затем сравните запись с соседом и добавьте один важный пункт, если его не хватает." | Индивидуально дописывают три фразы, обсуждают в парах; формулируют: "Неравенство задаёт отношение между выражениями", "знак меняется при умножении или делении на отрицательное число", "нужно учитывать открытую или закрашенную границу". |
2 мин | Учитель проводит приём «Билет на выход»: "На отдельном стикере решите $-2x+1\geq7$ и изобразите ответ. На обороте напишите, какой уровень домашнего задания выбираете и какой шаг алгоритма хотите потренировать." | Решают $-2x\geq6$, получают $x\leq-3$, рисуют закрашенную точку $-3$ и луч влево; указывают личную потребность в тренировке. |
1 мин | Учитель знакомит с домашним заданием: "Выберите обязательный уровень и, если готовы, один повышающий. Проверяйте не только конечный ответ, но и изменение знака, граничную точку и запись промежутка. На следующем уроке мы используем эти умения при решении более сложных неравенств." | Записывают выбранный уровень, формулируют личную цель и сдают стикер на выходе. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Сегодня вы перешли от поиска одного числа к описанию множества решений. Вы научились решать линейные неравенства, изображать ответы и объяснять изменение знака. Важно сохранять полную запись преобразований: она помогает увидеть и исправить ошибку. На следующем уроке мы применим этот алгоритм к системам и более сложным неравенствам."
Критерии оценивания практической работы
- «5» — верно решены все задания выбранного базового или стандартного уровня, корректно указано изменение знака при делении на отрицательное число, ответы записаны в виде промежутков и изображены на числовой прямой; для повышенного уровня дано обоснование.
- «4» — верно решено большинство заданий, допущена одна вычислительная или графическая неточность, не повлиявшая на общий ход алгоритма, либо требуется небольшая коррекция записи границы.
- «3» — выполнен обязательный минимум, но допущены ошибки в одном преобразовании, определении граничной точки или направлении луча; после самопроверки ученик может объяснить правильный алгоритм.
- Ниже базового уровня — решение неполное или отсутствует объяснение смены знака; необходима индивидуальная коррекционная работа по карточке-памятке.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Что такое решение неравенства и чем оно отличается от корня уравнения? | Проверка понимания различия между одним значением и множеством значений. |
В каком случае знак неравенства меняется и почему? | Выявление понимания ключевого правила равносильных преобразований. |
Какой этап алгоритма оказался самым трудным: преобразование, деление, запись промежутка или изображение на прямой? | Выявление индивидуальных точек затруднения для коррекции. |
Какой уровень задания вы готовы выполнить самостоятельно на следующем уроке? | Формирование самооценки и планирование дальнейшей учебной деятельности. |
Завершающее слово учителя
"Сегодня мы научились рассматривать неравенство как условие для целого множества чисел, а не как задачу с единственным ответом. Ключевая ошибка, которую нужно предупреждать, — забытая смена знака при делении на отрицательное число или неверная граница на числовой прямой. Проверяйте ответ подстановкой числа из множества и числа вне его. На следующем уроке мы перенесём этот алгоритм на системы и более сложные виды неравенств."
Домашнее задание
Уровень | Что задать | Зачем |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | Решить 4 линейных неравенства: два с положительным коэффициентом при переменной и два с отрицательным; для каждого изобразить множество решений на числовой прямой и записать ответ промежутком. | Закрепляет базовый алгоритм и контроль смены знака; при проверке смотреть на преобразования, направление луча и включение границы. |
Средний (повышающий) | Решить 5 неравенств со скобками и приведением подобных слагаемых, включая не менее двух случаев деления на отрицательное число; выполнить проверку одной выбранной границы подстановкой. | Развивает применение алгоритма в усложнённых выражениях; при проверке смотреть на раскрытие скобок, перенос слагаемых и знак при делении. |
Продвинутый (дополнительный) | Составить два собственных линейных неравенства: одно со строгим знаком и одно с нестрогим, решить их, изобразить ответы и написать краткое объяснение различия открытой и закрашенной точки. | Развивает создание математической модели и осознанное использование обозначений; при проверке смотреть на корректность составленных условий и обоснование границ. |
Контрольные вопросы перед выходом: «Что называется решением неравенства? В каком преобразовании знак меняется? Чем на числовой прямой отличаются $x>a$ и $x\geq a$? Как проверить, что найденный промежуток действительно является ответом?»
