Матрица: понятие, элементы и действия с матрицами
Цели и задачи
- Цель: к концу урока сформировать у учащихся представление о матрице как прямоугольной таблице чисел и научить распознавать её размер, находить элементы по индексам и выполнять сложение матриц одинакового размера.
- Познакомить с обозначением матрицы, её строками, столбцами, элементами и размером.
- Научить определять положение элемента матрицы по двум индексам и составлять матрицу по заданному правилу.
- Развивать умение выдвигать гипотезы, проверять их на примерах, аргументировать выводы в парной работе.
- Показать связь матриц с обработкой данных, таблицами и дальнейшими темами алгебры и информатики.
Планируемые результаты
Личностные
- Проявляют познавательный интерес к математическим моделям, используемым в информатике, экономике и инженерии.
- Осознают значение аккуратной записи и проверки индексов при работе с табличными данными.
- Развивают готовность к самостоятельному выбору способа решения и ответственному отношению к результату.
- Понимают ценность сотрудничества и корректного обсуждения математических гипотез.
Метапредметные
- Извлекают информацию из записи матрицы, структурируют её по строкам и столбцам.
- Планируют последовательность действий при определении размера и элементов матрицы.
- Сравнивают математические объекты по заданным признакам и формулируют обобщающий вывод.
- Используют цифровую или табличную форму представления данных для проверки рассуждений.
- Аргументированно представляют результат парной работы и оценивают его по критериям.
Предметные
- Знать определения матрицы, строки, столбца, элемента и размера матрицы.
- Уметь определять размер матрицы и находить элемент $a_{ij}$ по его индексам.
- Уметь записывать матрицу по формуле для её элементов.
- Уметь складывать и вычитать матрицы одинакового размера.
- Владеть алгоритмом проверки допустимости сложения матриц.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Осмысливают практическую значимость матриц как способа компактного представления информации.
- Формируют ответственное отношение к точности математической записи.
- Проявляют самостоятельность при выборе и проверке способа действия.
- Оценивают личный вклад в парное обсуждение.
Регулятивные УУД
- Формулируют цель урока на основе выявленного затруднения.
- Планируют алгоритм определения размера и элемента матрицы.
- Проверяют вычисления по образцу и находят ошибку в индексе или знаке.
- Оценивают степень освоения нового материала по листу самооценки.
- Корректируют решение после сопоставления с эталоном.
Познавательные УУД
- Выделяют строки, столбцы и отдельные элементы в математической записи.
- Сравнивают матрицы по числу строк и столбцов.
- Строят модель табличных данных в виде матрицы.
- Устанавливают правило сложения матриц поэлементно.
- Формулируют вывод на основании нескольких конкретных примеров.
Коммуникативные УУД
- Распределяют роли в паре при исследовании примеров.
- Задают уточняющие вопросы о порядке индексов.
- Аргументируют, почему две матрицы можно или нельзя сложить.
- Сверяют решения с партнёром и корректно формулируют замечания.
- Представляют общий вывод классу.
Подготовка учителя к уроку
- Подготовить презентацию или запись на доске с таблицами чисел, обозначениями $A=(a_{ij})$ и примерами матриц разных размеров.
- Распечатать карточки для парной работы: по одной карточке на пару, всего по числу пар в классе, с заданиями трёх уровней.
- Подготовить индивидуальные листы самостоятельной работы — по одному на каждого ученика.
- Распечатать мини-лист самооценки с пунктами «определяю размер», «нахожу элемент», «складываю матрицы».
- Вывести на экран таблицу с реальными данными: количество проданных товаров в трёх магазинах за два дня.
- Подготовить цветные маркеры или стикеры для выделения строк и столбцов.
- Записать на доске тему урока и оставить место для алгоритма сложения матриц.
- Подготовить таймер на 2–4 минуты и эталон самостоятельной работы для показа после выполнения.
Ход урока
Этап 1. Организационный момент и мотивация (3 мин)
Цель этапа: включить учащихся в исследовательскую деятельность и показать практическую необходимость нового способа записи данных.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | «Здравствуйте, ребята. Проверьте, пожалуйста, готовность: тетрадь, ручка и лист для работы должны быть перед вами. Сегодня нам понадобится не только вычислять, но и внимательно читать математическую запись. На доске вы видите данные о продажах трёх товаров в двух магазинах. Посмотрите, как можно было бы записать эту информацию компактнее». | Готовят рабочее место, рассматривают таблицу продаж, предлагают варианты компактной записи. |
2 мин | «Представьте, что такую таблицу нужно передать компьютерной программе или использовать в экономическом расчёте. Удобно ли каждый раз описывать словами, где находится каждое число? Сегодня мы выясним, как прямоугольная таблица чисел превращается в математический объект и какие действия с ним допустимы. Запишите тему урока: “Матрица”». | Формулируют предположения: «Нужна таблица», «важно указать строки и столбцы», записывают тему и дату. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Мы увидели, что таблица данных требует точного и компактного описания. Сейчас проверим, какие известные нам понятия помогут это сделать».
Этап 2. Актуализация знаний (6 мин)
Цель этапа: актуализировать представления о таблицах, координатах и порядке записи индексов.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | «Вспомним, как ориентироваться в таблице. Если в ней три строки и четыре столбца, сколько всего ячеек? Как мы обозначим ячейку, стоящую во второй строке и третьем столбце? Не торопитесь: сначала назовите строку, затем столбец». | Отвечают: «12 ячеек», «вторая строка, третий столбец»; записывают обозначение $a_{23}$. |
2 мин | «Рассмотрите таблицу $[0m
a b c
d e f
g h i$. Чем отличается строка от столбца? Покажите, где находится элемент во второй строке и первом столбце. Почему запись $a_{12}$ не означает первый столбец и вторую строку?» | Показывают строки и столбцы, называют элемент $d$, объясняют, что первый индекс обозначает строку, второй — столбец. |
2 мин | «Приём “Подумай — обсуди в паре — поделись”: за 30 секунд определите, сколько строк и столбцов у таблицы $[0m 1 0 -2 4 5 3 [0m. Затем сравните ответ с соседом и назовите элемент в первой строке третьего столбца». | Сначала решают индивидуально, затем обсуждают в парах; отвечают: «2 строки, 3 столбца, элемент $-2$». |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Мы вспомнили таблицу, строки, столбцы и порядок индексов. Теперь выясним, как эти сведения оформляются в новом математическом понятии».
Этап 3. Постановка проблемы и целеполагание (4 мин)
Цель этапа: сформулировать учебную проблему и совместно определить план открытия нового знания.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | «На доске записаны две таблицы: $A=\begin{pmatrix}1&2&3\\4&5&6\end{pmatrix}$ и $B=\begin{pmatrix}1&2\\3&4\\5&6\end{pmatrix}$. Можно ли назвать их одинаковыми по форме? Что нужно указать, чтобы однозначно описать каждую таблицу? Запишите свои версии». | Сравнивают записи, формулируют: «У первой 2 строки и 3 столбца, у второй 3 строки и 2 столбца; нужно указать размер и элементы». |
2 мин | «Сформулируйте цель урока. Какие вопросы нужно решить? Верно ли, что мы должны научиться: 1) обозначать матрицу; 2) находить её размер и элементы; 3) выполнять хотя бы одно действие с матрицами? Предложите порядок исследования». | Формулируют цель: «Научиться читать и составлять матрицы и складывать матрицы одинакового размера»; предлагают план из трёх шагов. |
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Проблема поставлена: нужно превратить таблицу в строгий математический объект. Дальше мы сами выведем определения и проверим их на примерах».
Этап 4. Открытие нового знания (10 мин)
Цель этапа: вывести определения матрицы, её размера, элемента и правила сложения матриц.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
4 мин | «Запишем: матрица — это прямоугольная таблица элементов, расположенных по строкам и столбцам. Матрицу обозначают заглавной буквой, например $A=(a_{ij})$. Число строк записывают первым, число столбцов — вторым: матрица размера $m\times n$ имеет $m$ строк и $n$ столбцов. Рассмотрите $A=\begin{pmatrix}2&-1&0\\3&4&5\end{pmatrix}$. Каков её размер? Чему равен $a_{23}$?» | Записывают определение, отвечают: «Размер $2\times3$, $a_{23}=5$»; выделяют второй ряд и третий элемент. |
3 мин | «Работа в парах. Каждой паре карточка с матрицами. За две минуты определите размеры и назовите указанные элементы. Обязательно проговаривайте: сначала строка, затем столбец. После этого один участник объясняет, второй проверяет по записи партнёра». | В парах определяют размеры матриц, находят элементы, сверяют порядок индексов; сообщают ответы: «$a_{12}$ — первая строка, второй столбец». |
3 мин | «Теперь исследуем сложение. Возьмём $A=\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}$ и $B=\begin{pmatrix}5&1\\-2&3\end{pmatrix}$. Складываем соответствующие элементы: $1+5$, $2+1$, $3+(-2)$, $4+3$. Какое условие необходимо? Сформулируйте правило». | Выполняют поэлементное сложение, получают $\begin{pmatrix}6&3\\1&7\end{pmatrix}$; формулируют: «Складывать можно только матрицы одинакового размера, складывая соответствующие элементы». |
Запись в тетрадях
- Матрица — прямоугольная таблица чисел, расположенных в строках и столбцах.
- Размер матрицы $m\times n$: $m$ — число строк, $n$ — число столбцов.
- Элемент $a_{ij}$ находится на пересечении $i$-й строки и $j$-го столбца.
- Матрицы одинакового размера складывают поэлементно.
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Мы получили определения и правило действия. Теперь проверим их сначала вместе, а затем каждый самостоятельно применит алгоритм».
Этап 5. Первичное закрепление (7 мин)
Цель этапа: закрепить алгоритмы определения размера, поиска элементов и сложения матриц с проговариванием действий.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | «Решаем вместе. Дана матрица $C=\begin{pmatrix}7&0&-3\\2&5&1\\4&-1&6\end{pmatrix}$. Определите размер, найдите $c_{13}$ и $c_{32}$. Проговаривайте каждый шаг, а я фиксирую его на доске». | Называют: «Размер $3\times3$; $c_{13}=-3$; $c_{32}=-1$». Объясняют, как индексы задают строку и столбец. |
2 мин | «Выполните взаимопроверку в парах. Найдите ошибку в записи: “Матрица $D$ имеет размер $2\times3$, потому что в ней три строки и две колонки”. Обсудите, что нужно исправить, и запишите корректную формулировку». | Обсуждают в парах, исправляют: «Если две строки и три столбца, размер равен $2\times3$»; отмечают ошибку в порядке подсчёта. |
2 мин | «Вычислите $\begin{pmatrix}2&-1\\0&4\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}3&5\\-2&1\end{pmatrix}$. До начала вычислений назовите условие выполнения действия и проговорите, какие элементы складываются». | Проверяют одинаковый размер, считают поэлементно и получают $\begin{pmatrix}5&4\\-2&5\end{pmatrix}$. |
Эталон решения
Матрицы имеют одинаковый размер $2\times2$, поэтому сложение допустимо. Складываем соответствующие элементы: $2+3=5$, $-1+5=4$, $0+(-2)=-2$, $4+1=5$. Ответ: $\begin{pmatrix}5&4\\-2&5\end{pmatrix}$.
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Мы проговорили алгоритм вслух и нашли типичную ошибку — перестановку числа строк и столбцов. Теперь каждый проверит, насколько уверенно выполняет действия без подсказки».
Этап 6. Самостоятельная работа с самопроверкой (10 мин)
Цель этапа: диагностировать индивидуальное освоение нового материала и научить учащихся выполнять самоконтроль.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | «Сейчас выполняете работу индивидуально. На листе три задания: определить размер матрицы, найти два элемента и сложить две матрицы. Сначала внимательно проверьте размеры, затем переходите к вычислениям. Можно выбрать базовый или повышенный вариант, если вы готовы к дополнительному условию». | Выбирают вариант, подписывают лист и читают условия. |
6 мин | «Выполните задания: 1) определите размер $A=\begin{pmatrix}1&4&0\\-2&3&5\end{pmatrix}$; 2) найдите $a_{12}$ и $a_{21}$; 3) вычислите $\begin{pmatrix}1&2\\3&0\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}-4&5\\2&7\end{pmatrix}$. Повышенный вариант: составьте матрицу размера $2\times3$, у которой $a_{ij}=i-j$». | Индивидуально решают задания, записывают размер $2\times3$, элементы $4$ и $-2$, сумму $\begin{pmatrix}-3&7\\5&7\end{pmatrix}$; желающие составляют матрицу по формуле. |
3 мин | «Откройте эталон на экране и проведите самопроверку. За каждый верный пункт поставьте себе один балл, ошибку подчеркните и рядом запишите, на каком шаге она возникла: размер, индекс или вычисление. Если получили не тот результат, исправьте решение, а не только ответ». | Сверяют решение с эталоном, считают баллы, исправляют ошибки и отмечают затруднение в листе самооценки. |
Эталон решения
1) В матрице $A$ две строки и три столбца, поэтому её размер $2\times3$. 2) $a_{12}=4$, $a_{21}=-2$. 3) $\begin{pmatrix}1&2\\3&0\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}-4&5\\2&7\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-3&7\\5&7\end{pmatrix}$. Для повышенного варианта: $a_{11}=0$, $a_{12}=-1$, $a_{13}=-2$, $a_{21}=1$, $a_{22}=0$, $a_{23}=-1$, поэтому матрица равна $\begin{pmatrix}0&-1&-2\\1&0&-1\end{pmatrix}$.
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Самостоятельная работа показала, что основная трудность связана не с вычислениями, а с точным чтением индексов. На завершающем этапе сформулируем общий алгоритм и определим, что нужно закрепить дома».
Этап 7. Рефлексия и домашнее задание (5 мин)
Цель этапа: обобщить новое знание, оценить продвижение учащихся и дать дифференцированное домашнее задание.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | «Заполните “Билет на выход”. Ответьте на три вопроса: что такое матрица; как определить элемент $a_{ij}$; при каком условии матрицы можно сложить? Затем покажите цвет карточки: зелёная — могу объяснить однокласснику, жёлтая — нужна ещё тренировка, красная — требуется разбор с учителем». | Письменно отвечают на вопросы, выбирают цвет самооценки и кратко объясняют свой выбор. |
1 мин | «Сформулируйте одним предложением, зачем матрицы нужны в математике и практике. Подумайте о таблицах данных, изображениях, системах уравнений или программировании». | Формулируют ответы: «Матрица компактно хранит данные», «матрицы позволяют выполнять операции над таблицами чисел». |
2 мин | «Запишите домашнее задание с выбором уровня. Базовый уровень обязателен для всех, средний и продвинутый выбираются с учётом вашей уверенности. Перед уходом проверьте, что в записи есть определения, алгоритм сложения и выбранный уровень». | Записывают домашнее задание, задают уточняющие вопросы, сдают билеты на выход. |
Запись в тетрадях
Алгоритм сложения матриц: 1) проверить, что размеры матриц совпадают; 2) сложить элементы, стоящие на одинаковых позициях; 3) записать матрицу того же размера; 4) проверить вычисления.
Критерии оценивания практической работы
- «5» — верно выполнены все три обязательных задания, корректно определён размер матрицы, индексы прочитаны без ошибок, сложение выполнено поэлементно; повышенное задание решено верно.
- «4» — верно выполнены два обязательных задания и допущена одна неточность в размере, индексе или вычислении, исправленная при самопроверке.
- «3» — выполнено не менее двух базовых действий при понимании определения матрицы, но допущены ошибки в порядке индексов или сложении.
- Оценка может быть дополнена самооценкой: учащийся указывает конкретный шаг алгоритма, который требует дополнительной тренировки.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Что такое матрица и чем её размер отличается от количества элементов? | Проверка осознания основного определения и различения числа строк, столбцов и элементов. |
Как определить элемент $a_{ij}$? | Выявление понимания порядка индексов и возможных ошибок при чтении матрицы. |
Какое условие необходимо для сложения двух матриц? | Проверка усвоения условия допустимости операции. |
На каком шаге самостоятельной работы возникло затруднение? | Выявление индивидуальных точек затруднения для последующей коррекции. |
Завершающее слово учителя
«Сегодня мы познакомились с матрицей как с прямоугольной таблицей чисел и научились читать её размер и элементы. Особенно внимательно нужно относиться к индексам: первый указывает строку, второй — столбец. Мы также установили, что складывать можно только матрицы одинакового размера, причём поэлементно. На следующем уроке продолжим исследовать операции над матрицами и обсудим их свойства. Возьмите с собой вопросы, которые появились при выполнении домашнего задания».
Домашнее задание
Уровень | Что задать | Зачем |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | Выполнить 4 задания: определить размеры двух матриц, найти указанные элементы в двух матрицах и сложить две пары матриц одинакового размера. | Закрепить определения матрицы, размера, элемента и алгоритм поэлементного сложения; при проверке обратить внимание на порядок индексов и арифметические знаки. |
Средний (повышающий) | Решить 3 задания, в которых требуется определить, можно ли сложить данные пары матриц, обосновать ответ и выполнить сложение там, где оно допустимо; составить одну матрицу размера $3\times2$ по формуле для её элементов. | Научиться проверять условие применимости операции и переходить от формулы элемента к табличной записи. |
Продвинутый (дополнительный) | Описать матрицей данные из реальной ситуации: например, количество двух видов товаров в трёх магазинах за один день. Указать размер матрицы, смысл каждого элемента и составить сумму с аналогичной матрицей за другой день. | Развивать функциональную грамотность, моделирование и понимание матрицы как способа представления данных. |
