Множество действительных чисел. Многочлены. Рациональные уравнения и неравенства. Системы линейных уравнений
Цели и задачи
- Цель урока по SMART: к концу урока систематизировать представления о действительных числах, многочленах, рациональных уравнениях и системах линейных уравнений и применить их для решения комплексной задачи с обязательной проверкой области допустимых значений и результата.
- Уточнить структуру множества действительных чисел и связь между натуральными, целыми, рациональными и иррациональными числами.
- Научиться распознавать многочлен, выполнять его преобразования и использовать разложение на множители при решении рациональных уравнений и неравенств.
- Закрепить алгоритмы решения систем линейных уравнений и выбора рационального способа преобразования.
- Развивать умение обосновывать ход решения, обнаруживать посторонние корни и оценивать корректность математической модели.
Планируемые результаты
Личностные
- Осознают ценность точного математического языка для дальнейшего обучения и профессиональной деятельности.
- Проявляют ответственное отношение к проверке промежуточных и итоговых результатов.
- Развивают готовность самостоятельно выбирать способ решения и аргументировать собственную позицию.
- Понимают, что ошибка в области допустимых значений может изменить смысл всего решения.
Метапредметные
- Выделяют существенные условия задачи и преобразуют текстовую ситуацию в математическую модель.
- Планируют последовательность действий, сопоставляют полученный результат с условием и корректируют решение.
- Работают с символической информацией, таблицами, графическими и алгебраическими представлениями.
- Формулируют вопросы, участвуют в обсуждении способов решения и приводят доказательные аргументы.
Предметные
- Знать различия между рациональными и иррациональными действительными числами, понимать включение множеств чисел.
- Уметь распознавать многочлен, приводить подобные слагаемые, раскрывать скобки и раскладывать выражение на множители.
- Уметь решать рациональные уравнения и неравенства с учётом области допустимых значений.
- Уметь решать системы двух линейных уравнений способом подстановки, сложения или графически.
- Владеть навыком проверки корней и записи ответа с использованием математических обозначений.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Определяют личную значимость систематизации алгебраических методов для подготовки к профильному обучению.
- Проявляют самостоятельность при выборе способа решения и готовность отвечать за его обоснование.
- Осознают необходимость аккуратной записи как условия математической точности.
- Оценивают собственную уверенность в работе с рациональными выражениями и планируют дальнейшее повторение.
Регулятивные УУД
- Формулируют цель работы и составляют алгоритм решения комплексного задания.
- Контролируют наличие ограничений на переменную до выполнения преобразований.
- Сверяют решение с эталоном, находят место ошибки и исправляют его.
- Оценивают достигнутый результат по заранее заданным критериям.
Познавательные УУД
- Классифицируют числа по принадлежности к числовым множествам.
- Выделяют структуру многочлена и устанавливают связь между разложением на множители и нулями выражения.
- Моделируют рациональное уравнение и систему линейных уравнений.
- Анализируют равносильность преобразований и используют проверку как способ подтверждения вывода.
Коммуникативные УУД
- Объясняют партнёру выбранный алгоритм с использованием математической терминологии.
- Сравнивают способы решения и аргументированно выбирают более рациональный.
- Задают уточняющие вопросы о допустимых значениях и причинах появления посторонних корней.
- Согласовывают общий ответ группы и представляют его классу.
Подготовка учителя к уроку
- Подготовить презентацию или запись на доске с диаграммой включения числовых множеств: N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R.
- Распечатать диагностические карточки трёх уровней — по одной на каждого ученика, всего по числу учащихся в классе.
- Подготовить четыре карточки для групповой работы с заданиями на многочлены, рациональное уравнение, рациональное неравенство и систему.
- Распечатать листы с эталонами решений — по одному на группу для этапа самопроверки.
- Подготовить стикеры трёх цветов для приёма «Светофор» — по одному комплекту на ученика.
- Вывести на доску или экран памятку: «ОДЗ → преобразование → решение → проверка → ответ».
- Подготовить проектор, компьютер или интерактивную доску, маркеры и таймер.
- Заранее записать на доске проблемное выражение \(\frac{x^2-9}{x-3}=0\) и систему \(\begin{cases}2x+y=5\x-y=1\end{cases}\).
Ход урока
Этап 1. Организационный момент и мотивация (3 мин)
Цель этапа: включить учащихся в исследовательскую деятельность и обозначить проблему проверки равносильности преобразований.
Время | Действие учителя | Действие учеников | |||
|---|---|---|---|---|---|
1 мин | Учитель приветствует класс и показывает на доске выражение \(\frac{x^2-9}{x-3}=0\). «Здравствуйте, ребята. Сегодня мы будем работать не с одной изолированной формулой, а с цепочкой алгебраических идей. Посмотрите на выражение и пока не решайте его. Какое преобразование кажется очевидным?» | Записывают выражение в тетрадь, рассматривают его структуру, предполагают: «Можно разложить числитель на множители и сократить на \(x-3\)». | 2 мин | Учитель продолжает: «А теперь главный вопрос: всегда ли такое сокращение сохраняет множество решений? Что произойдёт при \(x=3\)? Сегодня мы проверим, как связаны числа, многочлены, рациональные выражения и системы уравнений. В конце вернёмся к исходной записи и дадим строгий ответ». | Формулируют предположение: «При \(x=3\) знаменатель равен нулю, поэтому это значение нельзя включать в ОДЗ». Записывают проблемный вопрос урока. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Мы увидели, что внешне простое преобразование требует проверки допустимых значений. Теперь восстановим опорные знания о числовых множествах и алгебраических выражениях».»
Этап 2. Актуализация знаний. Приём «Подумай — обсуди в паре — поделись» (6 мин)
Цель этапа: актуализировать классификацию действительных чисел и основные операции с многочленами.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель показывает числа \(-3\), \(0\), \(\frac{5}{7}\), \(\sqrt{2}\), \(\pi\), \(\sqrt{49}\). «Распределите числа по множествам. Работайте сначала индивидуально, затем сравните записи с соседом. Не забывайте: одно число может принадлежать нескольким множествам». | Записывают принадлежность чисел: \(-3\in Z,Q,R\), \(0\in Z,Q,R\), \(\frac57\in Q,R\), \(\sqrt2\in R\setminus Q\), \(\pi\in R\setminus Q\), \(\sqrt{49}=7\in N,Z,Q,R\). Обсуждают ответы в парах. |
2 мин | Учитель просит две пары представить результат: «Почему \(\sqrt2\) не является рациональным числом? Как связаны рациональные и иррациональные числа с множеством действительных?» | Отвечают: «Рациональное число представляется дробью \(\frac pq\), где \(q e0\); \(\sqrt2\) нельзя представить конечной или периодической десятичной дробью». Формулируют: «Действительные числа состоят из рациональных и иррациональных». |
2 мин | Учитель записывает многочлены \(3x^2-5x+2\) и \(x^2-9\). «Назовите степень, коэффициенты и возможное разложение второго многочлена. Какой приём позволит связать его с рациональным выражением?» | Определяют степень первого многочлена как вторую, называют коэффициенты и свободный член; раскладывают: \(x^2-9=(x-3)(x+3)\); объясняют, что разложение на множители помогает исследовать нули выражения. |
Запись в тетрадях
\(R=Q\cup (R\setminus Q)\); рациональные числа имеют вид \(\frac pq\), \(q
e0\). Для рационального выражения сначала определяют ОДЗ, затем выполняют преобразования и проверяют найденные значения.
e0\). Для рационального выражения сначала определяют ОДЗ, затем выполняют преобразования и проверяют найденные значения.
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Мы вспомнили структуру множества действительных чисел и увидели, что разложение многочлена на множители помогает решать более сложные выражения. Теперь выясним, какой общий алгоритм объединяет уравнения, неравенства и системы».»
Этап 3. Постановка проблемы и целеполагание (4 мин)
Цель этапа: вывести учащихся на самостоятельную формулировку алгоритма безопасного решения рациональных задач.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель возвращается к выражению \(\frac{x^2-9}{x-3}=0\). «Решите его двумя способами на черновике: сначала непосредственно через определение нуля дроби, затем после разложения числителя. Сравните ответы. Где может возникнуть расхождение?» | Решают: ОДЗ \(x e3\); числитель равен нулю при \(x=\pm3\), но \(x=3\) исключается, поэтому ответ \(x=-3\). После сокращения получают \(x+3=0\), то есть \(x=-3\), и объясняют необходимость ОДЗ. |
2 мин | Учитель задаёт вопросы: «Какие действия должны быть обязательными в любой рациональной задаче? Как понять, что преобразование не добавило и не потеряло решения? Сформулируйте цель урока самостоятельно». | Предлагают алгоритм: «Записать ОДЗ, преобразовать, решить, проверить найденные значения и записать ответ». Формулируют цель: «Научиться применять единый алгоритм к рациональным уравнениям и неравенствам, используя многочлены и системы». |
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Цель сформулирована: не просто получить число, а доказать корректность решения. Перейдём к исследованию разных типов заданий и проверим, как работает общий алгоритм».»
Этап 4. Открытие нового знания. Групповое исследование (10 мин)
Цель этапа: самостоятельно установить связь между преобразованием многочленов, ОДЗ, рациональными неравенствами и системами линейных уравнений.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель делит класс на четыре группы и раздаёт карточки. «Каждая группа исследует один тип задачи. На листе зафиксируйте не только ответ, но и последовательность действий. Через несколько минут представитель объяснит классу, какое правило оказалось ключевым». | Распределяют роли: вычислитель, проверяющий ОДЗ, оформитель, докладчик. Читают условие карточки и составляют план решения. |
3 мин | Учитель сопровождает группы вопросами. Группе 1: «Как разложить \(x^2-5x+6\)?» Группе 2: «Какие значения исключаются из ОДЗ в \(\frac{x+1}{x-2}=\frac{3}{x-2}\)?» Группе 3: «Как знаки множителей определяют промежутки?» Группе 4: «Какой способ решения системы будет самым коротким?» | Группа 1 решает уравнение \(x^2-5x+6=0\). Группа 2 записывает \(x e2\), умножает на \(x-2\) с последующей проверкой. Группа 3 строит метод интервалов для \(\frac{(x-1)(x+2)}{x-3}\ge0\). Группа 4 решает систему \(\begin{cases}2x+y=5\x-y=1\end{cases}\) способом сложения или подстановки. |
3 мин | Учитель организует краткие выступления: «Представьте не только результат, но и риск ошибки. Что произойдёт, если забыть ОДЗ? Почему в неравенстве важны точки, где числитель равен нулю, и точки разрыва?» | Представители групп сообщают: «При умножении на знаменатель нельзя включать запрещённые значения»; «в неравенстве нули числителя могут входить, а нули знаменателя не входят»; «система требует выполнения обоих уравнений одновременно». Остальные записывают уточнения. |
2 мин | Учитель формулирует общий вывод на доске: «ОДЗ → разложение или приведение к многочлену → решение → проверка → ответ». «Сравните этот алгоритм с вашими выводами и назовите шаг, который нельзя пропускать ни при каком способе». | Называют обязательными ОДЗ и проверку; дополняют общий алгоритм в тетради. |
Эталон решения
Для системы: \(\begin{cases}2x+y=5\x-y=1\end{cases}\). Складываем уравнения: \(3x=6\), откуда \(x=2\). Подставляем во второе уравнение: \(2-y=1\), поэтому \(y=1\). Ответ: \((2;1)\). Для неравенства \(\frac{(x-1)(x+2)}{x-3}\ge0\): критические точки \(-2,1,3\); точка \(3\) исключается. Знаки на промежутках дают ответ \([-2;1]\cup(3;+\infty)\).
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Группы показали, что разные задания подчиняются одной логике: сначала ограничения, затем преобразование и только после этого вывод. Теперь проверим, насколько уверенно каждый из вас применяет этот алгоритм самостоятельно».»
Этап 5. Первичное закрепление (7 мин)
Цель этапа: закрепить алгоритмы решения при проговаривании ключевых шагов.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель предлагает приём «Математический комментатор»: «Один ученик у доски решает уравнение \(\frac{x^2-4}{x-2}=0\), а каждый шаг сопровождает объяснением. Класс проверяет не только вычисления, но и логику». | Ученик у доски записывает ОДЗ \(x e2\), раскладывает \(x^2-4=(x-2)(x+2)\), получает \(x+2=0\), записывает \(x=-2\) и выполняет проверку. Класс отмечает: «Ответ не нарушает ОДЗ». |
2 мин | Учитель раздаёт короткое задание: «Решите систему \(\begin{cases}3x-2y=4\x+y=3\end{cases}\). После решения обменяйтесь тетрадями и проверьте подстановкой». | Решают систему: из второго уравнения \(y=3-x\); подставляют: \(3x-2(3-x)=4\), \(5x=10\), \(x=2\), \(y=1\). Взаимно проверяют подстановкой. |
2 мин | Учитель просит оценить решение по трём вопросам: «Записано ли ОДЗ? Выполнены ли равносильные преобразования? Есть ли проверка? Поднимите зелёную карточку, если все пункты выполнены, жёлтую — если нужна коррекция». | Проверяют работу по чек-листу, поднимают карточку, исправляют пропущенный шаг или неточность в записи ответа. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Мы проговорили алгоритм и применили его к уравнению и системе. Далее каждый выполнит самостоятельную работу, где важно выбрать способ решения без подсказки группы».»
Этап 6. Самостоятельная работа с самопроверкой и дифференциацией (10 мин)
Цель этапа: диагностировать индивидуальное владение алгоритмами и обеспечить самокоррекцию.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
6 мин | Учитель раздаёт карточки трёх уровней. «Выберите уровень, соответствующий вашей готовности. Минимум для всех — первое задание; второе и третье можно выполнить по выбору. Записывайте ОДЗ, преобразования и проверку». Базовый вариант: решить \(\frac{x^2-1}{x-1}=0\) и систему \(\begin{cases}x+y=7\x-y=1\end{cases}\). Повышенный вариант: решить неравенство \(\frac{(x-2)(x+1)}{x-4}<0\). | Индивидуально решают выбранные задания. Для первого уравнения записывают \(x e1\), получают \(x+1=0\), ответ \(-1\). Для системы получают \(x=4,y=3\). Для неравенства отмечают точки \(-1,2,4\) и выбирают интервалы с отрицательным знаком. |
2 мин | Учитель открывает на экране эталон: «Сверьте решение построчно. Не стирайте ошибку: обведите место, где возникло расхождение, и рядом запишите исправленный шаг». | Сравнивают собственные записи с эталоном, отмечают совпадения и ошибки, формулируют причину: «Не записал ОДЗ», «не проверил знак на промежутке», «ошибся при подстановке». |
2 мин | Учитель проводит краткую коррекцию: «Поднимите руку, кому нужна помощь с ОДЗ; кому — с методом интервалов; кому — с системой. Выберите одно объяснение партнёру, но окончательную запись исправьте самостоятельно». | Объединяются в пары по типу затруднения, объясняют друг другу конкретный шаг, вносят исправления и ставят рядом знак самопроверки. |
Эталон решения
\(\frac{x^2-1}{x-1}=0\). ОДЗ: \(x
e1\). Разложение: \(x^2-1=(x-1)(x+1)\). После сокращения при условии ОДЗ: \(x+1=0\), \(x=-1\). Проверка: \(\frac{(-1)^2-1}{-1-1}=0\). Ответ: \(x=-1\). Система \(\begin{cases}x+y=7\x-y=1\end{cases}\): сложение даёт \(2x=8\), поэтому \(x=4\), затем \(y=3\).
e1\). Разложение: \(x^2-1=(x-1)(x+1)\). После сокращения при условии ОДЗ: \(x+1=0\), \(x=-1\). Проверка: \(\frac{(-1)^2-1}{-1-1}=0\). Ответ: \(x=-1\). Система \(\begin{cases}x+y=7\x-y=1\end{cases}\): сложение даёт \(2x=8\), поэтому \(x=4\), затем \(y=3\).
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Самостоятельная работа показала, что вычислительные действия становятся надёжными только при контроле условий. Осталось связать сегодняшние идеи в единую систему и определить, что нужно повторить дома».»
Этап 7. Рефлексия и домашнее задание (5 мин)
Цель этапа: осмыслить способы деятельности, выявить индивидуальные затруднения и зафиксировать дальнейшую работу.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель предлагает «Одноминутку»: «Запишите три продолжения фраз: “Сегодня я понял…”, “При решении рационального уравнения нельзя забывать…”, “Мне нужно повторить…”. Затем отметьте цветом свою готовность: зелёный, жёлтый или красный». | Пишут три фразы, отмечают уровень готовности, формулируют конкретное затруднение, например: «Нужно повторить метод интервалов». |
1 мин | Учитель задаёт контрольные вопросы: «Почему значение, обращающее знаменатель в ноль, не может быть корнем? Чем ноль многочлена отличается от запрещённого значения? Как проверить решение системы?» | Отвечают: «Знаменатель не может быть нулём»; «ноль числителя может входить в ответ, а ноль знаменателя исключается»; «нужно подставить пару значений в оба уравнения». |
2 мин | Учитель сообщает домашнее задание и критерии: «Выберите обязательный уровень, затем при желании добавьте повышающий или дополнительный. В каждом решении сохраняйте полную цепочку: ОДЗ, преобразования, проверка, ответ». | Записывают домашнее задание, задают уточняющие вопросы о формате решения и отмечают выбранный уровень. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Сегодня мы связали действительные числа, многочлены, рациональные выражения и системы в единую систему действий. На следующем уроке продолжим исследовать преобразования и уделим больше внимания графической интерпретации уравнений и неравенств».»
Критерии оценивания практической работы
- «5» — верно выполнены все обязательные задания, записаны ОДЗ и проверка, преобразования обоснованы, ответ оформлен с использованием математических обозначений; повышенное задание решено без существенных ошибок.
- «4» — верно выполнены обязательные задания, но допущена одна неточность в оформлении или промежуточных вычислениях, не повлиявшая на итоговый ответ.
- «3» — правильно выполнено хотя бы одно обязательное задание и продемонстрировано понимание ОДЗ или алгоритма решения, но допущены ошибки в преобразованиях, проверке или записи ответа.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Какой шаг алгоритма решения рационального уравнения является обязательным до преобразований? | Выявление понимания роли области допустимых значений. |
В каком месте самостоятельной работы возникло затруднение? | Диагностика точек затруднения в преобразовании многочлена, методе интервалов или решении системы. |
Как вы проверили полученный ответ? | Проверка сформированности навыка математического контроля. |
Какой уровень домашнего задания вы выбираете и почему? | Развитие самооценки, ответственности и осознанной учебной мотивации. |
Завершающее слово учителя
«Сегодня мы увидели, что разные алгебраические задания объединяет общий исследовательский алгоритм: определить ограничения, преобразовать выражение, решить и проверить результат. Самая опасная ошибка — механически сократить множитель и забыть, при каких значениях выражение вообще имеет смысл. Системы линейных уравнений требуют дополнительной проверки сразу в двух уравнениях. Дома закрепите этот алгоритм, а на следующем уроке мы рассмотрим более сложные преобразования и связь уравнений с графиками».»
Домашнее задание
Уровень | Что задать | Зачем |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | Решить 3 рациональных уравнения, в которых требуется разложить многочлен на множители и учесть одно или два ограничения на переменную; решить 2 системы двух линейных уравнений разными способами. В каждом задании записать ОДЗ и выполнить проверку. | Закрепляет общий алгоритм и точность преобразований; при проверке обратить внимание на ОДЗ, равносильность действий и подстановку ответа. |
Средний (повышающий) | Решить 2 рациональных неравенства методом интервалов и 1 смешанную задачу, в которой после разложения многочлена нужно сравнить полученные значения с ограничениями. Оформить числовую прямую. | Развивает анализ знаков и умение представлять множество решений на числовой прямой; проверить правильность включения нулей числителя и исключения нулей знаменателя. |
Продвинутый (дополнительный) | Составить и решить собственную задачу из реального контекста, приводящую к системе двух линейных уравнений или рациональному уравнению. Описать, какие значения переменной имеют смысл в контексте, и обосновать ответ. | Формирует математическое моделирование и оценку результата; при проверке обратить внимание на корректность условий, смысл ОДЗ и полноту аргументации. |
Контрольные вопросы перед выходом из класса: «Какие числа называют действительными? Что такое ОДЗ рационального выражения? Почему сокращение множителя требует проверки? Как проверить пару чисел, найденную при решении системы?»
