Многочлены с целыми коэффициентами. Теорема Виета
Цели и задачи
- Цель урока по SMART: к концу урока научиться применять теорему Виета для нахождения корней квадратного уравнения и составления квадратного уравнения по заданным корням, выполнив не менее 4 из 5 практических заданий без существенных ошибок.
- Сформировать понимание связи между коэффициентами квадратного многочлена с целыми коэффициентами и его корнями.
- Научиться быстро проверять найденные корни квадратного уравнения по сумме и произведению корней.
- Развивать умение выдвигать и проверять гипотезы при исследовании квадратных уравнений.
- Воспитывать точность алгебраической записи, самостоятельность и готовность аргументировать выбранный способ решения.
Планируемые результаты
Личностные
- Осознают практическую ценность рациональных способов решения уравнений для дальнейшего изучения алгебры и подготовки к профильным задачам.
- Проявляют ответственность за результат индивидуальной и парной работы.
- Понимают значение проверки решения и готовы корректировать ошибочный ход рассуждений.
- Развивают учебную мотивацию через самостоятельное открытие математической закономерности.
Метапредметные
- Формулируют гипотезу на основе анализа нескольких квадратных уравнений и проверяют её вычислением.
- Извлекают информацию из математической записи, структурируют её в таблице и используют для решения практической задачи.
- Планируют последовательность решения, осуществляют самопроверку и оценивают соответствие ответа условию.
- Аргументированно представляют решение и сравнивают эффективность дискриминанта и теоремы Виета.
Предметные
- Знать формулировку теоремы Виета для приведённого квадратного уравнения x² + px + q = 0.
- Понимать связь корней x₁ и x₂ с коэффициентами: x₁ + x₂ = −p, x₁x₂ = q.
- Уметь применять теорему Виета для подбора целых корней квадратного уравнения.
- Уметь составлять приведённое квадратное уравнение по заданным корням.
- Уметь использовать обратную теорему Виета для проверки принадлежности пары чисел корням уравнения.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Определяют личный уровень готовности к применению теоремы Виета и выбирают посильный способ работы.
- Осознают необходимость внимательной проверки знаков при работе с коэффициентами.
- Проявляют самостоятельность при выборе рационального способа решения.
Регулятивные УУД
- Совместно формулируют цель исследования и планируют шаги её достижения.
- Сверяют промежуточный результат с условием и эталоном.
- Обнаруживают ошибку в знаке или произведении и исправляют её.
- Оценивают собственное продвижение по листу самооценки.
Познавательные УУД
- Сравнивают несколько уравнений и выявляют устойчивую зависимость между корнями и коэффициентами.
- Моделируют квадратный многочлен через произведение (x − x₁)(x − x₂).
- Классифицируют задания по способу решения.
- Используют таблицу возможных делителей свободного члена для поиска целых корней.
Коммуникативные УУД
- Обсуждают гипотезу в парах и формулируют общий вывод.
- Объясняют партнёру последовательность подбора корней.
- Задают уточняющие вопросы о знаках и условиях применимости теоремы.
- Аргументированно оценивают предложенный способ решения.
Подготовка учителя к уроку
- Подготовить презентацию или запись на доске с пятью квадратными уравнениями для этапа исследования: x² − 5x + 6 = 0, x² + x − 6 = 0, x² − 7x + 12 = 0, x² + 5x + 6 = 0, x² − 2x − 8 = 0.
- Распечатать индивидуальные карточки трёх уровней — по одной на каждого ученика, всего по числу учеников класса.
- Распечатать лист самооценки с пунктами «нахожу сумму корней», «нахожу произведение корней», «составляю уравнение по корням», «проверяю ответ».
- Подготовить карточки для парной работы с заданиями на подбор целых делителей свободного члена — по одной карточке на пару.
- Вывести на доску памятку: x₁ + x₂ = −p; x₁x₂ = q; (x − x₁)(x − x₂) = 0.
- Подготовить эталон самостоятельной работы для поэтапной самопроверки.
- Подготовить маркеры двух цветов и стикеры для фиксации гипотез.
- Обеспечить наличие доски или проектора; при использовании цифровой доски заранее разместить поля «Гипотеза», «Проверка», «Вывод».
Ход урока
Этап 1. Организационный момент и мотивация (3 мин)
Цель этапа: включить учащихся в исследовательскую работу и показать практическую ценность рационального способа решения.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель приветствует класс и говорит: "Здравствуйте, ребята. Сегодня мы будем не просто применять готовую формулу, а сами восстановим закономерность между корнями квадратного уравнения и его коэффициентами. Откройте тетради, запишите дату и тему урока. Работать будем преимущественно с заданиями, а теорию сформулируем по результатам наблюдений." | Записывают дату и тему урока, готовят тетради и ручки. |
2 мин | Учитель показывает на доске уравнение x² − 7x + 12 = 0 и спрашивает: "Кто может назвать корни быстрее, чем вычислить дискриминант? Какие два целых числа имеют сумму 7 и произведение 12? Почему такой способ может быть удобным?" | Предлагают числа 3 и 4, проверяют: 3 + 4 = 7, 3 · 4 = 12; формулируют предположение: "Корни можно искать по коэффициентам". |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы увидели, что иногда корни можно найти подбором по двум условиям. Теперь проверим, случайна ли эта связь, и выясним, как сформулировать её точно."
Этап 2. Актуализация знаний (5 мин)
Цель этапа: актуализировать знания о квадратном уравнении, его корнях и разложении квадратного трёхчлена на множители.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель говорит: "Вспомним базовые понятия. Что называют квадратным уравнением? Как связаны корни уравнения и разложение квадратного многочлена? Запишите общий вид ax² + bx + c = 0 и назовите условие a ≠ 0." | Записывают ax² + bx + c = 0, отвечают: "a, b, c — коэффициенты, a ≠ 0; корни превращают левую часть в ноль". |
3 мин | Учитель предлагает устно разобрать: "Разложите x² − 5x + 6 на множители и назовите корни уравнения x² − 5x + 6 = 0. Затем разложите x² + x − 6. Обязательно объясняйте, по каким двум числам вы рассуждали." | В парах находят: x² − 5x + 6 = (x − 2)(x − 3), корни 2 и 3; x² + x − 6 = (x − 2)(x + 3), корни 2 и −3; проговаривают сумму и произведение корней. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы умеем раскладывать некоторые многочлены на множители и видим, что знаки корней связаны со знаком коэффициента при x. Зафиксируем затруднение: как доказать эту связь для любого приведённого квадратного уравнения?"
Этап 3. Постановка проблемы и целеполагание (4 мин)
Цель этапа: сформулировать проблему урока и совместно определить план открытия нового знания.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель записывает на доске уравнение x² + px + q = 0 и обращается к классу: "Представим, что корни этого уравнения — x₁ и x₂. Как можно записать многочлен, если известны его корни? Вспомните связь корня и множителя. Не стремитесь сразу получить готовую формулу — предложите рассуждение." | Предлагают записать многочлен как (x − x₁)(x − x₂), объясняют: при x = x₁ или x = x₂ один множитель равен нулю. |
2 мин | Учитель задаёт план: "Что нам нужно сделать? Сначала раскроем скобки, затем сравним коэффициенты, после этого проверим вывод на конкретных уравнениях. Сформулируйте цель одним предложением." | Формулируют цель: "Вывести связь суммы и произведения корней с коэффициентами и научиться применять её для решения задач". |
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "План исследования определён: модель, сравнение коэффициентов, проверка на практике. Переходим к открытию теоремы и сразу будем закреплять каждый шаг заданиями."
Этап 4. Открытие нового знания через исследование (9 мин)
Цель этапа: вывести теорему Виета и научиться применять её к приведённому квадратному уравнению.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
4 мин | Учитель записывает: "Пусть x₁ и x₂ — корни уравнения x² + px + q = 0. Тогда левая часть раскладывается так: (x − x₁)(x − x₂). Раскроем скобки: x² − (x₁ + x₂)x + x₁x₂. Сравните это выражение с x² + px + q. Какие равенства получаем?" Учитель выделяет коэффициенты разными цветами. | Раскрывают скобки, сравнивают коэффициенты и получают: x₁ + x₂ = −p, x₁x₂ = q. |
2 мин | Учитель формулирует: "Полученная закономерность называется теоремой Виета. Для приведённого квадратного уравнения сумма корней равна коэффициенту при x, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену. Запишите теорему в рамку." | Записывают формулировку и формулы в тетрадь, подчёркивают знак «минус» перед p. |
3 мин | Учитель показывает пример: "Решим уравнение x² − 9x + 20 = 0 без дискриминанта. Нам нужны числа, сумма которых равна 9, а произведение — 20. Это 4 и 5. Значит, x₁ = 4, x₂ = 5. Проверим: 4 + 5 = 9, 4 · 5 = 20." Затем предлагает решить x² + 2x − 15 = 0. | Решают второе уравнение подбором чисел с суммой −2 и произведением −15: x₁ = 3, x₂ = −5; выполняют проверку по обеим формулам. |
Запись в тетрадях
Для уравнения x² + px + q = 0: x₁ + x₂ = −p; x₁x₂ = q. Алгоритм: 1) определить сумму и произведение корней; 2) подобрать пару чисел; 3) записать корни; 4) выполнить проверку.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Теорема открыта и превращена в алгоритм. Теперь проверим её не на одном примере, а на серии уравнений, чтобы научиться быстро видеть подходящую пару корней и не ошибаться в знаках."
Этап 5. Первичное закрепление. Работа в парах (8 мин)
Цель этапа: закрепить алгоритм применения теоремы Виета и развить навык объяснения решения.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель раздаёт каждой паре карточку и говорит: "Работаем приёмом «Подумай — обсуди в паре — поделись». Сначала каждый самостоятельно решает первый пример, затем сравниваете решения. На карточке три уравнения: x² − 11x + 30 = 0; x² + 7x + 10 = 0; x² − x − 12 = 0. Для каждого уравнения запишите сумму и произведение корней." | Индивидуально определяют пары чисел: 5 и 6; −5 и −2; 4 и −3. |
3 мин | Учитель предлагает проверить решения соседней пары: "Обменяйтесь карточками. Не просто поставьте плюс или минус: проверьте сумму, произведение и знаки. Если нашли ошибку, сформулируйте рекомендацию по правилу «Две звезды и пожелание»." | Проверяют три решения по двум критериям, записывают два достоинства и один конкретный совет, например: "Проверь знак суммы корней". |
3 мин | Учитель разбирает типичную ошибку: "Ученик записал для x² + 7x + 10 = 0 корни 5 и 2, потому что их произведение равно 10. Что пропущено? Какие корни должны быть?" | Объясняют: 5 + 2 = 7, а требуется −7; выбирают −5 и −2, проверяют произведение 10. |
Эталон решения
Для x² − x − 12 = 0: x₁ + x₂ = 1, x₁x₂ = −12. Подходящая пара чисел 4 и −3, так как 4 + (−3) = 1 и 4 · (−3) = −12. Следовательно, x₁ = 4, x₂ = −3.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы убедились, что теорема требует одновременной проверки двух условий. Теперь каждый самостоятельно покажет, умеет ли применять алгоритм без подсказки пары."
Этап 6. Самостоятельная работа с самопроверкой (10 мин)
Цель этапа: диагностировать самостоятельное применение теоремы Виета на заданиях базового и повышенного уровня.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель объясняет: "Выберите карточку своего уровня. Уровень 1: решить два уравнения. Уровень 2: решить два уравнения и составить уравнение по корням. Уровень 3: решить уравнение с параметром выбора корней и объяснить способ. Работайте молча, в решении обязательно записывайте сумму и произведение." | Выбирают уровень, фиксируют последовательность действий в черновике. |
6 мин | Учитель раздаёт задания. Уровень 1: x² − 8x + 15 = 0; x² + 3x − 10 = 0. Уровень 2: x² − 6x + 8 = 0; x² + 9x + 20 = 0; составить уравнение с корнями 2 и −7. Уровень 3: найдите все целые значения a, при которых корни уравнения x² − ax + 12 = 0 являются целыми числами. | Самостоятельно решают выбранные задания, записывают проверки. Для уровня 3 перечисляют пары делителей 12 и соответствующие значения a: 7, 8, 13, 14, −7, −8, −13, −14. |
3 мин | Учитель открывает эталон: "Проверьте сначала сумму, затем произведение. Ошибку не зачёркивайте полностью: одной строкой укажите, на каком шаге она возникла, и исправьте решение." | Сверяют решения, отмечают ошибки условными знаками, исправляют вычисления и заполняют лист самооценки. |
Эталон решения
Для уравнения x² − 8x + 15 = 0: x₁ + x₂ = 8, x₁x₂ = 15; подходят 3 и 5, поэтому x₁ = 3, x₂ = 5. Для уравнения x² + 3x − 10 = 0: x₁ + x₂ = −3, x₁x₂ = −10; подходят 2 и −5. Для корней 2 и −7: (x − 2)(x + 7) = x² + 5x − 14, поэтому уравнение имеет вид x² + 5x − 14 = 0.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Самостоятельная работа показала, что вы умеете находить корни и составлять уравнение по корням. Важно помнить: теорема Виета особенно удобна, когда корни целые, но перед окончательной записью всегда проверяйте оба равенства."
Этап 7. Рефлексия и домашнее задание (6 мин)
Цель этапа: осмыслить способ решения, выявить трудности и зафиксировать индивидуальное домашнее задание.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель проводит приём «Одноминутная работа»: "За одну минуту ответьте письменно на три вопроса: какую сумму корней даёт коэффициент p; как проверить пару чисел; когда теорема Виета экономит время? Затем поднимите зелёную карточку, если можете решить приведённое уравнение самостоятельно, жёлтую — если нужна тренировка, красную — если требуется объяснение." | Письменно отвечают, показывают карточки, формулируют: "Сумма равна −p; проверяем сумму и произведение; подбор быстрее дискриминанта при целых корнях". |
3 мин | Учитель сообщает домашнее задание: "Выполните обязательный уровень. Если базовые задания решаются уверенно, добавьте повышающий или дополнительный уровень. Перед выходом ответьте устно: какие два условия должны одновременно выполняться для корней?" | Записывают домашнее задание, отвечают: "Сумма корней равна −p, произведение равно q". |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Сегодня вы сами вывели теорему Виета, проверили её на серии уравнений и увидели, как выбор способа зависит от структуры многочлена. Сохраните алгоритм и обязательно проговаривайте проверку — это надёжная защита от ошибки в знаках."
Критерии оценивания практической работы
- «5» — верно решены все задания выбранного уровня, для каждого уравнения записаны сумма и произведение корней, выполнена проверка; в задании на составление уравнения корректно раскрыты скобки.
- «4» — верно решено большинство заданий, допущена одна вычислительная или знаковая ошибка, которая исправлена при самопроверке; алгоритм применения теоремы понятен.
- «3» — решено не менее половины заданий базового уровня, записана хотя бы одна из связей теоремы Виета, но имеются ошибки в подборе корней или проверке.
- Ниже «3» — ученик не установил связь между коэффициентами и корнями либо не смог применить формулы даже с опорой на памятку; требуется индивидуальная тренировка.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Что нового вы вывели сегодня самостоятельно? | Выявление осознания содержания теоремы Виета, а не только запоминания формулы. |
На каком шаге решения легче всего допустить ошибку? | Выявление точек затруднения: знак суммы, подбор пары или проверка. |
Какое уравнение вы теперь решите теоремой Виета быстрее, чем дискриминантом? | Осознание области рационального применения изученного способа. |
Какой уровень домашнего задания вы выбираете и почему? | Формирование самооценки и ответственности за индивидуальную траекторию работы. |
Завершающее слово учителя
"Сегодня мы увидели, что коэффициенты квадратного уравнения содержат информацию о его корнях. Вы вывели и применили теорему Виета, а не просто получили её в готовом виде. Самая частая ошибка — потеря знака при вычислении суммы корней, поэтому проверяйте и сумму, и произведение. На следующем уроке мы рассмотрим обратную теорему Виета и задачи, где по заданным свойствам корней нужно восстановить уравнение."
Домашнее задание
Уровень | Что задать | Зачем |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | Решить 4 приведённых квадратных уравнения с целыми коэффициентами методом теоремы Виета: два уравнения с положительными корнями и два с корнями разных знаков. Для каждого записать сумму, произведение и проверку. | Закрепляет алгоритм подбора корней и контроль знаков; при проверке обратить внимание на наличие обоих равенств. |
Средний (повышающий) | Решить 3 уравнения и составить 2 приведённых квадратных уравнения по заданным парам корней, включая одну пару с отрицательным корнем. | Формирует переход от анализа коэффициентов к построению многочлена; проверить правильность раскрытия скобок и свободного члена. |
Продвинутый (дополнительный) | Исследовать уравнение x² − ax + 12 = 0: перечислить все целые значения a, при которых оба корня целые, и объяснить решение через пары делителей числа 12. | Развивает исследовательское мышление и умение связывать сумму корней с параметром; проверить полноту перебора пар делителей. |
Контрольные вопросы перед выходом из класса: «Чему равна сумма корней уравнения x² + px + q = 0?», «Чему равно произведение корней?», «Какие два условия нужно проверить для найденной пары чисел?», «Для каких квадратных уравнений теорема Виета особенно удобна?»
