Многочлен от одной переменной. Степень и корни многочлена
Цели и задачи
- Цель по SMART: к концу урока научиться распознавать многочлен от одной переменной, находить его степень и старший коэффициент, а также проверять, является ли заданное число корнем многочлена, выполняя не менее 4 из 5 учебных заданий без существенных ошибок.
- Сформировать представление о многочлене как алгебраическом выражении, состоящем из одночленов, и научиться приводить его к стандартному виду.
- Научиться определять степень многочлена и его старший коэффициент после приведения подобных слагаемых.
- Освоить алгоритм проверки числа на принадлежность множеству корней многочлена через вычисление значения многочлена.
- Развивать умение выдвигать гипотезы, аргументировать выводы и контролировать правильность преобразований; показать связь темы с дальнейшим изучением уравнений и функциями.
Планируемые результаты
Личностные
- Осознают значение алгебраической символики для описания закономерностей и решения задач, связанных с дальнейшим обучением и профессиональной деятельностью.
- Проявляют познавательный интерес к исследованию свойств многочленов и готовность самостоятельно проверять математические гипотезы.
- Принимают ответственность за точность преобразований и результат индивидуальной работы.
- Формируют устойчивую учебную мотивацию без сведения изучения темы только к механическому выполнению типовых заданий.
Метапредметные
- Формулируют учебную проблему и план действий для её решения.
- Извлекают информацию из алгебраических записей, преобразуют выражение к стандартному виду и используют математическую модель.
- Сравнивают способы определения степени многочлена и выявляют ошибочные рассуждения.
- Аргументируют выводы в устной и письменной форме, осуществляют самопроверку по эталону.
- Используют символическую запись как средство коммуникации и подготовки к решению более сложных задач.
Предметные
- Знать определения многочлена от одной переменной, степени многочлена, старшего коэффициента и корня многочлена.
- Уметь приводить многочлен к стандартному виду, объединяя подобные слагаемые.
- Уметь находить степень и старший коэффициент многочлена, включая случаи отсутствия отдельных степеней.
- Уметь вычислять значение многочлена при заданном значении переменной и проверять, является ли число его корнем.
- Владеть алгоритмом анализа записи многочлена и применять его в заданиях исследовательского и экзаменационного характера.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Определяют личный уровень понимания темы и формулируют, зачем умение находить корни многочлена потребуется при изучении уравнений.
- Проявляют самостоятельность при выборе способа проверки гипотезы.
- Осознают ценность точной записи и последовательного рассуждения.
- Положительно относятся к обсуждению разных математических решений.
Регулятивные УУД
- Принимают и сохраняют цель урока, сформулированную на основе проблемной ситуации.
- Планируют последовательность: привести к стандартному виду, определить степень, вычислить значение, сделать вывод.
- Сверяют промежуточные преобразования с условием и эталоном.
- Находят и исправляют ошибки в собственной записи.
- Оценивают результат по заданным критериям.
Познавательные УУД
- Выделяют существенные признаки многочлена от одной переменной.
- Классифицируют выражения по степени и количеству слагаемых.
- Анализируют структуру записи после приведения подобных слагаемых.
- Строят математическую модель проверки числа на роль корня.
- Делают вывод о связи корня многочлена с нулевым значением соответствующей функции.
Коммуникативные УУД
- Обсуждают гипотезы в парах и формулируют общий вывод.
- Задают уточняющие вопросы о степени и старшем коэффициенте.
- Аргументируют согласие или несогласие с решением одноклассника.
- Распределяют роли при групповой проверке карточек.
- Корректно принимают замечания и используют их для исправления записи.
Подготовка учителя к уроку
- Подготовить презентацию или запись на доске с выражениями 3x^4−2x^2+7, 5−x^3+2x и 4x^2−4x^2+6 для проблемного сравнения.
- Распечатать индивидуальные карточки трёх уровней — по одной на каждого ученика, всего по числу учащихся в классе.
- Подготовить карточки для работы в парах с выражениями, содержащими скобки, нулевые коэффициенты и подобные слагаемые, — по одной на пару.
- Вывести на доску памятку: стандартный вид многочлена; степень; старший коэффициент; условие P(a)=0.
- Подготовить стикеры или небольшие листы для приёма «Билет на выход» — по одному на ученика.
- Подготовить эталон самостоятельной работы для показа после выполнения заданий.
- Обеспечить проектор или интерактивную доску, маркеры двух цветов и таймер на 2–4 минуты.
- Заранее записать на доске тему урока и оставить место для алгоритма проверки корня.
Ход урока
Этап 1. Организационный момент и мотивация (3 мин)
Цель этапа: включить учащихся в исследовательскую деятельность и показать практический смысл точного анализа алгебраической записи.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель приветствует класс: "Здравствуйте. Сегодня мы будем не просто выполнять преобразования, а исследовать, как по записи многочлена определить его основные характеристики. Подготовьте тетради, ручки и калькуляторы не используйте: все действия должны быть видны в алгебраической записи." | Проверяют готовность, записывают дату, настраиваются на работу. |
2 мин | Учитель показывает на доске выражения: 3x^4−2x^2+7 и 5−x^3+2x. "Предположите, что можно узнать о каждом выражении, даже не подставляя конкретное число вместо x. Как сравнить эти записи? Какие вопросы возникают?" | Рассматривают выражения, предлагают: "Можно сравнить наибольшую степень", "можно найти значение при заданном x", "нужно понять, какие числа обращают выражение в ноль". |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Сегодня нам предстоит установить точные названия и правила для тех характеристик, которые вы уже начали замечать. Сначала вспомним, из каких частей строятся алгебраические выражения."
Этап 2. Актуализация знаний (5 мин)
Цель этапа: восстановить знания об одночленах, степенях и приведении подобных слагаемых, необходимые для открытия нового понятия.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель организует приём «Подумай — обсуди в паре — поделись»: "За 30 секунд определите, какие слагаемые в записи 4x^3−2x+7+5x^3 являются подобными. Затем обсудите ответ с соседом и объясните, почему." | Индивидуально выделяют 4x^3 и 5x^3, обсуждают в парах, формулируют: "Подобные слагаемые имеют одинаковую буквенную часть". |
2 мин | Учитель предлагает: "Упростите выражение 4x^3−2x+7+5x^3. Проговорите каждый шаг: что объединяем и почему." Учитель фиксирует запись на доске. | Записывают 9x^3−2x+7, проговаривают: "Складываем коэффициенты при x^3, остальные слагаемые не имеют подобных пар". |
1 мин | Учитель задаёт вопросы: "Что показывает показатель степени одночлена? Какую степень имеет ненулевое число? Что произойдёт, если старшее слагаемое сократится?" | Отвечают: "Показатель показывает степень одночлена"; "ненулевое число имеет нулевую степень"; "после сокращения степень определяется по оставшемуся старшему слагаемому". |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы вспомнили, что сначала нужно привести выражение к стандартному виду. Теперь проверим, достаточно ли этих знаний, чтобы точно назвать степень любой такой записи и определить её корни."
Этап 3. Постановка проблемы и целеполагание (4 мин)
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Цель этапа: выявить затруднение и совместно сформулировать цель урока.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель записывает: A(x)=2x^5−3x^2+x−8 и B(x)=x^4−7x^4+2. "Назовите степень каждого выражения. Можно ли сразу ответить для B(x)? Что сначала мешает это сделать?" | Определяют степень A как 5, а для B предлагают разные ответы; замечают, что сначала нужно привести B к виду −6x^4+2. |
2 мин | Учитель продолжает: "Рассмотрим число 2. Как проверить, является ли оно корнем A(x)? Достаточно ли увидеть число 2 среди коэффициентов? Сформулируйте цель урока и порядок действий." | Формулируют: "Нужно вычислить A(2)"; "коэффициент не является автоматически корнем". Предлагают план: привести к стандартному виду, найти степень, вычислить значение при заданном числе, сделать вывод. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Проблема определена: внешне похожие записи могут требовать разных действий. Наша цель — открыть определения и алгоритмы, которые позволят обосновывать каждый ответ."
Этап 4. Открытие нового знания (10 мин)
Цель этапа: сформулировать определения многочлена от одной переменной, его степени, старшего коэффициента и корня.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель показывает схему: P(x)=a_nx^n+a_{n−1}x^{n−1}+...+a_1x+a_0, где a_n≠0. "Такую запись называют многочленом от одной переменной. Обратите внимание: переменная одна, показатели — целые неотрицательные числа, а слагаемых конечное число. Что является старшим слагаемым?" | Рассматривают схему и отвечают: "Слагаемое с наибольшей степенью переменной". Записывают определение многочлена. |
3 мин | Учитель записывает: "Степенью ненулевого многочлена называют наибольшую степень переменной в его стандартной записи, а коэффициент при этой степени — старшим коэффициентом". Затем разбирает P(x)=−4x^6+3x^2−1: "Назовите степень и старший коэффициент. Почему свободный член не влияет на степень?" | Записывают определения, отвечают: "Степень равна 6, старший коэффициент −4"; "свободный член имеет степень 0 и не является старшим слагаемым". |
2 мин | Учитель вводит понятие корня: "Число a называют корнем многочлена P(x), если P(a)=0. Проверим число 1 для P(x)=x^3−4x^2+x+2: P(1)=1−4+1+2=0. Значит, 1 — корень. Что будет для числа 2?" | Вычисляют P(2)=8−16+2+2=−4 и формулируют: "2 не является корнем, потому что значение не равно нулю". |
2 мин | Учитель обращается к классу: "Сформулируйте алгоритм проверки числа a на роль корня. Первый шаг? Второй? Как записываем итог?" Учитель фиксирует на доске четыре шага. | Предлагают и записывают алгоритм: привести P(x) к стандартному виду; подставить a вместо x; вычислить P(a); если P(a)=0, число a — корень, иначе не корень. |
Запись в тетрадях
- Многочлен от одной переменной — сумма одночленов с одной переменной, записанная в стандартном виде.
- Степень ненулевого многочлена — наибольшая степень переменной в его стандартной записи.
- Старший коэффициент — коэффициент при слагаемом наибольшей степени.
- Число a является корнем многочлена P(x), если P(a)=0.
- Алгоритм: стандартный вид → подстановка → вычисление → вывод.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы получили определения и алгоритм. Теперь проверим их на выражениях, где легко ошибиться из-за незаписанных или сократившихся слагаемых."
Этап 5. Первичное закрепление (7 мин)
Цель этапа: закрепить определения через парную классификацию многочленов и проговаривание алгоритма.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель раздаёт каждой паре карточку: 1) 7x^3−2x+1; 2) 4−x^5+3x^2; 3) 6x^2−6x^2+9x−1; 4) 2x^4−5x^4+x. "Приведите выражения к стандартному виду и для каждого укажите степень и старший коэффициент. Обсуждение — 3 минуты." | В парах приводят записи: 1) степень 3, старший коэффициент 7; 2) степень 5, старший коэффициент −1; 3) степень 1, старший коэффициент 9; 4) степень 4, старший коэффициент −3. |
2 мин | Учитель просит одну пару объяснить случай 3: "Почему степень не равна 2, хотя в исходной записи есть x^2?" | Отвечают: "Слагаемые 6x^2 и −6x^2 сокращаются, поэтому после приведения остаётся 9x−1, его степень равна 1". |
2 мин | Учитель предлагает устную проверку: "Для Q(x)=x^3−3x+2 проверьте, является ли число 1 корнем. Записывайте вычисление полностью." | Выполняют Q(1)=1−3+2=0 и отвечают: "1 является корнем многочлена Q(x)". |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Вы увидели, что степень определяется не первоначальным видом, а результатом приведения подобных слагаемых. Теперь каждый самостоятельно применит полный алгоритм и проверит себя по эталону."
Этап 6. Самостоятельная работа с самопроверкой (10 мин)
Цель этапа: диагностировать индивидуальное освоение понятий и алгоритма на заданиях трёх уровней.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель раздаёт карточки: базовый уровень — для P(x)=3x^4−2x^2+x−5 назвать степень и старший коэффициент; средний — привести R(x)=5x^3−2x+4−7x^3+x−1 к стандартному виду и определить степень; повышенный — проверить, являются ли числа −1 и 2 корнями S(x)=x^3−x^2−4x+4. "Работайте индивидуально, решение записывайте полностью." | Выбирают или получают уровень, записывают решения, соблюдают последовательность действий. |
5 мин | Учитель выводит эталон: "Сначала сравните не только ответы, но и ход решения. Отметьте зелёным верный шаг, жёлтым — место, которое нужно проверить." | Сверяют решения: R(x)=−2x^3−x+3; степень 3, старший коэффициент −2. S(−1)=−1−1+4+4=6, поэтому −1 не корень; S(2)=8−4−8+4=0, поэтому 2 — корень. |
3 мин | Учитель проводит приём «Светофор»: "Покажите зелёную карточку, если можете самостоятельно определить степень и корень; жёлтую — если нужна проверка одного шага; красную — если алгоритм пока не складывается. По жёлтым и красным сигналам назовите конкретное затруднение." | Показывают карточки, формулируют затруднения: "ошибаюсь при приведении подобных слагаемых", "теряю знак при подстановке отрицательного числа". Исправляют одну ошибку по подсказке. |
Эталон решения
Для R(x)=5x^3−2x+4−7x^3+x−1: R(x)=(5−7)x^3+(−2+1)x+(4−1)=−2x^3−x+3. Следовательно, степень многочлена равна 3, старший коэффициент равен −2. Для S(x)=x^3−x^2−4x+4: S(−1)=(-1)^3−(-1)^2−4(-1)+4=−1−1+4+4=6≠0, поэтому −1 не является корнем; S(2)=2^3−2^2−4·2+4=8−4−8+4=0, поэтому 2 является корнем.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Индивидуальная работа показала, что общий алгоритм уже работает. Осталось связать новые понятия между собой и объяснить, почему поиск корней многочлена является важным шагом при изучении уравнений и функций."
Этап 7. Включение в систему знаний и рефлексия (6 мин)
Цель этапа: обобщить изученное, связать корень многочлена с нулём функции и определить личный результат урока.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель задаёт вопросы: "Как связаны равенство P(a)=0, корень многочлена и нуль функции y=P(x)? Почему приведение к стандартному виду обязательно перед определением степени?" | Формулируют: "Корень многочлена — это такое значение аргумента, при котором функция принимает нулевое значение"; "без приведения можно ошибочно принять сократившееся слагаемое за старшее". |
2 мин | Учитель организует «Одноминутку»: "Запишите одним предложением главное открытие урока и одним предложением — типичную ошибку, которой теперь будете избегать." | Пишут: "Корень проверяется вычислением P(a)"; "нельзя определять степень до объединения подобных слагаемых". |
2 мин | Учитель раздаёт «Билет на выход»: "Ответьте на два вопроса: 1) какова степень многочлена 2x^5−x^3+7; 2) является ли 0 корнем многочлена T(x)=x^2−3x? Запишите краткое обоснование." | Записывают: степень равна 5, старший коэффициент 2; T(0)=0, значит, 0 является корнем. Сдают билеты при выходе. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Сегодня вы научились читать многочлен как структурированный математический объект: приводить его к стандартному виду, определять степень и проверять корни. На следующем уроке мы будем использовать эти свойства при разложении многочленов и решении уравнений."
Критерии оценивания практической работы
- "5" — верно выполнены все задания карточки, многочлены приведены к стандартному виду без ошибок, степень и старший коэффициент названы обоснованно, проверка корней содержит подстановку и итоговый вывод.
- "4" — верно выполнены не менее 80% заданий; допущена одна вычислительная или знаковая ошибка, не нарушающая понимания алгоритма.
- "3" — правильно выполнены задания на определение степени или старшего коэффициента, но допущены ошибки при приведении к стандартному виду либо проверке корня; необходима частичная помощь учителя.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Что нового вы узнали о степени многочлена? | Проверка осознания определения и необходимости стандартного вида. |
Как вы проверяете, является ли число корнем многочлена? | Выявление понимания алгоритма P(a)=0. |
На каком шаге самостоятельной работы возникло затруднение? | Диагностика конкретной точки затруднения: знаки, приведение подобных или вычисления. |
Где это понятие понадобится при дальнейшем изучении алгебры? | Формирование осмысленной мотивации и связи с функциями и уравнениями. |
Завершающее слово учителя
"Сегодня мы научились рассматривать многочлен не как набор случайных слагаемых, а как математический объект с определённой структурой. Мы установили, что степень и старший коэффициент можно назвать только после приведения записи к стандартному виду, а корень проверяется равенством P(a)=0. Особенно внимательно следите за знаками при подстановке отрицательных чисел и не путайте коэффициент с корнем. На следующем уроке мы увидим, как найденные корни помогают раскладывать многочлены и решать уравнения."
Домашнее задание
Уровень | Что задать | Зачем |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | Выполнить 4 задания: привести многочлены от одной переменной к стандартному виду, указать их степень и старший коэффициент; в двух выражениях проверить, является ли указанное число корнем. | Закрепляет определения и базовый алгоритм; при проверке обратить внимание на объединение подобных слагаемых и итоговую запись P(a)=0 или P(a)≠0. |
Средний (повышающий) | Решить 4–5 задач, в которых требуется проверить несколько предложенных чисел на роль корней многочлена и объяснить, почему некоторые числа корнями не являются. | Развивает вычислительную точность и умение аргументировать отрицательный результат; проверить корректность подстановки отрицательных чисел. |
Продвинутый (дополнительный) | Исследовать многочлен третьей или четвёртой степени: привести его к стандартному виду, подобрать не менее двух целых чисел и проверить их на роль корней, затем составить краткое описание найденных закономерностей. | Развивает исследовательское мышление и связь между многочленом, его корнями и графиком функции; при проверке оценить полноту рассуждения и самостоятельность выбора чисел. |
Контрольные вопросы перед выходом: «Что называют степенью многочлена? Почему сначала нужно привести запись к стандартному виду? Какое равенство доказывает, что число является корнем многочлена?»
