Многочлен от одной переменной: операции, деление уголком и теорема Безу
Цели и задачи
- Цель: к концу урока научиться выполнять сложение и умножение многочленов, делить многочлен на многочлен уголком и применять теорему Безу для проверки делимости на линейный двучлен.
- Установить алгоритмы приведения подобных членов, умножения многочленов и деления многочлена на многочлен с опорой на ведущие члены.
- Научиться проверять результат деления равенством делимое = делитель · частное + остаток.
- Вывести и применить связь между остатком от деления многочлена на x−a и значением многочлена P(a).
- Развивать самостоятельность, точность алгебраической записи и готовность аргументировать выбранный способ решения.
Планируемые результаты
Личностные
- Осознают значение алгебраических преобразований для дальнейшего изучения функций, уравнений и математического анализа.
- Проявляют ответственность за точность вычислений и осмысленную проверку полученного результата.
- Принимают право на выбор рационального способа решения и готовы объяснить собственный выбор.
- Сохраняют учебную мотивацию при работе со сложными многошаговыми алгоритмами.
Метапредметные
- Выделяют существенные шаги алгоритма деления многочлена уголком и структурируют их в виде схемы.
- Сравнивают два способа нахождения остатка и формулируют область применения теоремы Безу.
- Планируют решение, выполняют самопроверку по критериям и корректируют найденные ошибки.
- Аргументированно обсуждают решение в паре и используют математическую символику для передачи рассуждения.
Предметные
- Знать определения многочлена одной переменной, степени многочлена, старшего и свободного членов.
- Уметь складывать и умножать многочлены, приводя результат к стандартному виду.
- Уметь выполнять деление многочлена на многочлен уголком и находить частное и остаток.
- Владеть теоремой Безу: остаток от деления P(x) на x−a равен P(a).
- Уметь проверять делимость многочлена на x−a по условию P(a)=0.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Определяют личный уровень готовности к работе с многочленами и формулируют учебную цель.
- Осознают ценность строгой записи и доказательной проверки результата.
- Проявляют познавательную инициативу при поиске более короткого способа вычисления остатка.
- Связывают освоение темы с дальнейшим изучением рациональных функций и подготовкой к профильным задачам.
Регулятивные УУД
- Планируют последовательность действий при делении многочлена уголком.
- Сверяют промежуточный результат с условием и контролируют знаки при вычитании.
- Оценивают решение по критериям: стандартный вид, правильность частного, проверка равенством.
- Исправляют ошибку после сопоставления с эталоном.
Познавательные УУД
- Анализируют структуру многочлена и выделяют ведущий член.
- Моделируют деление многочленов по аналогии с делением многозначных чисел.
- Сравнивают вычисление остатка делением уголком и подстановкой значения.
- Формулируют обобщение и применяют его к новым многочленам.
Коммуникативные УУД
- Объясняют партнёру каждый шаг алгоритма, используя точные математические термины.
- Задают уточняющие вопросы о знаках и степени остатка.
- Согласовывают общий вариант решения и аргументируют расхождения.
- Представляют краткое доказательство теоремы Безу классу.
Подготовка учителя к уроку
- Подготовить презентацию или запись на доске с определениями многочлена, степени, старшего и свободного членов.
- Распечатать карточки трёх уровней: базовые операции, деление уголком, исследовательское задание на теорему Безу; по одной карточке на каждого ученика.
- Подготовить лист эталонов для самопроверки: алгоритм деления и формулу P(x)=(x−a)Q(x)+P(a).
- Разместить на доске памятку: «делим ведущие члены — умножаем — вычитаем — повторяем».
- Подготовить маркеры, стикеры двух цветов и листы для парной работы.
- Вывести на экран многочлены P(x)=2x^3−3x^2+x−5 и Q(x)=x−2.
- Подготовить таймер на 2–4 минуты для этапов самостоятельной и парной работы.
- Проверить наличие тетрадей, калькуляторы не использовать: вычисления выполняются алгебраически.
Ход урока
Этап 1. Организационный момент и мотивация (3 мин)
Цель этапа: включить учащихся в исследовательскую работу и обозначить практическую ценность темы.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | "Здравствуйте, ребята. Сегодня мы будем работать не только по готовому алгоритму, но и проверим, как один и тот же остаток можно находить двумя способами. Подготовьте тетради и ручки, запишите дату. На доске вы видите многочлен P(x)=2x^3−3x^2+x−5 и число 2." | Готовят рабочее место, записывают дату и рассматривают многочлен на доске. |
2 мин | "Предположите, что нужно узнать об остатке от деления P(x) на x−2. Можно ли каждый раз выполнять длинное деление? Запишите гипотезу, затем обсудите её с соседом. Приём называется «Подумай — обсуди в паре — поделись»." | Индивидуально формулируют гипотезу, обсуждают её в парах и предлагают варианты: «остаток связан со значением P(2)», «нужен короткий способ проверки». |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Сегодня мы не просто повторим операции с многочленами, а выясним, как превратить деление в удобный способ вычисления остатка. Сначала проверим необходимые знания."
Этап 2. Актуализация знаний (6 мин)
Цель этапа: восстановить понятия и операции, необходимые для открытия нового знания.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | "Выполните устно и запишите краткие ответы. Назовите степень многочлена 4x^5−2x^2+7, его старший и свободный члены. Затем приведите к стандартному виду выражение 3x^2−5x+1−2x^2+4x−6. Объясните, какое действие вы выполнили первым." | Отвечают: «степень 5, старший член 4x^5, свободный член 7»; приводят выражение к виду x^2−x−5 и называют приведение подобных слагаемых. |
3 мин | "Раскройте скобки: (x+3)(x^2−2x+4). Не пропускайте промежуточные произведения. Почему после умножения необходимо привести подобные слагаемые?" | Записывают x^3+x^2−2x+12; объясняют, что стандартный вид нужен для определения степени и дальнейшего деления. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы вспомнили стандартный вид и умножение многочленов. Теперь рассмотрим ситуацию, где обычного раскрытия скобок недостаточно и требуется восстановить частное и остаток."
Этап 3. Постановка проблемы и целеполагание (4 мин)
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Цель этапа: обнаружить затруднение и совместно сформулировать план открытия алгоритма.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | "Рассмотрим деление 2x^3−3x^2+x−5 на x−2. Каков должен быть максимальный показатель степени частного? Почему? Попробуйте назвать первый шаг, опираясь на аналогию с делением чисел." | Отвечают: «степень частного равна 2»; формулируют первый шаг: «разделить старший член делимого на старший член делителя». |
2 мин | "Зафиксируем проблему: как последовательно получить частное и остаток и как проверить результат? Сформулируйте цель урока одним предложением. На доске запишем план: выполнить операции; вывести алгоритм деления; установить способ быстрого нахождения остатка." | Записывают цель и план урока, предлагают формулировки: «научиться делить многочлены уголком и применять теорему Безу». |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Проблема поставлена, цель ясна. Сейчас мы построим алгоритм на конкретном примере и проверим каждый его шаг умножением."
Этап 4. Открытие нового знания (10 мин)
Цель этапа: вывести алгоритм деления многочлена уголком и сформулировать теорему Безу.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
5 мин | "Запишем деление уголком: (2x^3−3x^2+x−5):(x−2). Первый шаг: 2x^3:x=2x^2. Умножаем x−2 на 2x^2 и вычитаем полученный многочлен. Получаем x^2+x−5. Далее x^2:x=x, снова умножаем и вычитаем. Затем x:x=1. Каждый раз располагаем члены по убыванию степени и внимательно меняем знаки при вычитании." | Параллельно записывают деление: частное 2x^2+x+3, остаток 1; проговаривают шаги: «делим, умножаем, вычитаем, повторяем». |
3 мин | "Проверим результат. Частное умножаем на делитель: (x−2)(2x^2+x+3). Прибавляем остаток 1. Совпадает ли результат с исходным многочленом? Запишите равенство проверки." | Выполняют умножение и получают 2x^3−3x^2+x−5; записывают равенство P(x)=(x−2)(2x^2+x+3)+1. |
2 мин | "Теперь обозначим остаток через r. Любой многочлен при делении на x−a представим так: P(x)=(x−a)Q(x)+r. Подставьте x=a. Какое равенство получится? Сформулируйте вывод." | Подставляют x=a: P(a)=r; формулируют теорему: «остаток от деления P(x) на x−a равен P(a)». |
Запись в тетрадях
Многочлен P(x) при делении на x−a представим в виде P(x)=(x−a)Q(x)+r. При x=a получаем P(a)=r. Следовательно, остаток от деления многочлена P(x) на x−a равен P(a). Делимость на x−a равносильна условию P(a)=0.
Эталон решения
Для P(x)=2x^3−3x^2+x−5 и делителя x−2: 2x^3:x=2x^2; P−(x−2)·2x^2=x^2+x−5; x^2:x=x; разность равна 3x−5; 3x:x=3; остаток равен 1. Поэтому P(x)=(x−2)(2x^2+x+3)+1. По теореме Безу P(2)=16−12+2−5=1.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы получили два равноправных способа: деление уголком даёт частное и остаток, а теорема Безу позволяет сразу найти остаток при делителе x−a. Теперь проверим алгоритм на коротких заданиях."
Этап 5. Первичное закрепление (7 мин)
Цель этапа: закрепить алгоритм деления и применение теоремы Безу через парную проверку.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | "Работаем в парах. На карточке 1 найдите остаток от деления P(x)=x^3−4x^2+2x+7 на x−3 без деления уголком. Обязательно запишите, какую теорему применили." | Вычисляют P(3)=27−36+6+7=4, записывают: «остаток равен 4». |
3 мин | "Теперь выполните деление x^3−2x^2−5x+6 на x−2 уголком. Один ученик пары выполняет деление, второй контролирует порядок действий по памятке, затем поменяйтесь ролями." | Получают частное x^2−5 и остаток −4; сверяют шаги с памяткой. |
2 мин | "Сравните ответы с эталоном на экране. Используйте приём «Две звезды и пожелание»: назовите два правильных действия партнёра и одну рекомендацию по записи." | Проверяют решения, отмечают два достоинства и одну корректируемую ошибку, объясняют расхождения. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Вы увидели, что теорема Безу быстро даёт остаток, но не заменяет деление, если требуется частное. Переходим к самостоятельной работе с выбором уровня."
Этап 6. Самостоятельная работа с самопроверкой (10 мин)
Цель этапа: проверить индивидуальное владение операциями с многочленами и алгоритмом деления.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
6 мин | "Выберите один обязательный вариант и, если успеете, дополнительный. Вариант А: сложите (3x^3−x^2+2x−1)+(x^3+4x^2−5x+6) и найдите остаток от деления 2x^3−x+4 на x+1. Вариант Б: разделите 2x^3+x^2−5x+2 на x−1 и проверьте результат. Вариант В: найдите все значения a, при которых x−a делит x^3−4x^2+x+6." | Индивидуально решают задания. В варианте А получают 4x^3+3x^2−3x+5 и P(−1)=3; в варианте Б получают частное 2x^2+3x−2 и остаток 0; в варианте В решают P(a)=0 и получают a=2, 3, −1. |
4 мин | "Откройте эталон. Отметьте зелёным полностью верный шаг, жёлтым — шаг, требующий уточнения, красным — ошибку. Исправьте только ошибочную строку и подпишите причину ошибки: знак, степень, вычисление или отсутствие проверки." | Сверяют решения, выполняют самооценку, исправляют ошибки и формулируют их причину. |
Эталон решения
Для деления 2x^3+x^2−5x+2 на x−1: 2x^3:x=2x^2; вычитание даёт 3x^2−5x; 3x^2:x=3x; вычитание даёт −2x+2; −2x:x=−2; остаток 0. Частное 2x^2+3x−2. Проверка: (x−1)(2x^2+3x−2)=2x^3+x^2−5x+2.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Самостоятельная работа показала, что алгоритм освоен на разных уровнях. Важно не только получить ответ, но и уметь доказать его проверкой. Завершим урок осмыслением результата и домашним выбором."
Этап 7. Рефлексия и домашнее задание (5 мин)
Цель этапа: зафиксировать освоенные способы, выявить затруднения и объяснить дифференцированное домашнее задание.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | "Заполните билет на выход. Продолжите три фразы: «При делении уголком я сначала…»; «Теорема Безу позволяет…»; «Мне нужно потренировать…». Затем покажите цвет карточки: зелёная — могу объяснить алгоритм, жёлтая — решаю с подсказкой, красная — нужна помощь." | Заполняют билет на выход, формулируют личный результат и поднимают карточку самооценки. |
2 мин | "Запишите домашнее задание по выбранному уровню. Проверьте, что в записи есть количество заданий и способ самопроверки. На следующем уроке мы свяжем корни многочлена с его разложением на множители." | Записывают домашнее задание, задают уточняющие вопросы, называют один ключевой вывод урока. |
Критерии оценивания практической работы
- «5» — верно выполнены все обязательные задания, корректно оформлено деление уголком, найден остаток, выполнена проверка умножением или применена теорема Безу с вычислением P(a).
- «4» — выполнены все основные действия, но допущена одна вычислительная или оформительская ошибка, не нарушающая понимания алгоритма.
- «3» — правильно выполнено сложение или умножение многочленов и начаты действия деления, однако допущены ошибки в двух и более шагах либо отсутствует проверка результата.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Какой первый шаг алгоритма деления многочлена уголком вы считаете самым важным? | Выявление понимания структуры алгоритма и роли ведущих членов. |
Как быстро найти остаток при делении на x−a? | Проверка осознания теоремы Безу. |
На каком этапе решения вы чаще всего ошибались: при делении, умножении или вычитании? | Выявление конкретных точек затруднения для коррекции. |
В каком случае вы выберете теорему Безу, а в каком — деление уголком? | Проверка умения оценивать рациональность способа. |
Завершающее слово учителя
"Сегодня мы систематизировали операции с многочленами и построили алгоритм деления уголком. Вы установили, что остаток при делении на x−a можно найти значительно быстрее: достаточно вычислить P(a). Помните о типичной ошибке — при вычитании произведения меняются знаки всех его членов. На следующем уроке мы рассмотрим корни многочлена и разложение многочлена на множители."
Домашнее задание
Уровень | Что задать | Зачем |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | Выполнить 4 задания: два на сложение и умножение многочленов и два на нахождение остатка от деления на x−a по теореме Безу. В каждом задании записать стандартный вид ответа. | Закрепляет базовые операции и вычисление значения многочлена; при проверке смотреть на приведение подобных членов и подстановку числа со знаком. |
Средний (повышающий) | Решить 3 задания на деление многочлена третьей степени на линейный двучлен уголком и выполнить проверку равенством делимое = делитель · частное + остаток. | Формирует устойчивый алгоритм; при проверке обратить внимание на последовательность «делим — умножаем — вычитаем» и степень остатка. |
Продвинутый (дополнительный) | Исследовать многочлен P(x)=x^3−6x^2+11x−6: найти значения a, при которых x−a является делителем, затем представить многочлен в виде произведения линейных множителей и обосновать каждый шаг. | Развивает анализ и создание математической модели; при проверке смотреть на связь P(a)=0 с делимостью и на проверку раскрытием скобок. |
Контрольные вопросы перед выходом: «Как записывается результат деления многочлена на многочлен?», «Чему равен остаток при делении P(x) на x−a?», «Как проверить частное и остаток?», «Какое условие равносильно делимости P(x) на x−a?»
