Матрицы: основные понятия, типы матриц, операции над матрицами
Цели и задачи
- Цель по SMART: к концу урока научиться распознавать матрицы и их типы, определять размеры матрицы, выполнять сложение и вычитание матриц, умножение матрицы на число и проверять допустимость операций.
- Сформировать представление о матрице как прямоугольной таблице чисел, заданной размером и элементами.
- Научиться читать обозначения матриц и находить элемент с заданными индексами.
- Развивать умение анализировать условие, выбирать допустимую операцию и аргументировать полученный результат.
- Показать применение матриц в информатике, экономике и обработке данных; воспитывать точность записи и ответственное отношение к совместной работе.
Планируемые результаты
Личностные
- Осознают практическую ценность матриц для дальнейшего изучения информатики, экономики, физики и высшей математики.
- Проявляют интерес к исследовательской задаче и готовность самостоятельно проверять гипотезы.
- Понимают значение точности обозначений и последовательности действий при работе с математическими объектами.
- Развивают учебную самостоятельность и уверенность при переходе к более абстрактному материалу.
Метапредметные
- Читают математическую запись, извлекают из неё информацию о размере матрицы и положении элемента.
- Планируют решение, выбирают алгоритм операции и осуществляют самопроверку по образцу.
- Сотрудничают в парах, формулируют гипотезу и аргументируют, почему операция допустима или недопустима.
- Переносят понятие таблицы чисел на задачи обработки данных и межпредметные модели.
Предметные
- Знать определение матрицы, понятия «строка», «столбец», «элемент матрицы», «размер матрицы».
- Уметь определять размеры матрицы и записывать элемент с указанными индексами.
- Различать прямоугольную, квадратную, нулевую, строковую, столбцовую и единичную матрицы.
- Уметь выполнять сложение и вычитание матриц одинакового размера и умножение матрицы на число.
- Уметь объяснять, почему некоторые операции над матрицами невозможны.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Определяют личный смысл изучения матриц через связь с будущими образовательными и профессиональными задачами.
- Проявляют познавательную инициативу при поиске общего правила для операций над матрицами.
- Осознают ответственность за точность собственной математической записи.
- Оценивают собственную готовность применять новый алгоритм без подсказки.
Регулятивные УУД
- Формулируют цель урока на основе проблемной ситуации.
- Планируют последовательность действий при выполнении операции.
- Сверяют решение с эталоном, находят и исправляют ошибки в индексах и размерах.
- Оценивают уровень освоения материала по листу самооценки и результатам самостоятельной работы.
Познавательные УУД
- Классифицируют матрицы по форме и специальным свойствам.
- Устанавливают соответствие между размером матрицы и допустимостью операции.
- Моделируют данные в виде таблицы и переводят таблицу в матричную запись.
- Сравнивают полученные результаты, обобщают алгоритм и выявляют закономерности.
Коммуникативные УУД
- Формулируют точный вопрос о математическом объекте и отвечают с использованием терминов.
- Распределяют роли в паре: вычислитель и контролёр.
- Аргументируют решение, ссылаясь на размеры матриц и правило операции.
- Корректно обсуждают расхождения и приходят к единому выводу.
Подготовка учителя к уроку
- Подготовить презентацию или материалы на доске с определением матрицы, обозначением A=(aij), схемой размеров m×n и примерами матриц.
- Распечатать карточки трёх уровней по одной на каждого ученика: распознавание типов, выполнение операций, исследовательская задача.
- Распечатать таблицу самооценки по одной на каждого ученика и карточки с межпредметным примером по одной на пару.
- Подготовить магнитные или бумажные карточки с числами для составления матриц в группах.
- Вывести на экран таблицу данных о продажах трёх товаров за два месяца для межпредметной задачи по информатике и экономике.
- Подготовить эталон решений для самопроверки: размеры матриц, покомпонентное сложение и умножение на число.
- Оставить на доске место для записи правил: A+B, A−B, kA и условия одинакового размера.
- Обеспечить проектор или интерактивную доску, таймер и маркеры; рассадить учеников по парам.
Ход урока
Этап 1. Организационный момент и мотивация (3 мин)
Цель этапа: включить учащихся в исследовательскую деятельность и показать практический смысл матриц.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель приветствует класс и показывает на экране таблицу: в строках указаны три товара, в столбцах — продажи за январь и февраль. «Здравствуйте, ребята. Сегодня мы начнём изучать объект, который внешне похож на обычную таблицу, но позволяет компактно записывать и преобразовывать большие объёмы данных. Посмотрите на экран и определите, как можно кратко записать все числа, не переписывая названия строк и столбцов». | Рассматривают таблицу, предлагают: «Можно записать числа в прямоугольную таблицу»; называют строки и столбцы. |
2 мин | Учитель объявляет тему и использует приём «Проблемный вопрос»: «Как описать такую таблицу одним математическим объектом? Как выполнить над ней действие, если мы хотим увеличить все данные в два раза? Сегодня вы не только получите определения, но и сами выведете правила операций». | Формулируют предположение: «Нужна таблица чисел с правилами действий»; записывают тему урока. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Мы увидели, что таблица данных может стать математической моделью. Теперь вспомним, какие элементы таблицы нужно уметь точно называть и обозначать».
Этап 2. Актуализация знаний (5 мин)
Цель этапа: актуализировать понятия таблицы, строки, столбца, координат и покомпонентных действий.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель показывает таблицу чисел A = [[2, −1, 4], [0, 3, 5]] и спрашивает: «Сколько в ней строк и столбцов? Как обозначить число, стоящее в первой строке и третьем столбце? Что произойдёт, если каждое число умножить на 2?» | Определяют: «Две строки и три столбца»; называют элемент a13=4; вычисляют новую таблицу [[4, −2, 8], [0, 6, 10]]. |
3 мин | Учитель проводит приём «Подумай — обсуди в паре — поделись»: «Сначала самостоятельно назовите координаты числа 3, затем сравните ответ с соседом. Объясните, почему порядок индексов важен». Учитель фиксирует на доске ответы и уточняет запись a21 и a12. | Самостоятельно находят положение числа 3, обсуждают в парах и формулируют: «Первый индекс обозначает строку, второй — столбец». |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Мы повторили координатное описание элемента и покомпонентное умножение. Но пока не определили, как назвать весь объект и какие действия с ним допустимы».
Этап 3. Постановка проблемы и целеполагание (4 мин)
Цель этапа: выявить затруднение и совместно сформулировать план открытия нового знания.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель раздаёт парам карточки: A = [[1, 2], [3, 4]] и B = [[5, 6, 7], [8, 9, 10]]. «Попробуйте по аналогии со сложением чисел сложить A и B. Запишите первое действие и объясните, что мешает получить результат». | Сравнивают таблицы, замечают разные размеры: A имеет размер 2×2, B — 2×3; формулируют: «Нельзя сопоставить элементы всех позиций». |
2 мин | Учитель задаёт вопросы: «Какую информацию нужно знать о матрице? Когда можно складывать две матрицы? Какие операции мы должны исследовать сегодня?» Учитель записывает цели, сформулированные классом. | Предлагают план: определить понятие и размер матрицы, классифицировать типы, вывести правила сложения, вычитания и умножения на число. |
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Затруднение связано не с вычислениями, а с формой объектов. Сначала дадим матрице точное описание, затем проверим каждое правило на конкретных примерах».
Этап 4. Открытие нового знания (10 мин)
Цель этапа: сформировать определения матрицы, её размера и основных типов, вывести правила базовых операций.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
4 мин | Учитель записывает на доске: «Матрица — прямоугольная таблица чисел, расположенных по строкам и столбцам. Если в матрице m строк и n столбцов, её размер обозначают m×n. Элемент aij находится на пересечении i-й строки и j-го столбца». Учитель показывает A = [[2, −1, 0], [4, 3, 5]] и спрашивает: «Каков размер? Чему равен a23?» | Записывают определение, отвечают: «Размер 2×3, a23=5». Подписывают строки, столбцы и элементы на образце. |
3 мин | Учитель показывает четыре матрицы и объясняет классификацию: «Матрица 1×n называется строковой, m×1 — столбцовой, n×n — квадратной, все элементы которой равны нулю, — нулевой. Единичная матрица — квадратная матрица с единицами на главной диагонали и нулями вне её». Учитель просит распределить примеры по типам. | Классифицируют примеры, формулируют: «Матрица 1×3 строковая; 3×1 столбцовая; 2×2 квадратная; [[1,0],[0,1]] единичная». |
3 мин | Учитель записывает две матрицы одинакового размера A=(aij) и B=(bij): «Сложение и вычитание выполняются поэлементно: A+B=(aij+bij), A−B=(aij−bij). Умножение на число также выполняется поэлементно: kA=(kaij). Размер результата сохраняется». Учитель разбирает пример A=[[1,2],[−3,4]], B=[[5,−1],[2,0]], k=2. | По записи учителя составляют правила и вычисляют: A+B=[[6,1],[−1,4]], A−B=[[−4,3],[−5,4]], 2A=[[2,4],[−6,8]]. |
0 мин | Учитель задаёт контрольный вопрос: «Можно ли сложить матрицу 2×3 и матрицу 3×2? Обоснуйте ответ одним предложением». | Отвечают: «Нет, нельзя, потому что размеры матриц не совпадают». |
Запись в тетрадях
Ученики записывают определения матрицы и её размера, обозначение элемента aij, типы матриц и правила: A+B=(aij+bij), A−B=(aij−bij), kA=(kaij).
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Теперь у нас есть язык матриц и правила трёх операций. Проверим, умеем ли мы применять их пошагово и не нарушаем ли условие одинакового размера».
Этап 5. Первичное закрепление. Работа в парах (7 мин)
Цель этапа: закрепить алгоритмы определения типа матрицы и выполнения поэлементных операций.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель раздаёт карточку с матрицами A=[[3,−2,1],[0,4,5]] и B=[[1,2,−3],[2,−1,0]]. «Работаем в парах. Первый ученик определяет размеры и типы матриц, второй выполняет A+B. Через минуту поменяйтесь ролями и выполните 2A−B. Каждый результат сопровождайте проверкой размера». | В парах определяют: обе матрицы имеют размер 2×3 и являются прямоугольными; вычисляют A+B=[[4,0,−2],[2,3,5]]. |
3 мин | Учитель предлагает выполнить 2A−B и напоминает: «Сначала умножьте каждый элемент A на 2, затем вычтите соответствующие элементы B. Не смешивайте элементы разных строк и столбцов». Учитель наблюдает и задаёт уточняющие вопросы. | Вычисляют 2A−B=[[5,−6,5],[−2,9,10]], сверяют размер 2×3 и объясняют порядок действий. |
2 мин | Учитель организует взаимопроверку по приёму «Две звезды и пожелание»: «Сравните решения пар, отметьте два правильно выполненных действия и запишите одно пожелание, например “проверьте индекс второго элемента”». | Сверяют результаты, находят расхождения, формулируют замечание по конкретной записи, исправляют ошибку при необходимости. |
Эталон решения
A+B=\begin{pmatrix}3+1&-2+2&1-3\\0+2&4-1&5+0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}4&0&-2\\2&3&5\end{pmatrix}. 2A-B=\begin{pmatrix}6&-4&2\\0&8&10\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}1&2&-3\\2&-1&0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}5&-6&5\\-2&9&10\end{pmatrix}.
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Мы убедились, что все операции выполняются поэлементно, а размер результата сохраняется. Теперь каждый самостоятельно проверит, может ли применить правило без поддержки пары».
Этап 6. Межпредметная задача и самостоятельная работа (11 мин)
Цель этапа: применить матрицы как модель данных и выполнить самостоятельную работу с самопроверкой.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
4 мин | Учитель показывает таблицу продаж: строки — «Ноутбуки, Планшеты», столбцы — «Январь, Февраль». Значения продаж: [[12,15],[20,18]]. «В информатике и экономике таблицу чисел можно представить матрицей. Запишите её как M. Руководитель просит учесть данные второго магазина N=[[8,10],[11,9]]. Составьте матрицу M+N и объясните смысл каждого элемента». | Записывают M и N размера 2×2, вычисляют M+N=[[20,25],[31,27]]; объясняют: «Элементы показывают суммарные продажи двух магазинов по каждому товару и месяцу». |
4 мин | Учитель раздаёт индивидуальные карточки трёх уровней. «Минимум для всех: определить размер и элементы матрицы. Базовый уровень: выполнить две операции. Повышенный уровень: исследовать, при каком условии матрица kA будет нулевой». Учитель напоминает критерии и запускает таймер. | Индивидуально выполняют выбранный уровень: находят размер C=[[1,0,−2],[3,4,5]], элементы c12 и c21; вычисляют C−D и −3C для заданной матрицы D; сильные ученики формулируют условие k=0 или A — нулевая матрица. |
3 мин | Учитель выводит эталон и говорит: «Проверьте не только числа, но и размер результата, порядок индексов и наличие условия допустимости операции. Ошибку исправьте другим цветом». | Сверяют решения с эталоном, выделяют исправления, заполняют самооценку: «могу определить размер», «могу выполнить операции», «могу объяснить запрет». |
Эталон решения
M+N=\begin{pmatrix}12+8&15+10\\20+11&18+9\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}20&25\\31&27\end{pmatrix}. Для матрицы C размера 2×3 операция C−D допустима только при размере D=2×3. Условие kA=0: если A не является нулевой матрицей, то k=0; если A=0, то результат нулевой при любом k.
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Матрица оказалась не только набором символов, а удобной моделью реальных данных. Вы научились проверять размер, выполнять операции и объяснять смысл результата. Осталось зафиксировать, что именно стало понятным и где ещё нужна тренировка».
Этап 7. Рефлексия и домашнее задание (5 мин)
Цель этапа: обобщить новое знание, выявить затруднения и сообщить дифференцированное домашнее задание.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель проводит приём «Светофор»: «Поднимите зелёную карточку, если можете определить размер и выполнить операции; жёлтую — если нужна тренировка; красную — если пока не понимаете условие допустимости. Одним предложением объясните выбор». | Показывают карточки и формулируют: «Мне легко складывать матрицы, но нужно потренироваться определять тип» или «Мне нужно повторить индексы». |
1 мин | Учитель задаёт контрольные вопросы: «Что обозначают два индекса элемента? При каком условии складывают матрицы? Как изменяется размер при умножении на число?» | Отвечают: «Первый индекс — строка, второй — столбец; размеры должны совпадать; размер сохраняется». |
2 мин | Учитель сообщает домашнее задание и завершает урок: «Выберите обязательный уровень, а повышающий и дополнительный выполняйте по готовности. Перед уходом запишите одно правило, которое сможете объяснить однокласснику». | Записывают домашнее задание, формулируют одно правило и сдают лист самооценки. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Сегодня мы определили, что матрица имеет размер, элементы и тип, а операции сложения, вычитания и умножения на число выполняются по строгим правилам. На следующем уроке мы продолжим исследование операций над матрицами и рассмотрим их свойства».
Критерии оценивания практической работы
- «5» — верно определены размеры и типы всех матриц, без ошибок выполнены операции A+B, A−B и kA, объяснена допустимость межпредметной операции и корректно записан размер результата.
- «4» — правильно выполнено большинство заданий, допущена одна вычислительная или оформительская ошибка, но условия допустимости операций сформулированы верно.
- «3» — правильно определены размеры хотя бы двух матриц и выполнена одна операция по алгоритму, однако допущены ошибки в вычислениях или индексах, требующие коррекции.
- Ниже отметки «3» — не определены размеры матриц или нарушено условие допустимости операций; требуется повторить определения и выполнить тренировочные примеры.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Что нового вы узнали о размере и элементах матрицы? | Проверка осознания базовых понятий и точности математической речи. |
Какое условие нужно проверить перед сложением или вычитанием матриц? | Выявление понимания допустимости операции. |
Какое действие оказалось самым трудным: определение типа, сложение, вычитание или умножение на число? | Выявление индивидуальных точек затруднения для коррекции. |
Где матрица может применяться вне урока алгебры? | Осознание межпредметной и практической ценности темы. |
Завершающее слово учителя
«Сегодня мы познакомились с матрицей как с точным способом записи прямоугольной таблицы чисел. Вы научились определять её размер, читать элементы, различать основные типы и выполнять три операции. Самая частая ошибка — забыть, что при сложении и вычитании размеры матриц должны совпадать, а индексы читаются в порядке “строка, столбец”. Дома закрепите алгоритмы на примерах. На следующем уроке мы продолжим исследовать свойства операций над матрицами и их применение к задачам.»
Домашнее задание
Уровень | Что задать | Зачем |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | Выполнить 4 задания: определить размеры и типы двух матриц, найти указанные элементы, сложить и вычесть две матрицы одинакового размера. | Закрепляет терминологию, чтение индексов и покомпонентные операции; при проверке смотреть на размер результата и порядок индексов. |
Средний (повышающий) | Решить 3 задачи на вычисление выражений вида 2A−B и −3(A+B), предварительно проверив размеры матриц, и составить одну матрицу по данным небольшой таблицы продаж или температур. | Формирует устойчивый алгоритм действий и умение переводить реальные данные в матричную модель; при проверке смотреть на соблюдение порядка операций. |
Продвинутый (дополнительный) | Подготовить краткое исследование: привести два примера применения матриц в информатике, экономике или физике и для одного примера записать матрицу с пояснением смысла строк и столбцов. | Развивает исследовательское мышление и межпредметную связь; при проверке смотреть на корректность размера, обозначений и интерпретации элементов. |
Контрольные вопросы перед выходом: «Что такое матрица? Как обозначается её размер? Где находится элемент a23? Когда можно сложить две матрицы? Как выполняется умножение матрицы на число?»
