График функции y = tg x: свойства и построение графика
Цели и задачи
- Цель по SMART: к концу урока научиться строить график функции $y=\tg x$ на заданном промежутке и обосновывать её основные свойства по графику и формуле.
- Выявить область определения, множество значений, нули, промежутки знакопостоянства, монотонность и периодичность функции $y=\tg x$.
- Развивать исследовательское мышление, умение работать в паре, анализировать графическую информацию и аргументировать выводы.
- Формировать ответственное отношение к самостоятельной проверке результата и осмысленному применению знаний при решении заданий повышенного уровня.
Планируемые результаты
Личностные
- Осознавать связь изучения тригонометрических функций с дальнейшим обучением и практическими задачами.
- Проявлять учебную самостоятельность, готовность проверять гипотезы и корректировать ошибки.
Метапредметные
- Извлекать информацию из формулы, таблицы и графика; устанавливать закономерности.
- Планировать исследование в паре, формулировать выводы и аргументированно представлять их.
- Использовать цифровые или графические инструменты для проверки построения.
Предметные
- Знать область определения, периодичность и основные свойства функции $y=\tg x$.
- Уметь строить график на промежутке, содержащем одну или несколько ветвей.
- Уметь определять по графику значения, нули, знакопостоянство и промежутки монотонности функции.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Самоопределение в учебной деятельности; понимание ценности доказательного рассуждения.
- Смыслообразование через связь темы с последующим изучением функций и подготовкой к профильному обучению.
Регулятивные УУД
- Ставить цель исследования, планировать последовательность построения.
- Осуществлять самоконтроль по свойствам функции, находить и исправлять ошибки.
Познавательные УУД
- Сравнивать графики $y=\sin x$, $y=\cos x$ и $y=\tg x$.
- Моделировать график по таблице значений и анализировать его структуру.
- Устанавливать причинно-следственную связь между неопределённостью тангенса и вертикальными асимптотами.
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Коммуникативные УУД
- Распределять роли в паре, задавать уточняющие вопросы.
- Аргументированно представлять общий вывод и корректно обсуждать разные способы решения.
Ход урока
- Этап 1. Организационный настрой и мотивация (3 мин). Кратко: учитель предлагает проблемное наблюдение о поведении тангенса при приближении к $\frac{\pi}{2}$ и обозначает связь с исследованием графика; ученик формулирует предварительную гипотезу.
- Этап 2. Актуализация знаний (6 мин). Кратко: учитель организует парную работу по повторению единичной окружности, значений синуса и косинуса, формулы $\tg x=\frac{\sin x}{\cos x}$; ученик заполняет краткую таблицу и фиксирует затруднение.
- Этап 3. Постановка проблемы и цели (4 мин). Кратко: учитель направляет анализ вопросами о допустимых значениях $x$, нулях и поведении функции между точками неопределённости; ученик формулирует план исследования свойств и построения графика.
- Этап 4. Открытие нового знания, работа в парах (12 мин). Кратко: учитель выдаёт пары координат и организует построение на промежутке $(-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2})$, обращает внимание на симметрию и асимптоту; ученик строит ветвь, сравнивает результаты с партнёром, выводит свойства и переносит график с учётом периода $\pi$.
- Этап 5. Физкультминутка с математическим содержанием (2 мин). Кратко: учитель проводит короткую смену позы и зрительную разминку с повторением ключевых характеристик графика; ученик выполняет упражнения и проговаривает свойства по опорным карточкам.
- Этап 6. Первичное закрепление (7 мин). Кратко: учитель предлагает задания на определение области определения, нулей, знаков и промежутков монотонности по графику; ученик решает в парах, обосновывает ответы и проводит взаимопроверку.
- Этап 7. Самостоятельная работа с самопроверкой (8 мин). Кратко: учитель предлагает задания трёх уровней: чтение графика, построение фрагмента, анализ преобразования $y=\tg(x-a)$; ученик выбирает уровень, выполняет работу и сверяется с эталоном.
- Этап 8. Рефлексия и домашнее задание (3 мин). Кратко: учитель организует рефлексию по формату «знаю — умею — осталось выяснить» и собирает краткий билет на выход; ученик оценивает достижение цели, называет трудность и фиксирует домашнее задание.
Домашнее задание
- Минимум: составить таблицу основных свойств функции $y=\tg x$ и построить одну ветвь графика с указанием асимптот и нуля.
- Базовый уровень: выполнить 3–4 задания на чтение графика, область определения, нули, знакопостоянство и монотонность функции.
- Повышенный уровень: исследовать график функции $y=\tg(x-a)$ при выбранном значении $a$, описать преобразование и сформулировать общий вывод о влиянии параметра.
