Арксинус, арккосинус и арктангенс числового аргумента. Решение тригонометрических уравнений
Цели и задачи
- Цель урока: к концу урока научиться находить значения арксинуса, арккосинуса и арктангенса числового аргумента, выбирать соответствующий общий вид решения простейших тригонометрических уравнений и выполнять самопроверку результата.
- Сформировать понимание того, что обратные тригонометрические функции являются функциями на специально выбранных промежутках и имеют единственные главные значения.
- Научиться решать уравнения вида $\sin x=a$, $\cos x=a$, $\tg x=a$ с использованием формул общего решения.
- Развивать умение анализировать условие, выбирать способ решения, аргументировать преобразования и обнаруживать ошибки в готовом решении.
- Воспитывать ответственное отношение к математической записи, готовность к сотрудничеству и самостоятельной проверке результата.
Планируемые результаты
Личностные
- Осознают значение точной математической записи для дальнейшего изучения математики и подготовки к профессиональному обучению.
- Проявляют готовность проверять собственный результат, не принимая формальный ответ без анализа области допустимых значений.
- Развивают учебную самостоятельность и спокойное отношение к сложным задачам, связанным с преобразованием формул.
- Понимают ценность аргументированного обсуждения решения в паре.
Метапредметные
- Извлекают информацию из графика, формулы и таблицы значений обратных тригонометрических функций.
- Планируют последовательность решения уравнения и соотносят полученный ответ с исходным условием.
- Сравнивают два способа записи общего решения и выявляют математически равносильные формы.
- Формулируют выводы, задают уточняющие вопросы и аргументируют выбор формулы в парной работе.
Предметные
- Знать определения и области значений функций $\arcsin x$, $\arccos x$, $\arctg x$.
- Уметь находить табличные значения арксинуса, арккосинуса и арктангенса.
- Уметь решать уравнения $\sin x=a$, $\cos x=a$, $\tg x=a$ и записывать их общие решения.
- Уметь проверять ограничения $-1\leq a\leq 1$ для синуса и косинуса и объяснять отсутствие решений при их нарушении.
- Владеть навыком выбора формулы решения и корректной записи ответа с параметром $k\in\mathbb Z$.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Определяют личную учебную задачу: научиться переходить от значения функции к углу и общему решению уравнения.
- Осознают необходимость точности при работе с периодическими функциями.
- Проявляют интерес к связи темы с дальнейшим изучением математического анализа и задачами экзаменационного уровня.
- Оценивают собственную готовность к самостоятельному решению тригонометрических уравнений.
Регулятивные УУД
- Формулируют цель на основе анализа затруднения в проблемном задании.
- Планируют алгоритм решения и выбирают подходящую формулу.
- Сверяют промежуточные действия с эталоном и исправляют найденные ошибки.
- Оценивают степень достижения цели по листу самооценки и выходному вопросу.
Познавательные УУД
- Устанавливают связь между тригонометрической функцией и соответствующей обратной функцией.
- Анализируют графики и промежутки монотонности синуса, косинуса и тангенса.
- Моделируют решение уравнения через обозначение главного значения и периодичность.
- Систематизируют формулы в таблицу и применяют их к новым числовым аргументам.
Коммуникативные УУД
- Распределяют роли в паре: решающий и проверяющий, затем меняются ролями.
- Формулируют объяснение, почему выбранная формула применима к конкретному уравнению.
- Задают вопросы о границах области определения и области значений.
- Корректно сравнивают решения и предлагают исправление ошибки партнёру.
Подготовка учителя к уроку
- Подготовить презентацию или запись на доске с графиками $y=\sin x$, $y=\cos x$, $y=\tg x$ и выделенными промежутками выбора главных значений.
- Распечатать карточки для парной работы: по одной карточке на пару, содержащей четыре уравнения и одно ошибочное решение.
- Распечатать индивидуальные листы самопроверки по одному на каждого ученика.
- Подготовить таблицу-шпаргалку с определениями, областями значений и формулами общего решения.
- Разместить на доске проблемное задание: $\sin x=\frac12$ и два предложенных ответа $x=\frac\pi6+2\pi k$ и $x=\frac\pi6+\pi k$.
- Подготовить маркеры двух цветов для выделения главного значения и периода.
- Обеспечить проектор или интерактивную доску, доску и индивидуальные тетради.
- Подготовить стикеры трёх цветов для рефлексии: зелёный — понял, жёлтый — нужна тренировка, красный — требуется помощь.
Ход урока
Этап 1. Организационный момент и мотивация (3 мин)
Цель этапа: включить учащихся в исследовательскую деятельность и обозначить практическую значимость темы.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель приветствует класс: "Здравствуйте, ребята. Проверьте, пожалуйста, наличие тетради, ручки и калькулятора только как средства самопроверки, а не замены рассуждения. Сегодня мы будем не просто вспоминать формулы, а исследовать, как по значению тригонометрической функции восстановить угол и описать все решения уравнения." | Проверяют готовность, записывают дату, настраиваются на работу. |
2 мин | Учитель показывает на доске вопрос: "Если известно, что $\sin x=\frac12$, можно ли сразу написать единственное значение $x$? Подумайте самостоятельно 30 секунд, затем обсудите ответ в паре. Приём называется «Подумай — обсуди в паре — поделись»." | Индивидуально формулируют предположение, затем обсуждают его в парах и предлагают варианты: "$x=\frac\pi6$ — только один угол" или "решений бесконечно много из-за периодичности". |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы увидели, что одного найденного угла недостаточно для описания всех решений. Сейчас выясним, как выбирается главное значение и как из него строится общий ответ."
Этап 2. Актуализация знаний (6 мин)
Цель этапа: восстановить знания о графиках, периодичности и табличных значениях тригонометрических функций.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель выводит на экран таблицу с углами $0$, $\frac\pi6$, $\frac\pi4$, $\frac\pi3$, $\frac\pi2$ и обращается к классу: "Назовите значения синуса и косинуса для этих углов. Какие значения может принимать синус? Что изменится, если аргумент выходит за пределы первого круга?" | Заполняют пропуски в устной таблице, отвечают: "$\sin x$ принимает значения от $-1$ до $1$; синус и косинус периодичны с периодом $2\pi$." |
3 мин | Учитель предлагает быстро сопоставить функции и свойства: "Для какой функции период равен $\pi$? На каком промежутке тангенс возрастает и принимает все действительные значения? Почему уравнение $\cos x=2$ не имеет решений?" | На карточке соединяют утверждения стрелками и объясняют: "У тангенса период $\pi$; уравнение $\cos x=2$ невозможно, так как косинус не выходит за пределы отрезка $[-1;1]$." |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы вспомнили периодичность, табличные значения и ограничения на значения синуса и косинуса. Теперь используем эти знания, чтобы понять смысл обратных функций."
Этап 3. Постановка проблемы и целеполагание (4 мин)
Цель этапа: выявить затруднение в выборе единственного значения обратной функции и сформулировать план открытия.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель записывает: "$\sin x=\frac12$" и спрашивает: "На отрезке $[0;2\pi]$ есть два подходящих угла. Какой из них должен обозначать $\arcsin\frac12$? Почему нельзя считать арксинус всеми решениями уравнения?" | Обсуждают в парах, называют углы $\frac\pi6$ и $\frac{5\pi}6$, формулируют: "Арксинус должен быть однозначной функцией, поэтому выбирается специальный промежуток." |
2 мин | Учитель фиксирует на доске план: "1) определить главные значения; 2) вывести формулы общего решения; 3) решить и проверить уравнения. Сформулируйте цель своими словами." | Записывают цель: "Научиться находить значения обратных тригонометрических функций и решать простейшие тригонометрические уравнения". |
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Проблема поставлена: нужно совместить однозначность обратной функции и бесконечное множество решений уравнения. Переходим к открытию правил."
Этап 4. Открытие нового знания (10 мин)
Цель этапа: сформировать определения обратных тригонометрических функций и вывести формулы решения простейших уравнений.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
4 мин | Учитель показывает графики и говорит: "Арксинус числа $a$ — это единственное число $y$ из отрезка $[-\frac\pi2;\frac\pi2]$, для которого $\sin y=a$. Арккосинус числа $a$ — единственное число $y$ из отрезка $[0;\pi]$, для которого $\cos y=a$. Арктангенс числа $a$ — единственное число $y$ из интервала $(-\frac\pi2;\frac\pi2)$, для которого $\tg y=a$. Обратите внимание: промежутки выбраны так, чтобы функция была взаимно однозначной." | Записывают определения и области значений: $\arcsin a\in[-\frac\pi2;\frac\pi2]$, $\arccos a\in[0;\pi]$, $\arctg a\in(-\frac\pi2;\frac\pi2)$. Отвечают: "$\arcsin\frac12=\frac\pi6$, $\arccos(-1)=\pi$, $\arctg 1=\frac\pi4$." |
3 мин | Учитель записывает формулы: "$\sin x=a\Rightarrow x=(-1)^k\arcsin a+\pi k$, $k\in\mathbb Z$; $\cos x=a\Rightarrow x=\pm\arccos a+2\pi k$; $\tg x=a\Rightarrow x=\arctg a+\pi k$." Затем поясняет: "В первой формуле знак зависит от чётности $k$, во второй учитывается симметрия косинуса, а у тангенса период равен $\pi$." | Сравнивают формулы с графиками, выделяют цветом главное значение и период, задают уточняющие вопросы. |
3 мин | Учитель вместе с классом разбирает: "$\sin x=\frac12$. Получаем $x=(-1)^k\frac\pi6+\pi k$, $k\in\mathbb Z$. Для косинуса: $\cos x=-\frac{\sqrt2}{2}$, значит $x=\pm\frac{3\pi}4+2\pi k$. Для тангенса: $\tg x=\sqrt3$, значит $x=\frac\pi3+\pi k$." | Проговаривают алгоритм: определить допустимость аргумента, найти главное значение, выбрать формулу, указать $k\in\mathbb Z$, выполнить проверку по периоду. |
Запись в тетрадях
Записать определения $\arcsin a$, $\arccos a$, $\arctg a$ и формулы: $\sin x=a\Rightarrow x=(-1)^k\arcsin a+\pi k$; $\cos x=a\Rightarrow x=\pm\arccos a+2\pi k$; $\tg x=a\Rightarrow x=\arctg a+\pi k$, где $k\in\mathbb Z$.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Теперь у нас есть эталон: главное значение задаёт конкретный угол, а периодичность позволяет получить все остальные. Проверим, насколько уверенно мы применяем правила в парной работе."
Этап 5. Первичное закрепление. Работа в парах (7 мин)
Цель этапа: применить новые формулы к типовым уравнениям и научиться объяснять выбор способа решения.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель раздаёт каждой паре карточку и объясняет: "Один участник решает первые два уравнения, второй — следующие два, затем вы меняетесь ролями и взаимно проверяете запись. На карточке есть ошибочное решение: найдите не только ошибку, но и её причину." | Распределяют роли, читают критерии: формула выбрана верно, область допустимых значений учтена, параметр указан. |
4 мин | Учитель предлагает задания: 1) $\arcsin(-\frac12)$; 2) $\arccos\frac{\sqrt2}{2}$; 3) $\sin x=-\frac{\sqrt3}{2}$; 4) $\tg x=-1$. Обходит пары и задаёт вопросы: "Какой промежуток задаёт главное значение? Какой период у функции?" | Решают: $\arcsin(-\frac12)=-\frac\pi6$; $\arccos\frac{\sqrt2}{2}=\frac\pi4$; $x=(-1)^k(-\frac\pi3)+\pi k$; $x=-\frac\pi4+\pi k$, $k\in\mathbb Z$. |
2 мин | Учитель показывает ошибочную запись: "$\cos x=\frac12\Rightarrow x=\frac\pi3+\pi k$" и спрашивает: "Что нарушено? Исправьте решение двумя способами объяснения." | Обсуждают: "У косинуса период $2\pi$, а второе решение связано с симметрией; верно $x=\pm\frac\pi3+2\pi k$." |
Эталон решения
Для $\sin x=-\frac{\sqrt3}{2}$: главное значение $\arcsin(-\frac{\sqrt3}{2})=-\frac\pi3$. По формуле $x=(-1)^k(-\frac\pi3)+\pi k$, $k\in\mathbb Z$. Эквивалентная запись: $x=-\frac\pi3+2\pi n$ или $x=\frac{4\pi}3+2\pi n$, $n\in\mathbb Z$. Для $\cos x=\frac12$: $x=\pm\frac\pi3+2\pi k$, $k\in\mathbb Z$.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы убедились, что главная ошибка возникает при смешении периода синуса, косинуса и тангенса. Теперь каждый самостоятельно проверит, может ли применить алгоритм без подсказки пары."
Этап 6. Самостоятельная работа с самопроверкой (9 мин)
Цель этапа: диагностировать индивидуальное усвоение алгоритма решения и выполнить коррекцию ошибок.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
6 мин | Учитель раздаёт листы трёх уровней. "Выберите уровень по собственной готовности. Обязательный минимум выполняют все. Не забывайте сначала определить вид функции и проверить допустимость аргумента. Работайте самостоятельно, вопросы пока фиксируйте на полях." Задания: базовый — $\arcsin\frac{\sqrt2}{2}$, $\arccos(-\frac12)$, $\tg x=1$; повышенный — $\sin x=-\frac12$, $\cos x=-\frac{\sqrt3}{2}$; дополнительный — сравнить две записи решения $\sin x=\frac{\sqrt2}{2}$ и доказать их равносильность. | Решают индивидуально, записывают формулы и параметр. Возможные ответы: $\frac\pi4$, $\frac{2\pi}3$, $x=\frac\pi4+\pi k$; $x=(-1)^k(-\frac\pi6)+\pi k$; $x=\pm\frac{5\pi}6+2\pi k$. |
3 мин | Учитель открывает эталон на доске: "Проверьте не только конечный ответ, но и три позиции: допустимость аргумента, формулу, период. Ошибку исправьте другим цветом и подпишите её причину." | Сверяют решения, отмечают ошибки, выполняют коррекцию и ставят себе баллы по трём критериям. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Самостоятельная работа показала, что общий алгоритм уже работает, но точность записи параметра и периода требует внимания. Завершим урок рефлексией и зафиксируем следующий шаг обучения."
Этап 7. Рефлексия и домашнее задание (6 мин)
Цель этапа: осмыслить достигнутый результат, выявить индивидуальные затруднения и определить содержание дальнейшей работы.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель предлагает приём «Светофор»: "Поднимите зелёный стикер, если можете самостоятельно найти главное значение и записать общее решение; жёлтый — если нужна тренировка; красный — если пока не различаете формулы. На обратной стороне допишите одно конкретное затруднение." | Выбирают цвет, записывают затруднение: "путаю период косинуса и тангенса", "не уверен в области значений арксинуса", либо отмечают: "могу решить простейшее уравнение". |
1 мин | Учитель задаёт выходной вопрос: "Почему запись $x=\arcsin a$ не является общим решением уравнения $\sin x=a$?" | Письменно отвечают: "Потому что это только главное значение; все решения получают с учётом периодичности и симметрии." |
2 мин | Учитель сообщает домашнее задание и критерии: "Выберите уровень осознанно. В решении обязательно указывайте формулу, область допустимых значений и параметр $k\in\mathbb Z$." | Записывают задание, задают уточняющие вопросы, оценивают достижение цели по шкале от 1 до 5. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Сегодня вы научились переходить от числового значения тригонометрической функции к главному углу и строить множество всех решений уравнения. На следующем уроке мы будем применять эти формулы в более сложных уравнениях, где потребуются преобразования и замена переменной."
Критерии оценивания практической работы
- «5» — верно выполнены все задания выбранного уровня, корректно записаны главные значения, формулы общего решения и условие $k\in\mathbb Z$; учащийся может объяснить выбор периода.
- «4» — верно выполнено большинство заданий, допущена одна неточность в знаке или записи параметра, но способ решения и понимание формул сохранены.
- «3» — выполнены базовые задания на нахождение главных значений и хотя бы одно уравнение, однако требуется коррекция записи общего решения или периода.
- Ниже базового уровня — ученик правильно начинает решение отдельных заданий, но путает области значений или вид формулы; необходима индивидуальная тренировка по таблице-алгоритму.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Что такое $\arcsin a$, $\arccos a$ и $\arctg a$ и чем отличаются их области значений? | Проверка понимания определений и роли главного значения. |
Какую формулу вы выберете для уравнения $\cos x=a$ и почему период равен $2\pi$? | Выявление понимания связи формулы с периодичностью и симметрией. |
Какая ошибка была для вас наиболее вероятной при решении уравнений? | Выявление индивидуальных точек затруднения и планирование коррекционной работы. |
Насколько уверенно вы теперь решаете простейшие тригонометрические уравнения по шкале от 1 до 5? | Субъективная оценка освоения темы и учебной самостоятельности. |
Завершающее слово учителя
"Сегодня мы установили, что обратная тригонометрическая функция даёт главное значение, а не все решения уравнения. Мы научились использовать периодичность и симметрию, чтобы записывать общий ответ. Самая частая ошибка — механически переносить период одной функции на другую, поэтому всегда проверяйте вид функции. На следующем уроке мы продолжим решать уравнения, в которых сначала потребуется выполнить преобразования или свести выражение к знакомому виду."
Домашнее задание
Уровень | Что задать | Зачем |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | Выполнить 6 заданий: найти значения трёх обратных тригонометрических функций и решить по одному уравнению вида $\sin x=a$, $\cos x=a$, $\tg x=a$ с табличными аргументами. | Закрепить определения, области значений и базовые формулы; при проверке обратить внимание на знаки, период и запись $k\in\mathbb Z$. |
Средний (повышающий) | Решить 4 простейших тригонометрических уравнения с отрицательными и иррациональными аргументами, включая одно уравнение без решений из-за нарушения диапазона значений. | Развить выбор формулы и анализ допустимости; проверить полноту общего решения и отсутствие лишних ограничений. |
Продвинутый (дополнительный) | Составить два разных, но равносильных способа записи общего решения уравнения $\sin x=\frac{\sqrt2}{2}$ и обосновать их равносильность; затем придумать аналогичное задание для косинуса. | Развить математическую аргументацию, понимание периодичности и умение создавать математическую задачу. |
Контрольные вопросы перед выходом: «Какой промежуток задаёт $\arcsin a$?», «Каков период косинуса и тангенса?», «Что необходимо указать в общем решении тригонометрического уравнения?». Ответьте на каждый вопрос одной полной фразой.
