Комплексные числа. Действия с комплексными числами в алгебраической форме
Цели и задачи
- Цель урока по SMART: к концу урока учащиеся научатся представлять комплексное число в алгебраической форме $z=a+bi$, выполнять сложение, вычитание и умножение комплексных чисел, используя равенство $i^2=-1$, и проверять результат по алгоритму не менее чем в четырёх из пяти учебных заданий.
- Сформировать представление о комплексном числе как расширении множества действительных чисел и понять роль мнимой единицы $i$.
- Освоить алгоритмы сложения, вычитания и умножения комплексных чисел в алгебраической форме.
- Развивать умение анализировать структуру выражения, выделять действительную и мнимую части, обнаруживать и исправлять ошибки в вычислениях.
- Показать межпредметную связь комплексных чисел с геометрией, физикой и инженерными расчётами; развивать ответственное отношение к точности математической записи.
Планируемые результаты
Личностные
- Осознают значение расширения числовых множеств для развития математики и решения задач, не имеющих действительных корней.
- Проявляют готовность проверять обоснованность вычислений и признавать необходимость исправления ошибки.
- Связывают изучаемый материал с дальнейшим обучением в технических, естественно-научных и экономических направлениях.
- Сохраняют учебную мотивацию при работе с абстрактным понятием и проявляют интеллектуальную самостоятельность.
Метапредметные
- Извлекают правило из нескольких частных примеров и формулируют алгоритм действий.
- Структурируют вычисления, разделяя действительную и мнимую части результата.
- Работают с математической информацией, проверяют промежуточные преобразования и аргументируют выбранный способ.
- Сотрудничают в паре, распределяют роли вычислителя и проверяющего, корректно обсуждают расхождения.
- Используют межпредметную модель комплексного числа как точки на координатной плоскости и как математического описания величины.
Предметные
- Знать определение комплексного числа $z=a+bi$, смысл действительной и мнимой частей, а также равенство $i^2=-1$.
- Уметь складывать и вычитать комплексные числа почленно по действительной и мнимой частям.
- Уметь умножать комплексные числа в алгебраической форме и приводить результат к виду $a+bi$.
- Уметь находить действительную и мнимую части комплексного числа и распознавать равные комплексные числа.
- Владеть алгоритмом самопроверки вычислений и уметь объяснить каждый этап преобразования.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Определяют личный смысл изучения комплексных чисел как языка описания математических и прикладных моделей.
- Оценивают собственную готовность работать с новым абстрактным объектом.
- Проявляют настойчивость при поиске ошибки в непривычной записи.
- Формируют ответственное отношение к точности символических преобразований.
Регулятивные УУД
- Самостоятельно формулируют цель урока после анализа проблемного примера.
- Планируют последовательность действий при сложении, вычитании и умножении комплексных чисел.
- Осуществляют пошаговый самоконтроль с использованием эталона.
- Сопоставляют полученный результат с условием, находят и корректируют вычислительные ошибки.
- Оценивают степень освоения каждого алгоритма по листу самооценки.
Познавательные УУД
- Сравнивают действия с комплексными и действительными числами, выделяя общее и особенное.
- Анализируют произведение $(a+bi)(c+di)$ и моделируют переход к виду $x+yi$.
- Классифицируют выражения по действительной и мнимой частям.
- Строят простую координатную модель комплексного числа на комплексной плоскости.
- Используют математическую символику для краткого и точного описания рассуждений.
Коммуникативные УУД
- Работают в паре по ролям «решающий» и «проверяющий», затем меняются ролями.
- Формулируют вопросы к способу решения и дают аргументированную обратную связь.
- Объясняют партнёру, почему $i^2=-1$, а не $i^2=i$.
- Согласовывают общий ответ при расхождении результатов.
- Представляют классу краткое доказательство или исправление найденной ошибки.
Подготовка учителя к уроку
- Подготовить презентацию или запись на доске с уравнением $x^2+1=0$, определением $i^2=-1$ и схемой перехода к виду $a+bi$.
- Распечатать карточки для парной работы двух уровней: базовые вычисления и задания с поиском ошибки — по одной карточке на пару, всего по числу пар класса.
- Подготовить индивидуальные листы самопроверки с пятью заданиями и полем «действительная часть / мнимая часть».
- Вывесить на доске памятку: $(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i$; $(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i$; $i^2=-1$.
- Подготовить стикеры трёх цветов для приёма «Светофор» и рефлексии.
- Подготовить координатную сетку на экране или в раздаточном виде для изображения комплексных чисел как точек.
- Организовать рабочие места для парной работы; на каждой парте должны быть тетрадь, ручка, карточка и лист самопроверки.
- Подготовить короткий межпредметный комментарий о применении комплексных чисел в электротехнике, обработке сигналов и описании колебаний без перегрузки формулами.
Ход урока
Этап 1. Организационный момент и мотивация (3 мин)
Цель этапа: включить учащихся в исследовательскую деятельность и показать необходимость расширения множества чисел.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель приветствует класс и говорит: "Здравствуйте. Сегодня мы начнём изучать числа, которые сначала кажутся невозможными. Откройте тетради, запишите дату и тему урока. Важно не просто запомнить новые обозначения, а понять, какую проблему они решают." | Записывают дату и тему урока, готовят тетради и ручки. |
2 мин | Учитель показывает на доске уравнение $x^2+1=0$ и обращается к классу: "Попробуйте решить его в множестве действительных чисел. Что мешает получить ответ? Почему математика не останавливается на этом затруднении? Сегодня мы исследуем новый числовой объект и сами выведем правила действий с ним." | Решают уравнение, формулируют: "Действительного числа, квадрат которого равен $-1$, не существует"; высказывают предположение: "Нужно расширить множество чисел". |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы увидели, что известных чисел недостаточно для решения простого уравнения. Теперь проверим, какие знания о степенях и раскрытии скобок помогут нам открыть новый способ записи."
Этап 2. Актуализация знаний и работа в парах (6 мин)
Цель этапа: актуализировать действия с буквенными выражениями, свойства сложения и умножения, а также зафиксировать место затруднения.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель раздаёт каждой паре мини-карточку и говорит: "Приём «Подумай — обсуди в паре — поделись». Сначала за 30 секунд каждый самостоятельно упростит выражение $(a+bi)+(c+di)$. Затем сравните записи и выделите одинаковые по структуре слагаемые. Не подставляйте числа — работайте с буквами." | Индивидуально преобразуют выражение, затем обсуждают его в паре и формулируют: $(a+c)+(b+d)i$. |
2 мин | Учитель предлагает второе выражение: $(a+bi)(c+di)$. "Раскройте скобки так, как вы делали это с многочленами. Пока не упрощайте результат полностью: отметьте, какой член потребует нового правила." | В парах раскрывают скобки и получают $ac+adi+bci+bdi^2$; указывают на $i^2$ как на неизвестный элемент. |
2 мин | Учитель организует короткое обсуждение: "Какие действия нам уже понятны? Где именно возникает недостаток прежних знаний? Назовите его одним предложением." Учитель фиксирует на доске ответы и выделяет место затруднения. | Представляют ответы: "Сложение похоже на сложение многочленов; при умножении появляется $i^2$"; формулируют затруднение: "Мы не знаем, как преобразовать квадрат мнимой единицы". |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы умеем выполнять почти все преобразования, но нам не хватает одного определения. Сформулируем цель так, чтобы к концу урока каждый мог не только назвать это правило, но и применить его в вычислениях."
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Этап 3. Постановка проблемы и целеполагание (4 мин)
Цель этапа: вывести определение мнимой единицы и совместно определить план открытия нового знания.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель возвращается к уравнению и говорит: "Введём специальное число $i$, для которого по определению $i^2=-1$. Это не ошибка вычисления, а новое математическое соглашение. Если действительное число $a$ умножить на $i$, получим мнимую часть $ai$. Как, по-вашему, будет выглядеть число, содержащее действительную и мнимую части?" | Отвечают: "В виде $a+bi$"; записывают определение комплексного числа. |
2 мин | Учитель спрашивает: "Какие шаги нам нужно выполнить сегодня? Составьте план из трёх пунктов: определить запись, открыть правила действий, проверить их на задачах." Учитель уточняет формулировки и записывает общий план на доске. | Формулируют план: "Повторить вид $a+bi$; вывести сложение, вычитание и умножение; решить задания и проверить ответы". |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Цель поставлена: мы не получаем готовый набор формул, а проверяем, как он возникает из определения $i^2=-1$ и обычных правил работы с многочленами. Переходим к открытию алгоритмов."
Этап 4. Открытие нового знания. Алгебраическая форма (10 мин)
Цель этапа: вывести и осмыслить правила сложения, вычитания и умножения комплексных чисел в алгебраической форме.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель записывает на доске: $z_1=a+bi$, $z_2=c+di$ и говорит: "Сначала сложим два числа. Сгруппируем действительные части и отдельно мнимые: $(a+bi)+(c+di)=a+c+bi+di$. Какие слагаемые можно объединить? Запишите общий результат и проговорите правило словами." | Записывают вывод: $(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i$; объясняют: "Складываются действительные части и отдельно коэффициенты при $i$". |
2 мин | Учитель продолжает: "Для вычитания внимательно следим за скобками. Раскройте скобки в выражении $(a+bi)-(c+di)$. Почему знак перед $di$ меняется?" | Раскрывают скобки и получают $(a-c)+(b-d)i$; отвечают: "Потому что вычитается вся сумма $c+di$". |
3 мин | Учитель показывает умножение: "Рассмотрим $(a+bi)(c+di)$. Раскроем скобки: $ac+adi+bci+bdi^2$. Используем $i^2=-1$: последний член становится $-bd$. Объединим действительную и мнимую части. Проверьте, какая формула получилась." | Пошагово записывают: $(a+bi)(c+di)=ac+adi+bci-bd=(ac-bd)+(ad+bc)i$; называют действительную часть $ac-bd$ и мнимую часть $ad+bc$. |
2 мин | Учитель организует проверку через координатную модель: "На экране показана комплексная плоскость. Число $a+bi$ можно сопоставить точке с координатами $(a;b)$. Это не заменяет вычисления, но помогает разделять две части числа. Где будет расположено число $3-2i$?" | Называют координаты точки $(3;-2)$, отмечают её на сетке и формулируют: "Первая координата — действительная часть, вторая — коэффициент при $i$". |
Запись в тетрадях
- Комплексное число имеет вид $z=a+bi$, где $a,b\in\mathbb{R}$, а $i^2=-1$.
- Действительная часть: $\operatorname{Re}z=a$; мнимая часть: $\operatorname{Im}z=b$.
- $(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i$.
- $(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i$.
- $(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i$.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы вывели все три правила из двух опор: раскрытия скобок и равенства $i^2=-1$. Теперь применим их сначала вместе, в паре, а затем самостоятельно."
Этап 5. Первичное закрепление в парах (8 мин)
Цель этапа: отработать алгоритмы вычислений с проговариванием каждого шага и взаимной проверкой.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель раздаёт карточки и говорит: "Работаем в парах по ролям. Первый ученик решает, второй вслух проверяет: раскрыты ли скобки, правильно ли объединены действительная и мнимая части. Затем поменяйтесь ролями. Задание 1: вычислите $(3+2i)+(5-7i)$ и $(6-4i)-(1+3i)$." | Решают и проговаривают: $(3+2i)+(5-7i)=8-5i$; $(6-4i)-(1+3i)=5-7i$. Проверяют знаки. |
3 мин | Учитель предлагает: "Задание 2: найдите произведение $(2+3i)(1-4i)$. Не пропускайте промежуточную строку. После решения объясните партнёру, откуда появляется положительный член $12$ в действительной части." | Раскрывают скобки: $2-8i+3i-12i^2=2-5i+12=14-5i$; объясняют, что $-12i^2=12$. |
3 мин | Учитель показывает на доске ошибочное решение: $(1+2i)(3+i)=3+i+6i+2i=3+9i$. "Найдите ошибку, используя приём «Редактор». Запишите исправленное решение и сформулируйте правило для последнего произведения." | В парах находят пропуск $2i\cdot i=2i^2=-2$; исправляют: $(1+2i)(3+i)=3+i+6i+2i^2=1+7i$; формулируют: "Степень $i^2$ нужно заменить на $-1$". |
Эталон решения
$(1+2i)(3+i)=3+i+6i+2i^2=3+7i-2=1+7i$. Действительная часть результата равна $1$, мнимая часть равна $7$. Ошибка в исходной записи состоит в том, что произведение $2i\cdot i$ было заменено на $2i$, хотя $2i\cdot i=2i^2=-2$.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Вы проверили не только ответы, но и структуру решения. Главный риск — потерять знак при вычитании или забыть заменить $i^2$ на $-1$. Сейчас каждый покажет, насколько уверенно умеет применять алгоритмы без помощи партнёра."
Этап 6. Самостоятельная работа с самопроверкой (9 мин)
Цель этапа: диагностировать индивидуальное освоение трёх действий и организовать коррекцию ошибок.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель объясняет инструкцию: "Работаем индивидуально. В каждом ответе выделите действительную и мнимую части. Выполните три обязательных задания: $z_1+z_2$ для $z_1=4-3i$, $z_2=-2+5i$; $z_1-z_2$; произведение $(2-i)(3+2i)$. Затем выберите одно дополнительное задание на анализ ошибки." | Записывают условия и самостоятельно планируют порядок решения. |
5 мин | Учитель наблюдает и при необходимости задаёт направляющие вопросы: "Что объединяется после раскрытия скобок? Где в вашей записи использовано $i^2=-1$? Проверьте, не изменился ли знак у всей второй скобки." Через пять минут выводит на экран эталон: $2+2i$, $6-8i$, $8+i$. | Решают задания, сверяют каждый шаг с памяткой, отмечают исправленные ошибки. Для дополнительного задания анализируют утверждение: $(2+i)^2=5+4i$ и подтверждают или опровергают его. |
3 мин | Учитель проводит самопроверку: "Поставьте плюс рядом с действием, которое выполняете уверенно, и вопрос рядом с тем, где потребовалась помощь. Поднимите зелёный стикер, если можете объяснить алгоритм, жёлтый — если нужна тренировка, красный — если правило пока не воспроизводится." | Проверяют работу, подсчитывают верные ответы, заполняют лист самооценки и показывают стикер выбранного цвета. |
Этап 7. Включение в систему знаний, межпредметная связь и рефлексия (5 мин)
Цель этапа: связать новый материал с геометрическим представлением и прикладными областями, осмыслить результат урока.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель показывает на экране две точки комплексной плоскости и говорит: "В геометрии число $a+bi$ изображается точкой $(a;b)$. В физике и инженерии комплексные числа позволяют кратко описывать колебания и электрические сигналы: действительная и мнимая части хранят разные компоненты модели. Почему точная работа со знаками здесь особенно важна?" | Обсуждают в парах и отвечают: "Ошибка в знаке изменит координаты и результат модели"; приводят связь с координатами, векторами или сигналами. |
2 мин | Учитель предлагает «Одноминутную работу»: "Запишите одним предложением, что такое комплексное число, и одной строкой — алгоритм умножения. Затем ответьте: какое правило сегодня оказалось самым важным?" | Пишут определение и алгоритм, формулируют: "Раскрыть скобки, заменить $i^2$ на $-1$, собрать действительную и мнимую части". |
1 мин | Учитель проводит итоговый «Светофор»: "Покажите цвет и завершите фразу: «Теперь я умею…», «Мне нужно повторить…». Сдайте лист самопроверки у выхода." | Показывают стикеры, завершают фразы, сдают листы и фиксируют домашнее задание. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Сегодня мы расширили привычное представление о числе и вывели правила действий с комплексными числами. Вы увидели, что новое правило не возникает произвольно: оно связано с определением $i^2=-1$ и обычными законами алгебры. На следующем уроке продолжим исследование комплексных чисел и рассмотрим новые способы их представления."
Критерии оценивания практической работы
- «5» — верно выполнены все три обязательных задания и дополнительный анализ ошибки; вычисления записаны последовательно, действительная и мнимая части выделены корректно.
- «4» — верно выполнены три обязательных задания, но допущена одна вычислительная неточность или пропущено пояснение одного шага; ошибка исправлена при самопроверке.
- «3» — верно выполнены не менее двух обязательных заданий, определение $i^2=-1$ применено хотя бы в одном произведении, основные ошибки выявлены с помощью эталона.
- Результат ниже отметки «3» означает необходимость повторить памятку и выполнить дополнительную тренировку на сложение, вычитание и умножение.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Что нового вы узнали о записи комплексного числа? | Проверка осознания вида $a+bi$ и различия действительной и мнимой частей. |
Какой шаг алгоритма умножения требует наибольшего внимания? | Выявление точки затруднения: раскрытие скобок, использование $i^2=-1$ или сбор подобных частей. |
Как вы проверяли правильность собственного результата? | Диагностика сформированности самоконтроля и регулятивных действий. |
Где комплексные числа могут быть полезны за пределами урока? | Осмысление межпредметной связи и личной значимости нового материала. |
Завершающее слово учителя
"Сегодня мы увидели, зачем математике понадобилось расширить множество действительных чисел, и научились выполнять три базовых действия с комплексными числами. Самая частая ошибка — забыть, что $i^2=-1$, или потерять знак перед второй скобкой при вычитании. Поэтому всегда записывайте промежуточный шаг и отдельно контролируйте действительную и мнимую части. На следующем уроке мы продолжим работу с комплексными числами и рассмотрим, как разные формы записи помогают исследовать их свойства."
Домашнее задание
Уровень | Что задать | Зачем |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | Выполнить 4 задания на сложение и вычитание комплексных чисел в виде $a+bi$ и 3 задания на нахождение действительной и мнимой частей результата. | Закрепляет почленное выполнение действий; при проверке обратить внимание на знаки и корректное выделение частей. |
Средний (повышающий) | Решить 4 задания на умножение комплексных чисел, включая произведения с отрицательными коэффициентами и выражения вида $(a+bi)^2$; каждое решение записать минимум в две строки. | Формирует устойчивый алгоритм раскрытия скобок и применения $i^2=-1$; проверять наличие промежуточной записи. |
Продвинутый (дополнительный) | Исследовать в трёх примерах связь числа $a+bi$ с точкой $(a;b)$ на координатной плоскости и составить собственное выражение, в котором при умножении возникает чисто действительный результат. | Развивает исследовательское мышление и межпредметную связь с геометрией; проверить обоснование, а не только конечный ответ. |
Контрольные вопросы перед выходом из класса: «Как записывается комплексное число? Чему равно $i^2$? Как получить действительную часть произведения $(a+bi)(c+di)$? Как проверить, что результат приведён к алгебраической форме?»
