Теорема Виета для уравнений высших степеней
Цели и задачи
- Цель по SMART: к концу урока научиться формулировать обобщённую теорему Виета и применять её для нахождения неизвестных коэффициентов, проверки корней и рационального разложения многочленов степени выше второй.
- Сформулировать обобщённую связь между корнями приведённого многочлена и его коэффициентами.
- Вывести и объяснить формулы для суммы, попарных произведений и произведения корней многочлена третьей степени.
- Применить теорему Виета к решению исследовательских и практических алгебраических задач, аргументируя каждый шаг.
- Развивать самостоятельность, математическую речь, навыки проверки решения и готовность к работе с нестандартными заданиями повышенной сложности.
Планируемые результаты
Личностные
- Осознавать ценность доказательного рассуждения и проверки результата в математике.
- Проявлять интерес к исследовательским задачам, в которых известная теорема переносится на новый класс объектов.
- Понимать связь алгебраических методов с дальнейшим изучением математики, информатики, физики и технических дисциплин.
- Принимать ответственность за собственную стратегию решения и корректно обсуждать различные способы рассуждения.
Метапредметные
- Извлекать информацию из символьной записи многочлена и преобразовывать её в математическую модель.
- Сравнивать частные случаи для квадратного и кубического уравнений, выявляя общий принцип.
- Планировать исследование, фиксировать гипотезу, проверять её подстановкой и корректировать ошибочное рассуждение.
- Аргументированно представлять решение в паре и оценивать его полноту по заданным критериям.
Предметные
- Знать обобщённую теорему Виета для приведённого многочлена степени n.
- Уметь записывать связи между корнями и коэффициентами уравнений третьей и четвёртой степени.
- Уметь находить неизвестный коэффициент многочлена по заданным корням или симметрическим выражениям корней.
- Уметь проверять разложение многочлена на линейные множители и обнаруживать ошибки в применении теоремы.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Проявляют смыслообразование через понимание роли теоремы Виета как общего способа организации алгебраической информации.
- Оценивают собственную готовность применять известный метод в незнакомой ситуации.
- Развивают настойчивость при поиске закономерности и проверке гипотезы.
Регулятивные УУД
- Формулируют цель исследования и намечают последовательность действий.
- Сверяют промежуточные выводы с исходной записью многочлена.
- Самостоятельно находят и исправляют ошибку в знаках или коэффициентах.
- Оценивают результат по критериям: корректность формул, обоснованность переходов, проверка ответа.
Познавательные УУД
- Выделяют коэффициенты и корни как элементы единой структуры многочлена.
- Устанавливают аналогию между квадратным, кубическим и многочленом произвольной степени.
- Моделируют многочлен в виде произведения линейных множителей.
- Используют анализ, обобщение и символическое преобразование для доказательства формулы.
Коммуникативные УУД
- Формулируют вопросы о закономерности знаков и коэффициентов.
- Объясняют партнёру ход вывода, не подменяя доказательство готовым ответом.
- Сравнивают стратегии решения и аргументированно выбирают более рациональную.
- Корректно принимают замечания и уточняют математические формулировки.
Подготовка учителя к уроку
- Подготовить презентацию или запись на доске с квадратным уравнением, кубическим многочленом и общей формой многочлена степени n.
- Распечатать исследовательские карточки трёх уровней: по одной карточке на каждого ученика, всего 30 экземпляров.
- Подготовить карточки для парной проверки с двумя решениями, содержащими типичные ошибки в знаках.
- Вывести на доску памятку: «разложить многочлен на множители — раскрыть скобки — сопоставить коэффициенты — проверить».
- Подготовить стикеры трёх цветов для приёма «Светофор»: зелёный — понял, жёлтый — нужна тренировка, красный — требуется помощь.
- Подготовить таймер на 3 и 5 минут для исследовательских заданий.
- Оставить на доске место для записи формул кубического уравнения и общего закона.
- Распечатать лист самооценки по одному экземпляру на каждого ученика.
- Подготовить проектор или интерактивную доску; обеспечить каждому ученику тетрадь, ручку и черновик.
Ход урока
Этап 1. Организационный момент и мотивация (3 мин)
Цель этапа: включить учащихся в исследовательскую деятельность и показать, что известная теорема может работать за пределами квадратного уравнения.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель приветствует класс и показывает на доске записи $x^2-5x+6=0$ и $x^3-6x^2+11x-6=0$. Реплика: "Здравствуйте, ребята. Сегодня мы не просто применим знакомую формулу, а проверим, насколько далеко распространяется идея Виета. Посмотрите на две записи: чем они похожи и чем различаются?" | Сравнивают уравнения и формулируют: "Оба уравнения связаны с корнями и коэффициентами, но второе имеет третью степень". |
2 мин | Учитель организует приём «Проблемный вопрос»: "Для квадратного уравнения мы умеем связать сумму и произведение корней с коэффициентами. Можно ли построить аналогичную систему для кубического уравнения и даже для многочлена произвольной степени? Сегодня наша задача — не угадать ответ, а вывести его из разложения на множители." | Записывают тему, выдвигают гипотезы: "Да, должны появиться сумма корней, суммы попарных произведений и произведение всех корней". |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы увидели, что знакомая связь может быть частью более общего закона. Сначала восстановим опорные знания, а затем самостоятельно выведем формулы для многочлена третьей степени."
Этап 2. Актуализация знаний (5 мин)
Цель этапа: восстановить разложение многочлена на линейные множители и формулы Виета для квадратного уравнения.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель записывает на доске $x^2+px+q=0$ и спрашивает: "Если корни этого уравнения обозначить $x_1$ и $x_2$, как записать левую часть через корни? Что произойдёт после раскрытия скобок?" | Отвечают: "$x^2+px+q=(x-x_1)(x-x_2)$"; раскрывают скобки и получают $x_1+x_2=-p$, $x_1x_2=q$. |
3 мин | Учитель предлагает мини-проверку: "Определите сумму и произведение корней уравнения $x^2-7x+10=0$. Затем проверьте, что найденные числа действительно являются корнями." Учитель просит объяснить, почему проверка подстановкой обязательна. | Решают: сумма корней равна $7$, произведение равно $10$; называют корни $2$ и $5$, выполняют подстановку и делают вывод о корректности. |
Эталон решения
Для $x^2-7x+10=0$ по теореме Виета $x_1+x_2=7$, $x_1x_2=10$. Числа $2$ и $5$ имеют сумму $7$ и произведение $10$. Проверка: $2^2-7\cdot2+10=0$, $5^2-7\cdot5+10=0$.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы восстановили главный механизм: представили многочлен как произведение множителей и сопоставили коэффициенты. Теперь применим тот же механизм к трём множителям и посмотрим, какие выражения возникнут."
Этап 3. Постановка проблемы и целеполагание (4 мин)
Цель этапа: сформулировать исследовательскую задачу и определить ожидаемый результат урока.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель записывает $P(x)=x^3+ax^2+bx+c$ и обращается к классу: "Предположим, что корни этого многочлена — $x_1$, $x_2$, $x_3$. Запишите разложение на множители. Не раскрывайте скобки полностью сразу: сначала предположите, какие группы выражений могут появиться." | Записывают $P(x)=(x-x_1)(x-x_2)(x-x_3)$, называют ожидаемые выражения: сумма трёх корней, суммы попарных произведений и произведение трёх корней. |
2 мин | Учитель фиксирует на доске план исследования: "Первое — раскрыть произведение. Второе — сопоставить коэффициенты. Третье — применить формулы к задаче. Четвёртое — проверить результат. Как сформулируем цель урока одним предложением?" | Формулируют цель: "Вывести и применить теорему Виета для уравнений третьей и более высокой степени". |
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Цель определена: мы должны получить не готовую памятку, а обоснованный закон. Переходим к исследованию — именно здесь появится новое знание."
Этап 4. Открытие нового знания: вывод обобщённой теоремы Виета (10 мин)
Цель этапа: вывести связи между корнями и коэффициентами приведённого многочлена третьей степени и обобщить их.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
4 мин | Учитель предлагает работу в парах: "Раскройте произведение $(x-x_1)(x-x_2)(x-x_3)$. Работайте аккуратно: сначала объедините два первых множителя, затем умножьте результат на третий. На экране записаны только промежуточные подсказки, а не готовый ответ." | В парах раскрывают скобки и получают $x^3-(x_1+x_2+x_3)x^2+(x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3)x-x_1x_2x_3$. |
3 мин | Учитель задаёт вопросы Сократовского диалога: "Какой коэффициент стоит при $x^2$? Почему перед суммой стоит знак минус? Какая комбинация корней стоит при $x$? Как связан свободный член с произведением корней?" Учитель вписывает ответы в общую схему. | Объясняют: коэффициент при $x^2$ равен $-(x_1+x_2+x_3)$; коэффициент при $x$ равен сумме попарных произведений; свободный член равен $-x_1x_2x_3$. |
3 мин | Учитель формулирует вывод: "Для уравнения $x^3+ax^2+bx+c=0$ сопоставьте полученную запись с коэффициентами. Затем подумайте, как изменятся формулы, если старший коэффициент равен не единице." | Записывают $x_1+x_2+x_3=-a$, $x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3=b$, $x_1x_2x_3=-c$. Делают вывод: сначала нужно разделить все коэффициенты на старший коэффициент. |
Запись в тетрадях
Для приведённого многочлена $x^n+a_1x^{n-1}+a_2x^{n-2}+\dots+a_n=0$ корни $x_1,\dots,x_n$ связаны с коэффициентами знакопеременно: $x_1+\dots+x_n=-a_1$; сумма попарных произведений равна $a_2$; сумма произведений по три корня равна $-a_3$; произведение всех корней равно $(-1)^na_n$.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы вывели формулы не для одного примера, а увидели общий принцип: коэффициенты многочлена — это элементарные симметрические выражения его корней. Теперь проверим новый закон на конкретном кубическом уравнении."
Этап 5. Первичное закрепление в парах (7 мин)
Цель этапа: применить выведенные формулы к нахождению корней и неизвестного коэффициента.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель записывает задачу: "Решите уравнение $x^3-6x^2+11x-6=0$, используя теорему Виета. Не перебирайте числа бессистемно: сначала используйте сумму и произведение корней." | В парах обозначают корни $x_1,x_2,x_3$, используют $x_1+x_2+x_3=6$ и $x_1x_2x_3=6$, подбирают числа $1,2,3$ и проверяют сумму попарных произведений. |
2 мин | Учитель предлагает вторую задачу: "Многочлен $x^3-4x^2+px-8$ имеет корни $2$, $x_2$, $x_3$, причём $x_2+x_3=2$. Найдите $p$ и свободный член проверьте через произведение корней." | Находят $p=x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3=2(x_2+x_3)+x_2x_3$; из произведения $2x_2x_3=8$ получают $x_2x_3=4$, поэтому $p=8$. Сверяют результат. |
2 мин | Учитель проводит взаимопроверку по критериям: "Проверьте наличие трёх формул, правильность знаков и подстановку найденных корней. Поставьте партнёру две звезды за сильные стороны и одно пожелание." | Проверяют решения партнёра, отмечают корректность формул, знаков и проверки, формулируют одно конкретное замечание. |
Эталон решения
Для $x^3-6x^2+11x-6=0$: сумма корней $x_1+x_2+x_3=6$, сумма попарных произведений равна $11$, произведение корней равно $6$. Числа $1$, $2$, $3$ удовлетворяют всем условиям: $1+2+3=6$, $1\cdot2+1\cdot3+2\cdot3=11$, $1\cdot2\cdot3=6$. Следовательно, корни: $1$, $2$, $3$.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы применили теорему как систему ограничений и быстро восстановили корни. Теперь каждый проверит себя самостоятельно, а затем попробует перенести этот способ на многочлен четвёртой степени."
Этап 6. Самостоятельная работа с самопроверкой (8 мин)
Цель этапа: диагностировать индивидуальное понимание обобщённой теоремы Виета и умение выбирать стратегию решения.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
5 мин | Учитель раздаёт карточки трёх уровней и говорит: "Выберите уровень, который соответствует вашей готовности. Уровень 1: для уравнения $x^3-3x^2-4x+12=0$ найдите рациональные корни и разложение. Уровень 2: найдите неизвестный коэффициент $m$ в уравнении $x^3-5x^2+mx-6=0$, если один корень равен $2$. Уровень 3: для многочлена $x^4-7x^3+px^2+qx-12$ известны два корня $1$ и $2$; выразите оставшиеся симметрические комбинации через $p$ и $q$ и определите, какие данные нужны для однозначного ответа." | Индивидуально решают выбранное задание, записывают формулы и промежуточные выводы, проверяют результат раскрытием скобок или подстановкой. |
3 мин | Учитель показывает эталон на доске и организует самопроверку: "Сверьте не только ответ, но и ход решения. Если обнаружили ошибку, обведите её и рядом запишите исправленный шаг. Поднимите зелёную карточку, если можете объяснить решение, жёлтую — если нужна тренировка, красную — если требуется разбор." | Сверяют решения, исправляют ошибки, выбирают цвет самооценки и формулируют причину затруднения: "ошибка в знаке", "не учёл старший коэффициент", "не хватило условия для единственного ответа". |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Самостоятельная работа показала, что теорема Виета требует не механической подстановки, а анализа всей системы связей. Осталось включить новое знание в общую систему и ответить на главный вопрос урока."
Этап 7. Включение в систему знаний и рефлексия (5 мин)
Цель этапа: обобщить алгоритм, связать материал с квадратным уравнением и зафиксировать индивидуальный результат.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель организует приём «Снежный ком»: "Сначала каждый за 30 секунд назовите один шаг применения теоремы Виета. Затем объединитесь в пары и составьте общий алгоритм из четырёх шагов. Две пары озвучат итог." | Индивидуально записывают шаг, в парах формируют алгоритм: привести многочлен к старшему коэффициенту 1, выписать связи, использовать известные данные, проверить результат. |
2 мин | Учитель возвращается к проблемному вопросу: "Можно ли построить аналог теоремы Виета для уравнения любой степени? Что именно связывает теорема?" | Отвечают: "Да, для приведённого многочлена любой степени коэффициенты связаны с симметрическими выражениями корней". |
1 мин | Учитель раздаёт лист самооценки и просит завершить «Билет на выход»: "Запишите одну формулу, которую сегодня вывели, один типичной ошибки и один вопрос, который вы готовы задать на следующем уроке." | Заполняют лист самооценки и сдают «Билет на выход» при выходе. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Сегодня мы прошли путь от частного случая для квадратного уравнения к общей закономерности для многочленов. Проверьте дома, насколько уверенно вы сможете восстановить формулы без подсказки."
Критерии оценивания практической работы
- «5» — верно выведены или применены формулы Виета, решена основная задача и задача повышенного уровня, все знаки указаны корректно, выполнена проверка результата.
- «4» — основная задача решена верно, допущена одна неточность в записи или неполное обоснование дополнительного задания, общий алгоритм применения теоремы понятен.
- «3» — выполнена базовая задача с использованием готовых формул, но допущены отдельные ошибки в знаках или отсутствует полноценная проверка.
- Ниже отметки «3» — формулы применены фрагментарно, не различены сумма корней и сумма попарных произведений, решение требует индивидуального разбора.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Какую связь между корнями и коэффициентами многочлена вы сегодня вывели? | Проверка осознания главного математического результата урока. |
На каком шаге решения возникло наибольшее затруднение: приведение многочлена, выбор формулы или проверка? | Выявление точек затруднения в алгоритме применения теоремы. |
Почему при переходе к многочлену с ведущим коэффициентом, не равным единице, требуется предварительное приведение? | Проверка понимания условия применимости обобщённой теоремы Виета. |
Какой уровень домашнего задания вы выбираете и почему? | Формирование самооценки, учебной самостоятельности и ответственности за выбор сложности. |
Завершающее слово учителя
"Сегодня мы увидели, что теорема Виета — это не только формулы для квадратного уравнения, а общий язык, связывающий корни многочлена с его коэффициентами. Особенно внимательно следите за чередованием знаков и не забывайте приводить многочлен к старшему коэффициенту, равному единице. Любой найденный результат проверяйте подстановкой или раскрытием скобок. На следующем уроке мы рассмотрим более сложные задачи на разложение многочленов и использование симметрии корней."
Домашнее задание
Уровень | Что задать | Зачем |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | Решить 3 кубических уравнения, корни которых являются целыми или рациональными числами; для каждого записать сумму, сумму попарных произведений и произведение корней, затем выполнить проверку. | Закрепляет формулы Виета для третьей степени; при проверке обратить внимание на знаки и полноту проверки. |
Средний (повышающий) | Решить 3 задачи на нахождение неизвестного коэффициента многочлена по одному или нескольким заданным корням и дополнительным условиям. | Формирует умение составлять систему связей между корнями и коэффициентами, а не только находить корни перебором. |
Продвинутый (дополнительный) | Исследовать многочлен четвёртой степени: записать связи между четырьмя корнями и коэффициентами, затем решить одну задачу, где известны два корня и один коэффициент. | Развивает обобщение, символическое мышление и подготовку к нестандартным задачам повышенной сложности. |
Контрольные вопросы перед выходом: «Для какого вида многочлена непосредственно применяется обобщённая теорема Виета? Как связаны коэффициент при $x^2$ и сумма корней кубического уравнения? Как проверить найденное разложение? Почему знаки в формулах чередуются?»
