Чётность и нечётность функции. Нули функции
Цели и задачи
- Цель урока по SMART: к концу урока научиться по формуле и графику функции определять её чётность или нечётность, находить нули функции и обосновывать полученный вывод.
- Установить определения чётной и нечётной функции и выявить связь этих свойств с симметрией графика относительно оси ординат и начала координат.
- Сформировать умение проверять условие симметрии области определения относительно нуля и применять алгоритм исследования функции.
- Развивать исследовательское, логическое и критическое мышление при сравнении функций и анализе графиков.
- Формировать ответственное отношение к математическому обоснованию ответа и самостоятельной проверке результата.
Планируемые результаты
Личностные
- Осознавать ценность строгого обоснования математического вывода при решении задач.
- Проявлять готовность самостоятельно выбирать способ исследования функции и проверять его корректность.
- Связывать изучаемые свойства функций с дальнейшим изучением математики и решением задач повышенного уровня.
- Оценивать собственный прогресс и причины затруднений без формального сравнения с другими учениками.
Метапредметные
- Извлекать информацию из формулы, таблицы значений и графика функции.
- Планировать исследование функции по алгоритму и фиксировать промежуточные выводы.
- Сравнивать математические объекты по заданным признакам и аргументировать классификацию.
- Использовать символическую запись, графическую модель и устное объяснение одного и того же свойства.
Предметные
- Знать определения чётной и нечётной функции, нуля функции и оси симметрии графика.
- Уметь проверять симметричность области определения относительно нуля.
- Уметь устанавливать чётность или нечётность функции по формуле и графику.
- Уметь находить нули функции как решения уравнения $f(x)=0$ и отмечать их на графике.
- Понимать, что функция может не быть ни чётной, ни нечётной.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Определяют личную учебную цель: научиться объяснять свойства функции, а не только называть ответ.
- Осознают значение точности записи области определения и условий применимости алгоритма.
- Проявляют познавательный интерес к исследованию закономерностей на графиках.
Регулятивные УУД
- Формулируют цель исследования функции и составляют последовательность действий.
- Сверяют решение с эталоном и находят ошибку в проверке чётности или нечётности.
- Оценивают степень освоения алгоритма по результатам самостоятельной работы.
- Корректируют способ решения после обсуждения типичной ошибки.
Познавательные УУД
- Выделяют существенные признаки чётной, нечётной функции и нуля функции.
- Преобразуют формулу $f(-x)$ и сопоставляют её с $f(x)$ и $-f(x)$.
- Строят логическую цепочку от области определения к выводу о свойстве функции.
- Моделируют свойства функции с помощью таблицы значений и графика.
Коммуникативные УУД
- Формулируют полный математический ответ с использованием определений и символов.
- Обсуждают гипотезы в парах и задают уточняющие вопросы.
- Аргументированно принимают или опровергают утверждения одноклассников.
- Распределяют роли при совместном исследовании карточки.
Подготовка учителя к уроку
- Подготовить презентацию с координатной плоскостью, графиками функций $y=x^2$, $y=x^3$, $y=x+1$ и точками пересечения с осью $Ox$.
- Распечатать карточки трёх уровней: по одной на каждого ученика, всего по числу учащихся класса.
- Подготовить на каждую парту мини-лист с алгоритмом исследования чётности функции.
- Распечатать лист самооценки и билет на выход — по одному экземпляру на каждого ученика.
- Вывесить на доске определения: $f(-x)=f(x)$ и $f(-x)=-f(x)$, а также условие нуля функции $f(x)=0$.
- Подготовить маркеры двух цветов и стикеры для фиксации гипотез.
- Проверить проектор или интерактивную доску; открыть заготовки графиков и таблицу для работы в парах.
- Разместить на доске проблемный вопрос: «Как по формуле понять, обладает ли график симметрией?»
Ход урока
Этап 1. Организационный момент и мотивация (3 мин)
Цель этапа: включить учащихся в исследовательскую деятельность и создать познавательное затруднение.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель приветствует класс: "Здравствуйте, ребята. Проверьте, пожалуйста, готовы ли тетради, ручки и калькуляторы для быстрых вычислений. Сегодня мы будем не просто применять готовое правило, а исследовать функции и самостоятельно формулировать признаки их симметрии." | Проверяют готовность, записывают дату, настраиваются на исследовательскую работу. |
2 мин | Учитель показывает на экране графики $y=x^2$, $y=x^3$ и $y=x+1$: "Посмотрите на три графика. Первый отражается относительно оси $Oy$, второй сохраняет вид при повороте на 180 градусов вокруг начала координат, а третий не демонстрирует ни одной из этих симметрий. Как можно было бы распознать это по формуле, не строя график полностью?" Учитель фиксирует гипотезы на доске. | Рассматривают графики, обсуждают вопрос в парах 30 секунд и формулируют гипотезы: "Нужно сравнить значения при противоположных аргументах", "Нужно вычислить $f(-x)$". |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы увидели, что графическая симметрия может быть связана с поведением функции при замене $x$ на $-x$. Теперь проверим эту гипотезу на известных функциях и выясним, какие условия являются обязательными."
Этап 2. Актуализация знаний (5 мин)
Цель этапа: актуализировать понятия функции, области определения, графика и решения уравнения.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель проводит приём «Быстрый круг»: "Назовите, что обозначают $x$, $f(x)$ и область определения функции. Почему перед вычислением значения функции нужно убедиться, что аргумент принадлежит области определения?" Учитель кратко фиксирует ответы на доске. | По очереди формулируют: "$x$ — аргумент", "$f(x)$ — значение функции", "область определения — допустимые значения аргумента". |
3 мин | Учитель предлагает устно вычислить значения: для $f(x)=x^2$ при $x=2$ и $x=-2$; для $g(x)=x^3$ при $x=2$ и $x=-2$. Затем спрашивает: "Что общего и чем отличаются пары значений?" | Вычисляют: $f(2)=4$, $f(-2)=4$; $g(2)=8$, $g(-2)=-8$. Формулируют: "У первой функции значения равны, у второй противоположны". |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы уже обнаружили два разных отношения между $f(x)$ и $f(-x)$. Сейчас определим их точно и проверим, какие требования предъявляются к области определения."
Этап 3. Постановка проблемы и целеполагание (4 мин)
Цель этапа: сформулировать учебную проблему, цель и план исследования.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель записывает на доске функции $f(x)=\frac{1}{x}$ и $h(x)=\sqrt{x}$: "Попробуйте определить, можно ли сразу назвать эти функции чётными или нечётными. Что мешает? Рассмотрите область определения каждой функции. Обсудите ответ в парах." | Сравнивают области определения: для $\frac{1}{x}$ это $x\ne0$, область симметрична относительно нуля; для $\sqrt{x}$ это $x\ge0$, область несимметрична. Делают вывод: "Одной формулы недостаточно, нужно учитывать область определения". |
2 мин | Учитель формулирует проблемный вопрос: "Как по формуле и области определения установить чётность или нечётность функции и как найти её нули? Предложите план." Учитель принимает предложения и записывает общий алгоритм. | Предлагают план: определить область определения; проверить, входит ли $-x$ вместе с $x$; вычислить $f(-x)$; сравнить с $f(x)$ и $-f(x)$; решить уравнение $f(x)=0$. |
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Цель определена: сегодня мы выведем и применим единый алгоритм исследования. Начнём с точных определений, а затем проверим их на формулах и графиках."
Этап 4. Открытие нового знания (10 мин)
Цель этапа: вывести определения чётной и нечётной функции и установить связь свойств с графической симметрией.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
4 мин | Учитель организует «Сократовский диалог»: "Если для каждого допустимого $x$ значения $f(x)$ и $f(-x)$ совпадают, как будут располагаться точки графика? Запишем условие: область определения симметрична относительно нуля и $f(-x)=f(x)$. Такая функция называется чётной. Если же $f(-x)=-f(x)$, функция называется нечётной. Почему без симметрии области определения определение нельзя применить?" | Отвечают: "Точки будут зеркальными относительно оси $Oy$"; "Для нечётной функции точки симметричны относительно начала координат"; "Если $-x$ не входит в область определения, сравнение невозможно". |
3 мин | Учитель показывает на доске алгоритм: "Шаг 1 — найти область определения. Шаг 2 — проверить её симметричность относительно нуля. Шаг 3 — найти $f(-x)$. Шаг 4 — сравнить с $f(x)$ и $-f(x)$. Шаг 5 — сформулировать вывод. Запишите алгоритм и определения." | Записывают определения и алгоритм, задают уточняющие вопросы, отмечают обязательность проверки области определения. |
3 мин | Учитель разбирает пример: "Исследуем $f(x)=x^4-3x^2+1$. Область определения — все действительные числа. Вычислим $f(-x)=(-x)^4-3(-x)^2+1=x^4-3x^2+1=f(x)$. Следовательно, функция чётная. Теперь найдём её нули: решим $x^4-3x^2+1=0$. Положим $t=x^2$, тогда $t^2-3t+1=0$." Учитель завершает вычисления на доске. | Следят за преобразованиями, записывают решение: $t=\frac{3\pm\sqrt5}{2}$; так как оба значения положительны, $x=\pm\sqrt{\frac{3+\sqrt5}{2}}$ и $x=\pm\sqrt{\frac{3-\sqrt5}{2}}$. Формулируют: "Функция чётная, поэтому ненулевые нули расположены симметрично". |
Запись в тетрадях
Определение: функция называется чётной, если её область определения симметрична относительно нуля и для любого $x$ выполняется $f(-x)=f(x)$. Функция называется нечётной, если область определения симметрична относительно нуля и $f(-x)=-f(x)$. Нуль функции — значение аргумента, при котором $f(x)=0$.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы получили определения и алгоритм. Теперь проверим их на разных функциях и убедимся, что отсутствие чётности не означает автоматически нечётность."
Этап 5. Первичное закрепление в парах (7 мин)
Цель этапа: применить алгоритм к функциям и научиться аргументированно классифицировать их.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель раздаёт карточки с заданиями: "В каждой паре распределите роли: один выполняет вычисления, второй проверяет область определения и формулировку вывода. Затем поменяйтесь ролями. Для функции $f(x)=x^3-2x$ определите чётность и найдите нули." | Распределяют роли, читают условие и записывают план решения. |
4 мин | Учитель предлагает второй пример: "$g(x)=x^2+2x$. Исследуйте функцию на чётность и найдите её нули. Обязательно объясните, почему вывод о чётности или нечётности верен." Учитель консультирует пары, обращает внимание на вычисление $g(-x)$. | Вычисляют $g(-x)=x^2-2x$, сравнивают с $g(x)$ и $-g(x)$, делают вывод: функция ни чётная, ни нечётная. Решают $x^2+2x=0$, получают нули $x=0$ и $x=-2$. |
2 мин | Учитель организует взаимопроверку: "Обменяйтесь решениями с соседней парой. Поставьте две отметки: есть ли проверка области определения и есть ли полный вывод. Одну сильную сторону отметьте зелёным, исправление — красным." | Проверяют решения по критериям, отмечают пропущенные шаги и формулируют замечания. |
Эталон решения
Для $f(x)=x^3-2x$: $D(f)=\mathbb R$. $f(-x)=(-x)^3-2(-x)=-x^3+2x=-(x^3-2x)=-f(x)$, поэтому функция нечётная. Нули: $x^3-2x=x(x^2-2)=0$, откуда $x=0$ или $x=\pm\sqrt2$.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Вы применили алгоритм и увидели три результата: функция может быть чётной, нечётной или ни той ни другой. Теперь каждый самостоятельно проверит, умеет ли выполнять все шаги без подсказки пары."
Этап 6. Самостоятельная работа с самопроверкой (8 мин)
Цель этапа: диагностировать индивидуальное владение алгоритмом и умение находить нули функции.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель раздаёт индивидуальные карточки: "Работайте самостоятельно. В решении обязательно укажите область определения, вычисление $f(-x)$, сравнение и ответ о нулях. Время — пять минут; после сигнала получите эталон для самопроверки." | Получают карточки, читают критерии и уточняют формат ответа. |
5 мин | Учитель предлагает задания: 1) $f(x)=2x^4-5x^2+3$; 2) $g(x)=\frac{x-1}{x+1}$; 3) по графику определить нули и наличие симметрии. Через пять минут вывешивает эталон. | Решают индивидуально. Для первой функции находят $f(-x)=f(x)$ и решают $2x^4-5x^2+3=0$ заменой $t=x^2$. Для второй проверяют область определения $x\ne-1$ и замечают её несимметричность относительно нуля. По графику отмечают точки пересечения с осью $Ox$. |
2 мин | Учитель говорит: "Сверьте не только ответ, но и ход рассуждений. Если ошибка возникла на шаге проверки области определения, поставьте рядом знак вопроса и запишите, как исправите действие." | Сверяют работу с эталоном, исправляют ошибки, заполняют краткую самооценку: "могу самостоятельно / нужна тренировка". |
Эталон решения
Для $f(x)=2x^4-5x^2+3$: $D(f)=\mathbb R$, $f(-x)=f(x)$, функция чётная. Нули находятся из $2t^2-5t+3=0$, где $t=x^2$: $t=1$ или $t=\frac32$. Поэтому $x=\pm1$ и $x=\pm\sqrt{\frac32}$.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Самостоятельная работа показала, что главный источник ошибок — пропуск области определения или неполная запись вывода. Осталось связать свойства с нулями и сформулировать общий итог урока."
Этап 7. Включение в систему знаний и рефлексия (8 мин)
Цель этапа: обобщить алгоритм, осмыслить связь чётности с расположением нулей и оценить результаты урока.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель проводит приём «Верно — неверно»: "Функция $y=x^2+1$ нечётная, потому что её график симметричен относительно оси $Ox$. Чётная функция обязательно имеет нуль. Если нечётная функция имеет нуль $a$, то она имеет и нуль $-a$. Определите верность утверждений и объясните." | Отмечают: первое утверждение неверно, второе неверно, третье верно. Обосновывают: чётность связана с осью $Oy$, а нуль чётной функции может отсутствовать; у нечётной функции нули симметричны. |
2 мин | Учитель предлагает заполнить на доске схему: "Формула → область определения → $f(-x)$ → сравнение → чётность или нечётность → решение $f(x)=0$. Какой шаг нельзя пропускать?" | Восстанавливают схему, называют обязательным шагом проверку симметрии области определения. |
3 мин | Учитель раздаёт билет на выход: "Запишите определение нечётной функции, определите свойство функции $f(x)=x^5+3x$ и назовите её нуль. Одной фразой укажите, что сегодня оказалось самым сложным." | Записывают: $f(-x)=-f(x)$, функция нечётная, нуль $x=0$. Отмечают личное затруднение или подтверждают освоение алгоритма. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Сегодня вы вывели алгоритм исследования, применили его к формулам и графикам, а также нашли нули функций. Проверьте дома, сможете ли вы объяснить каждый шаг не по памяти, а с опорой на смысл определения."
Критерии оценивания практической работы
- «5» — верно выполнены оба алгебраических задания и задание по графику; указана область определения, корректно вычислено $f(-x)$, обоснована чётность или нечётность, все нули найдены без ошибок.
- «4» — правильно выполнены основные действия и получен верный вывод, но допущена одна вычислительная ошибка или недостаточно подробно оформлена проверка области определения.
- «3» — определение свойства функции в целом понято, но выполнено только одно задание полностью либо допущены две существенные ошибки в вычислении $f(-x)$ или нахождении нулей.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Что нового вы узнали о связи формулы функции и симметрии её графика? | Выявление осознания содержательного смысла чётности и нечётности. |
Какой шаг алгоритма исследования оказался самым трудным? | Выявление точек затруднения: область определения, вычисление $f(-x)$ или решение уравнения. |
Как вы определите, что функция не является ни чётной, ни нечётной? | Проверка понимания необходимости сравнения с обеими формулами. |
Что вы сможете выполнить самостоятельно после урока? | Субъективная оценка освоения темы и планирование дальнейшей работы. |
Завершающее слово учителя
"Сегодня мы научились исследовать функцию не только по графику, но и по её формуле. Мы установили, что чётность связана с симметрией относительно оси $Oy$, нечётность — с симметрией относительно начала координат, а нули находятся решением уравнения $f(x)=0$. Самая частая ошибка — забыть проверить область определения до вычисления $f(-x)$. На следующем уроке мы продолжим исследование функций и будем использовать их свойства при построении и преобразовании графиков."
Домашнее задание
Уровень | Что задать | Зачем |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | Решить 4 функции: для каждой найти область определения, определить чётность или нечётность, а для двух функций найти все нули. | Закрепляет алгоритм; при проверке смотреть на область определения, вычисление $f(-x)$ и полный вывод. |
Средний (повышающий) | Решить 3 задания по графикам: определить наличие симметрии, назвать нули функции и восстановить возможные значения в симметричных точках. | Развивает чтение графика и связь геометрического свойства с алгебраической записью. |
Продвинутый (дополнительный) | Составить две функции: одну чётную с четырьмя нулями и одну нечётную с тремя нулями; записать их формулы, обосновать свойства и схематично изобразить графики. | Развивает создание математической модели и понимание симметричного расположения нулей. |
Контрольные вопросы перед выходом: «Какое равенство выполняется для чётной функции? Какое — для нечётной? Почему нужно проверять область определения? Что называют нулём функции? Может ли функция не быть ни чётной, ни нечётной?»
