Функция, способы задания функции. Взаимно обратные функции
Цели и задачи
- Цель урока по SMART: к концу урока научиться распознавать функцию и взаимно обратные функции, задавать функцию не менее чем тремя способами и проверять взаимную обратность функций на конкретных примерах.
- Сформировать представление о зависимости одной величины от другой, области определения и области значений функции.
- Научиться задавать функции формулой, таблицей, графиком и словесным описанием, переходить от одного способа задания к другому.
- Освоить алгоритм проверки взаимной обратности функций через последовательное выполнение и отмену действий, а также через симметрию графиков относительно прямой $y=x$.
- Развивать умение выдвигать гипотезы, работать в паре, аргументировать выводы и самостоятельно проверять результат; поддерживать интерес к применению функций в математике и будущей профессиональной деятельности.
Планируемые результаты
Личностные
- Осознают роль функций как универсального языка описания зависимостей в естественных науках, экономике и будущей профессиональной деятельности.
- Проявляют познавательную инициативу при исследовании взаимной обратности функций.
- Понимают ценность точного математического языка и обоснованного вывода.
- Развивают ответственное отношение к самостоятельной работе и взаимопроверке.
- Осознают личную динамику продвижения через самооценку по итогам практических заданий.
Метапредметные
- Формулируют учебную проблему и планируют последовательность действий для её решения.
- Извлекают информацию из формулы, таблицы, графика и словесного описания, преобразуют её из одного вида в другой.
- Сравнивают способы задания функции и выбирают наиболее удобный для конкретной задачи.
- Работают в паре, распределяют роли, задают уточняющие вопросы и аргументируют математический вывод.
- Осуществляют самоконтроль по эталону и корректируют решение после обнаружения ошибки.
Предметные
- Знать определение функции, области определения, области значений и способов задания функции.
- Уметь определять значение функции по формуле и таблице, читать информацию с графика.
- Уметь описывать одну и ту же функцию формулой, таблицей, графиком и словесно.
- Знать условие взаимной обратности функций и уметь проверять его на примерах.
- Уметь находить обратную функцию для простейших линейных функций с учётом ограничений на область определения.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Определяют личный смысл изучения функций как инструмента моделирования реальных зависимостей.
- Проявляют готовность принимать интеллектуальный вызов и проверять гипотезу несколькими способами.
- Оценивают собственную уверенность в работе с формулой, таблицей и графиком.
- Соблюдают математическую корректность и уважительно относятся к иной аргументации одноклассника.
Регулятивные УУД
- Самостоятельно формулируют цель исследования взаимно обратных функций.
- Планируют алгоритм перехода от функции к обратной функции.
- Проверяют вычисления подстановкой и сопоставлением результатов.
- Фиксируют затруднение, выбирают способ коррекции и оценивают достижение цели.
- Распределяют время при выполнении заданий базового и повышенного уровней.
Познавательные УУД
- Выделяют существенные признаки функции и взаимной обратности.
- Сравнивают формулы $f(x)$ и $g(x)$ после последовательной композиции.
- Строят таблицу значений и схематический график функции.
- Моделируют зависимость «вход — выход» стрелочной схемой.
- Делают вывод по результатам вычислительного эксперимента и проверяют его на новом примере.
Коммуникативные УУД
- Распределяют роли в паре: вычислитель, проверяющий и затем меняются ролями.
- Формулируют вопрос к решению партнёра и дают точный математический ответ.
- Аргументируют, почему два способа задания описывают одну функцию.
- Согласовывают общий вывод и представляют его классу.
- Корректно указывают на ошибку и предлагают способ её исправления.
Подготовка учителя к уроку
- Подготовить презентацию или интерактивную доску с четырьмя способами задания функции: формулой, таблицей, графиком и словесным описанием.
- Распечатать карточки для парной работы: 8 вариантов, по одной карточке на пару; на каждой карточке задания на переход между способами задания функции.
- Распечатать индивидуальные листы самостоятельной работы трёх уровней — по одному листу на каждого ученика.
- Подготовить карточки «светофор» зелёного, жёлтого и красного цвета — по одной на ученика.
- Вывести на доску заготовку алгоритма: «выразить $x$ через $y$ → заменить $y$ на $f^{-1}(x)$ → проверить область определения».
- Подготовить маркеры, стикеры и листы А4 для парных схем «вход — действие — выход».
- Подготовить графики функций $y=2x+3$ и $y=(x-3)/2$, а также графики $y=x^2$ и $y=\sqrt{x}$ для обсуждения области определения.
- Освободить небольшой участок класса для физкультминутки, связанной с переходом от входного значения к результату.
- Проверить наличие калькулятора или приложения динамической геометрии только для демонстрации графиков; основные вычисления ученики выполняют без цифрового помощника.
Ход урока
Этап 1. Организационный момент и мотивация (3 мин)
Цель этапа: включить учащихся в исследование функции через жизненный контекст и обозначить проблему урока.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель приветствует класс: "Здравствуйте, ребята. Сегодня мы будем не столько слушать определения, сколько исследовать зависимости. Представьте онлайн-сервис: вы вводите исходные данные, а система выдаёт результат. Как понять, можно ли однозначно восстановить исходные данные по результату?" Учитель показывает на доске схему «вход → правило → выход». | Записывают дату, готовят тетради и отвечают: "Нужно знать правило и проверить, не дают ли разные входы один и тот же выход". |
2 мин | Учитель продолжает: "Рассмотрим функцию $y=2x+3$. Она переводит $x$ в $y$. А функция $y=(x-3)/2$ возвращает результат обратно. Сегодня выясним, когда такое возвращение действительно возможно и как его распознавать." Учитель формулирует проблемный вопрос: "Всегда ли функцию можно обратить?" | Фиксируют проблемный вопрос, высказывают гипотезы: "Да, если каждому результату соответствует один вход"; "Нет, например, у квадратичной функции разные значения $x$ могут дать один результат". |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы увидели, что функция может не только выдавать результат, но иногда и возвращать исходное значение. Сначала вспомним, что именно делает функцию и какими способами её можно описать."
Этап 2. Актуализация знаний и парная работа (6 мин)
Цель этапа: актуализировать понятия функции и способов её задания, выявить исходный уровень понимания.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель раздаёт парам карточки с зависимостями: $y=3x-1$, таблица значений, график прямой и словесное описание «стоимость поездки зависит от расстояния». "Приём называется «Подумай — обсуди в паре». Сначала каждый самостоятельно определяет, где функция, затем за минуту сравните ответы и назовите аргумент и значение функции." | Индивидуально отмечают аргумент и значение, затем в парах сверяют ответы и формулируют: "Аргумент — независимая переменная, значение функции зависит от неё". |
2 мин | Учитель спрашивает: "Какими способами можно задать функцию? Что обязательно должно быть понятно из каждого способа?" На доске фиксирует ответы в кластере. | Называют формульный, табличный, графический и словесный способы; дополняют кластер условиями чтения каждого представления. |
2 мин | Учитель предлагает быстро вычислить $f(2)$ для $f(x)=x^2-3x+1$ и проверить, является ли соответствие $x\mapsto x^2$ взаимно однозначным на всей числовой прямой. "Не ограничивайтесь ответом, назовите причину." | Вычисляют $f(2)=-1$; приводят контрпример $2^2=(-2)^2=4$ и делают вывод: на всей числовой прямой соответствие не является взаимно однозначным. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы вспомнили: функция задаёт однозначное соответствие, а разные способы позволяют увидеть разные свойства. Теперь проверим, как из одного правила построить правило, возвращающее исходное значение."
Этап 3. Постановка проблемы и целеполагание (4 мин)
Цель этапа: совместно сформулировать критерий существования обратной функции и план исследования.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель записывает пары функций: $f(x)=2x+3$ и $g(x)=(x-3)/2$, затем задаёт вопросы: "Что произойдёт, если сначала применить $f$, а затем $g$? Что произойдёт в обратном порядке? Выполните вычисления символически." | Работают в парах: записывают $g(f(x))=((2x+3)-3)/2=x$ и $f(g(x))=2((x-3)/2)+3=x$. |
2 мин | Учитель показывает пару $f(x)=x^2$ и $g(x)=\sqrt{x}$: "Проверим, получатся ли тождественные равенства для всех допустимых значений. Почему здесь нужно особенно внимательно говорить об области определения?" Затем предлагает сформулировать цель урока. | Вычисляют $g(f(x))=\sqrt{x^2}=|x|$, а не всегда $x$; формулируют цель: "Научиться задавать функции разными способами и проверять, являются ли две функции взаимно обратными". |
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Проблема уточнена: одного внешнего сходства формул недостаточно, нужно проверить композиции и области определения. Переходим к открытию общего алгоритма."
Этап 4. Открытие нового знания через практическое исследование (10 мин)
Цель этапа: вывести критерий взаимно обратных функций и связать его с формулой, таблицей и графиком.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель раздаёт парам карточки с функцией $f(x)=3x-4$. "Постройте таблицу для значений $x=-1,0,1,2$. Затем поменяйте местами столбцы аргумента и значения. Какая формула описывает получившуюся зависимость?" | Заполняют таблицу: $(-1;-7),(0;-4),(1;-1),(2;2)$; меняют столбцы и получают зависимость $x=(y+4)/3$, затем записывают $g(x)=(x+4)/3$. |
3 мин | Учитель направляет вывод: "Чтобы получить обратную функцию, выразим исходный аргумент через значение функции. Обратите внимание: новая функция действует на множество значений исходной. Проверим композиции для найденной пары." | Решают $g(f(x))=(3x-4+4)/3=x$ и $f(g(x))=3(x+4)/3-4=x$; записывают критерий взаимной обратности. |
2 мин | Учитель демонстрирует на экране графики $y=3x-4$ и $y=(x+4)/3$. "Сравните графики относительно прямой $y=x$. Что вы видите?" | Формулируют: "Графики симметричны относительно прямой $y=x$"; отмечают, что точки $(x;y)$ и $(y;x)$ переходят друг в друга. |
2 мин | Учитель предлагает проверить пример $f(x)=x^2$ при $x\geq0$: "Ограничим область определения. Как изменится обратная функция?" Учитель подчёркивает необходимость указания области определения. | Записывают $f^{-1}(x)=\sqrt{x}$ при $x\geq0$; объясняют, что ограничение устраняет дублирование значений. |
Запись в тетрадях
Функция $y=f(x)$ имеет обратную функцию, если каждому значению функции соответствует единственное значение аргумента. Для взаимно обратных функций $f$ и $g$ выполняются равенства $g(f(x))=x$ и $f(g(x))=x$ на соответствующих областях определения. Алгоритм нахождения обратной функции: 1) записать $y=f(x)$; 2) выразить $x$ через $y$; 3) заменить обозначения $x$ и $y$; 4) указать области определения. Графики взаимно обратных функций симметричны относительно прямой $y=x$.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы получили не готовое правило из памяти, а вывели его из обмена входом и выходом. Теперь применим алгоритм к коротким заданиям и проверим, где он работает."
Этап 5. Физкультминутка «Вход — действие — выход» (2 мин)
Цель этапа: снять статическое напряжение и телесно закрепить идею последовательного применения функции и обратного действия.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель говорит: "Встаньте рядом с партой. Я называю действие функции: прибавить 3, умножить на 2, разделить на 2, вычесть 3. На действия прямой функции делаем шаг вправо, на обратные — шаг влево. Повторяем цепочку: прибавить 3 — вычесть 3; умножить на 2 — разделить на 2. На последнем шаге возвращаемся в исходную точку." | Выполняют шаги по инструкции, проговаривают: "Обратное действие возвращает исходное значение"; садятся и готовятся к практической работе. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы увидели телесную модель обратности: действие и обратное действие компенсируют друг друга. Проверим это теперь в математических записях."
Этап 6. Первичное закрепление в парах (8 мин)
Цель этапа: отработать переход между способами задания функции и проверку взаимной обратности с проговариванием алгоритма.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель раздаёт карточки с заданием: "Для функции $f(x)=5x-2$ найдите обратную функцию, выполните проверку двумя композициями и запишите область определения." Напоминает: "Один ученик выполняет преобразования, второй комментирует каждый шаг; затем поменяйтесь ролями." | В парах получают $g(x)=(x+2)/5$, проверяют $g(f(x))=x$ и $f(g(x))=x$, фиксируют область определения $\mathbb{R}$. |
3 мин | Учитель предлагает второе задание: "Определите, являются ли взаимно обратными функции $f(x)=x^2$, $x\geq0$, и $g(x)=\sqrt{x}$. Обоснуйте ответ не менее чем двумя способами." | Вычисляют обе композиции с учётом ограничений и строят схематичные графики; формулируют вывод: "Да, при $x\geq0$ функции взаимно обратны; их графики симметричны относительно $y=x$". |
2 мин | Учитель организует взаимопроверку по трём критериям на доске: найденная формула, указанные ограничения, выполненная проверка. "Поставьте партнёру две звезды и одно пожелание: отметьте два точных шага и один шаг для улучшения." | Сверяют решения с критериями, записывают партнёру две сильные стороны и один конкретный совет, исправляют найденную неточность. |
Эталон решения
Для $f(x)=5x-2$: $y=5x-2$; $y+2=5x$; $x=(y+2)/5$. После обмена обозначениями получаем $g(x)=(x+2)/5$. Проверка: $g(f(x))=((5x-2)+2)/5=x$; $f(g(x))=5((x+2)/5)-2=x$. Следовательно, функции взаимно обратны на $\mathbb{R}$.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "В парной работе вы применили алгоритм и увидели, что область определения — не формальность. Теперь каждый самостоятельно проверит, умеет ли он выбрать нужный способ задания и обосновать ответ."
Этап 7. Самостоятельная работа с самопроверкой (8 мин)
Цель этапа: диагностировать индивидуальное освоение материала на трёх уровнях сложности.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель объясняет выбор: "Выполните обязательное задание, затем выберите базовый или повышенный уровень. Можно начать с любого пункта, но решение должно быть обоснованным." На доске показывает критерии: формула, область определения, проверка. | Выбирают уровень, записывают номер варианта и критерии самопроверки. |
5 мин | Учитель выдаёт задания. Минимальный уровень: для $f(x)=2x+1$ найти $f(3)$ и составить таблицу для $x=-1,0,1$. Базовый уровень: найти обратную функцию к $f(x)=4x-7$. Повышенный уровень: исследовать $f(x)=x^2$ на $x\geq0$ и сопоставить её с $g(x)=\sqrt{x}$. Учитель оказывает адресную помощь вопросами: "Какова область значений? Какое действие нужно отменить первым?" | Индивидуально вычисляют, составляют таблицу, находят обратную функцию или доказывают взаимную обратность; записывают решение полностью. |
2 мин | Учитель открывает эталон на доске: $f(3)=7$; для $f(x)=4x-7$ получаем $f^{-1}(x)=(x+7)/4$; для квадратной функции на $x\geq0$ обратной является $\sqrt{x}$. "Проверьте не только ответ, но и ход рассуждений." | Сверяют решение по шагам, подчёркивают место расхождения, исправляют ошибку другим цветом и показывают карточку светофора. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Самостоятельная работа показала, что основной алгоритм уже доступен, а сложность возникает при учёте области определения и области значений. Завершим урок рефлексией и ответим на исходный вопрос."
Этап 8. Рефлексия и домашнее задание (4 мин)
Цель этапа: соотнести результат урока с поставленной целью, зафиксировать затруднения и объяснить домашнюю практику.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель раздаёт мини-билет на выход: "Ответьте письменно на два вопроса: когда функция имеет обратную функцию и как проверить взаимную обратность? Добавьте один пример из сегодняшней работы." | Пишут краткий ответ: "Если каждому значению функции соответствует единственный аргумент; проверяют композиции и области определения"; приводят пример линейной пары. |
1 мин | Учитель проводит приём «Светофор»: "Зелёный — могу найти обратную функцию и проверить; жёлтый — понимаю алгоритм, но ошибаюсь в ограничениях; красный — нужна помощь с переходом от $y=f(x)$ к обратной функции." | Поднимают карточку соответствующего цвета и называют один конкретный шаг, который нужно повторить. |
1 мин | Учитель сообщает домашнее задание: "Выберите уровень по таблице. Обязательное задание выполняют все, повышенное и дополнительное — по готовности. Запишите контрольные вопросы: что меняется местами при нахождении обратной функции и зачем проверять композицию?" | Записывают выбранный уровень, контрольные вопросы и критерии проверки. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Сегодня вы сами вывели способы задания функции, критерий взаимной обратности и роль области определения. На следующем уроке мы будем исследовать свойства функций и использовать графические преобразования для более сложных зависимостей."
Критерии оценивания практической работы
- «5» — верно выполнены обязательное и выбранное задание, корректно найдена обратная функция, указаны области определения и значений, выполнена проверка композициями или графическим способом; запись последовательная и математически грамотная.
- «4» — выполнены основные задания, формула обратной функции найдена верно, но допущена одна неточность в записи области определения, графическом обосновании или оформлении проверки.
- «3» — верно выполнено обязательное задание и частично выполнено задание на обратную функцию; есть понимание алгоритма, но допущены ошибки в преобразованиях или проверке.
- Ниже отметки «3» — отсутствует устойчивое понимание зависимости между аргументом и значением функции либо не выполнено обязательное задание; необходима адресная коррекция по алгоритму.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Что нового вы узнали о способах задания функции? | Проверка осознания связи между формулой, таблицей, графиком и словесным описанием. |
Каким действием вы находили обратную функцию и где возникло затруднение? | Выявление точек затруднения в алгоритме преобразования формулы. |
Почему для $y=x^2$ пришлось ограничить область определения? | Проверка понимания однозначности соответствия и роли области определения. |
Какой способ проверки взаимной обратности кажется вам наиболее надёжным и почему? | Развитие оценки способа решения и аргументации математического выбора. |
Завершающее слово учителя
"Сегодня мы увидели, что функция — это не только формула, а однозначное соответствие, которое можно описать несколькими способами. Мы научились находить обратную функцию, проверять композиции и объяснять симметрию графиков относительно прямой $y=x$. Типичная ошибка — забыть об области определения, особенно при работе с квадратной функцией. В домашней работе обратите внимание не только на ответ, но и на обоснование каждого шага. На следующем уроке мы продолжим исследовать свойства функций и научимся применять их к новым графическим задачам."
Домашнее задание
Уровень | Что задать | Зачем |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | Выполнить 4 задания: для двух линейных функций найти значения по формуле и составить небольшие таблицы; для двух линейных функций найти обратные функции и выполнить одну композиционную проверку. | Закрепляет чтение формулы, переход между формулой и таблицей и базовый алгоритм нахождения обратной функции; при проверке смотреть на область определения и порядок преобразований. |
Средний (повышающий) | Решить 3 задачи: определить, являются ли пары функций взаимно обратными, используя композиции; в одном задании построить схематичные графики и указать симметрию относительно $y=x$. | Развивает умение выбирать способ доказательства и связывать алгебраические вычисления с графическим представлением. |
Продвинутый (дополнительный) | Исследовать функцию $f(x)=x^2$ на двух областях определения: $x\geq0$ и $x\leq0$. Для каждого случая найти обратную функцию, указать область её определения и объяснить, почему без ограничения обратная функция не задаётся однозначно. | Формирует исследовательское мышление и понимание роли области определения; при проверке смотреть на полноту обоснования и корректность ограничений. |
Контрольные вопросы перед выходом из класса: «Что называют функцией? Какими четырьмя способами её можно задать? Как проверить, что две функции взаимно обратны? Почему для функции $y=x^2$ необходимо ограничивать область определения?»
