Тригонометрические функции числового аргумента
Цели и задачи
- Цель по SMART: к концу урока научиться находить значения синуса, косинуса и тангенса числового аргумента для основных углов, переводить градусную меру в радианную и применять свойства тригонометрических функций при решении не менее трёх практических заданий.
- Сформировать понимание числового аргумента как действительного числа, связанного с точкой единичной окружности, и установить связь между радианной мерой угла и координатами этой точки.
- Научить применять таблицу основных значений тригонометрических функций и определять знаки функций по четвертям.
- Развивать умение анализировать условие, выбирать способ решения, выполнять самопроверку и объяснять ход рассуждений.
- Воспитывать ответственное отношение к самостоятельной работе, готовность аргументировать ответ и корректировать собственные ошибки.
Планируемые результаты
Личностные
- Осознают практическую и учебную значимость тригонометрических функций для дальнейшего изучения математики, физики и технических дисциплин.
- Проявляют познавательный интерес к исследованию закономерностей на единичной окружности.
- Формируют ответственное отношение к самостоятельной работе и результатам математического рассуждения.
- Понимают ценность точности записи, проверки и аргументации ответа.
Метапредметные
- Извлекают информацию из схемы единичной окружности, таблицы значений и математической записи.
- Планируют решение задания, выбирают подходящее правило и проверяют полученный результат.
- Сравнивают способы решения и выявляют причину ошибки в знаке или значении функции.
- Участвуют во фронтальном обсуждении, формулируют выводы и аргументируют свою позицию.
- Используют математические модели для описания положения точки на окружности.
Предметные
- Знать определения синуса, косинуса и тангенса числового аргумента через координаты точки единичной окружности.
- Уметь переводить градусную меру угла в радианную и обратно в простых случаях.
- Уметь находить значения тригонометрических функций для углов $0$, $\frac{\pi}{6}$, $\frac{\pi}{4}$, $\frac{\pi}{3}$, $\frac{\pi}{2}$ и связанных с ними углов.
- Уметь определять знаки синуса, косинуса и тангенса в четвертях.
- Владеть навыком применения основных значений и свойств функций при решении практических заданий разного уровня.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Определяют личный уровень готовности к работе с тригонометрическими функциями.
- Связывают изучаемое понятие с будущим изучением графиков, уравнений и неравенств.
- Проявляют самостоятельность при выборе уровня задания.
- Осознают необходимость точной математической речи и аккуратной записи.
Регулятивные УУД
- Формулируют цель урока на основе проблемного задания.
- Планируют последовательность действий при нахождении значения функции.
- Контролируют правильность перевода градусов в радианы и выбора знака.
- Сверяют решение с эталоном, находят и исправляют ошибки.
- Оценивают степень достижения цели по итогам самостоятельной работы и рефлексии.
Познавательные УУД
- Выделяют существенные признаки числового аргумента и единичной окружности.
- Устанавливают связь между координатами точки и значениями синуса и косинуса.
- Классифицируют углы по четвертям и знакам функций.
- Применяют известные значения для получения новых значений.
- Моделируют ситуацию с помощью окружности, таблицы и математической формулы.
Коммуникативные УУД
- Участвуют во фронтальном обсуждении и формулируют краткие точные ответы.
- Объясняют партнёру выбор четверти и знака функции.
- Задают уточняющие вопросы по ходу решения.
- Сравнивают решения без перехода на оценку личности.
- Аргументируют ответ с опорой на определение или свойство.
Подготовка учителя к уроку
- Подготовить изображение единичной окружности с отмеченными осями, четвертями, положительным направлением отсчёта и основными углами.
- Вывести на экран краткую памятку: $180^\circ=\pi$, координаты точки единичной окружности и знаки функций по четвертям.
- Распечатать по одной карточке на каждого ученика для самостоятельной работы: базовый, повышенный и продвинутый уровни.
- Подготовить игровые карточки для фронтальной игры «Тригонометрическое лото»: угол, четверть, знак или значение функции.
- Распечатать по одному листу с единичной окружностью на парту и по одному листу с эталоном для самопроверки на каждого ученика.
- Подготовить цветные маркеры или магниты для обозначения четвертей и знаков функций на доске.
- Подготовить таймер на 3 и 5 минут для коротких этапов практики.
- Организовать проектор или интерактивную доску; проверить отображение математических формул.
- На доске заранее оставить место для темы, цели урока и таблицы основных значений.
Ход урока
Этап 1. Организационный момент и мотивация (3 мин)
Цель этапа: включить учащихся в учебную деятельность и создать мотивацию через проблемное задание.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель приветствует класс и показывает на экране единичную окружность: "Здравствуйте, ребята. Сегодня мы будем работать не только с углами в градусах, но и с числами как с аргументами функций. Посмотрите на окружность: одна и та же точка может быть задана разными способами. Попробуем выяснить, как по числу определить координаты этой точки." | Открывают тетради, рассматривают окружность, формулируют предположения: "Нужно знать направление движения и величину угла". |
2 мин | Учитель проводит приём «Математический вызов»: "На экране записаны выражения $\sin \frac{\pi}{6}$ и $\cos \frac{5\pi}{3}$. Как найти их значения, если аргумент записан не в градусах? Запишите первое предположение, не обсуждая его с соседом." | Индивидуально записывают предположение, затем 30 секунд обсуждают его в паре и сообщают варианты: "Нужно перевести радианы в градусы"; "Нужно определить положение точки на окружности". |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Сегодня мы научимся воспринимать число как аргумент тригонометрической функции, находить соответствующую точку на единичной окружности и использовать её координаты. Сначала проверим, какие знания уже готовы нам помочь."
Этап 2. Актуализация знаний. Игра «Быстрый круг» (6 мин)
Цель этапа: актуализировать знания о радианной мере, единичной окружности и основных значениях тригонометрических функций.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель показывает по очереди карточки с углами $0^\circ$, $30^\circ$, $45^\circ$, $60^\circ$, $90^\circ$, $180^\circ$. "Игра называется «Быстрый круг». Я показываю угол, а вы называете его радианную меру. Отвечаем коротко, но обязательно проверяем себя по связи $180^\circ=\pi$." | По очереди называют: "$0$, $\frac{\pi}{6}$, $\frac{\pi}{4}$, $\frac{\pi}{3}$, $\frac{\pi}{2}$, $\pi$". При затруднении используют запись на доске. |
3 мин | Учитель задаёт фронтальные вопросы: "Чему равны $\sin 0$ и $\cos 0$? Какие координаты имеет точка на единичной окружности в верхней точке? Где синус положителен? Где косинус отрицателен?" Учитель фиксирует ответы в краткой таблице. | Отвечают: "$\sin 0=0$, $\cos 0=1$"; "верхняя точка имеет координаты $(0;1)$"; "синус положителен в первой и второй четвертях"; "косинус отрицателен во второй и третьей". |
Запись в тетрадях
Записать: $180^\circ=\pi$; $\sin \alpha$ — ордината точки единичной окружности, $\cos \alpha$ — абсцисса этой точки; знак функции определяется четвертью.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы вспомнили радианную меру и координатный смысл синуса и косинуса. Теперь проверим, какое именно затруднение возникает, когда аргументом становится произвольное число."
Этап 3. Постановка проблемы и целеполагание (4 мин)
Цель этапа: выявить затруднение и совместно сформулировать цель урока.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель предлагает задание: "Сравните выражения $\sin 30^\circ$ и $\sin \frac{\pi}{6}$. Можно ли считать их разными? А как определить знак выражения $\cos \frac{4\pi}{3}$? Запишите, что именно пока не получается." | Решают известную часть и фиксируют затруднение: "$30^\circ=\frac{\pi}{6}$, значит значения совпадают"; "для $\frac{4\pi}{3}$ нужно определить четверть". |
2 мин | Учитель применяет приём «Незаконченная формулировка»: "Продолжите фразу: чтобы найти значение тригонометрической функции числового аргумента, нужно... Какие шаги войдут в наш алгоритм?" | Предлагают алгоритм: "перевести аргумент в градусы или распознать известный радиан; определить точку или четверть; найти значение и проверить знак". Формулируют цель: "научиться работать с числовым аргументом". |
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Затруднение обнаружено: нам нужно уверенно связывать число с углом и положением точки на окружности. Сформулированный алгоритм сейчас проверим на конкретных примерах, а затем применим самостоятельно."
Этап 4. Открытие нового знания через практику (10 мин)
Цель этапа: построить алгоритм нахождения значений функций числового аргумента на основе единичной окружности.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
4 мин | Учитель показывает единичную окружность и говорит: "Рассмотрим число $\frac{\pi}{3}$. Оно задаёт поворот на угол $60^\circ$. Точка окружности имеет координаты $\left(\frac{1}{2};\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$. Поэтому абсцисса даёт косинус, а ордината — синус. Запишем: $\cos \frac{\pi}{3}=\frac{1}{2}$ и $\sin \frac{\pi}{3}=\frac{\sqrt{3}}{2}$. Что изменится для угла $\frac{4\pi}{3}$?" | По схеме находят третью четверть, определяют отрицательные знаки и формулируют: "$\cos \frac{4\pi}{3}=-\frac{1}{2}$, $\sin \frac{4\pi}{3}=-\frac{\sqrt{3}}{2}$". |
3 мин | Учитель записывает алгоритм на доске: "Первый шаг — распознать или перевести аргумент. Второй — определить четверть и знак. Третий — использовать табличное значение острого угла. Четвёртый — выполнить проверку по диапазону значений: $-1\leq\sin x\leq1$, $-1\leq\cos x\leq1$." Учитель просит применить алгоритм к $\sin \frac{5\pi}{6}$. | В тетрадях выполняют четыре шага: $\frac{5\pi}{6}=150^\circ$; вторая четверть; синус положителен; справочный угол $30^\circ$; ответ $\sin \frac{5\pi}{6}=\frac{1}{2}$. |
3 мин | Учитель предлагает фронтальную «Эстафету четвертей»: "Я называю аргумент, а следующий ученик называет четверть и знак синуса, косинуса и тангенса. Аргументы: $\frac{\pi}{4}$, $\frac{3\pi}{4}$, $\frac{7\pi}{4}$. Объясняйте ответ одним предложением." | Называют: для $\frac{\pi}{4}$ первая четверть, все функции положительны; для $\frac{3\pi}{4}$ вторая, синус положителен, косинус и тангенс отрицательны; для $\frac{7\pi}{4}$ четвёртая, косинус положителен, синус и тангенс отрицательны. |
Запись в тетрадях
Записать алгоритм: 1) определить радианную или градусную меру аргумента; 2) найти четверть; 3) определить знак функции; 4) найти табличное значение по связанному острому углу; 5) проверить ответ.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Теперь у нас есть рабочий алгоритм, а не только отдельные значения. Проверим его сначала вместе на коротких заданиях, затем каждый выберет уровень самостоятельной практики."
Этап 5. Первичное закрепление. Фронтальная игра «Тригонометрическое лото» (7 мин)
Цель этапа: закрепить распознавание основных аргументов, четвертей и значений функций.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель раздаёт парам наборы карточек с аргументами и ответами: $\sin \frac{\pi}{6}$, $\cos \frac{3\pi}{4}$, $\tan \frac{\pi}{4}$, $\sin \frac{3\pi}{2}$. "Соедините выражение с правильным значением. Обязательно проговаривайте, какая четверть или осевая точка использована." | В парах сопоставляют карточки и записывают обоснование: $\frac{1}{2}$, $-\frac{\sqrt{2}}{2}$, $1$, $-1$. Один представитель пары объясняет один ответ. |
2 мин | Учитель организует проверку: "Поднимите карточку зелёного цвета, если согласны с ответом, жёлтую — если сомневаетесь. Почему $\cos \frac{3\pi}{4}$ отрицателен?" | Показывают карточки, отвечают: "$\frac{3\pi}{4}$ лежит во второй четверти, где косинус отрицателен". |
2 мин | Учитель предлагает задание на поиск ошибки: "Ученик записал $\sin \frac{5\pi}{3}=\frac{\sqrt{3}}{2}$. Найдите ошибку и исправьте решение." | Находят ошибку в знаке: угол в четвёртой четверти, поэтому $\sin \frac{5\pi}{3}=-\frac{\sqrt{3}}{2}$; объясняют исправление. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы убедились, что ошибка чаще всего появляется не в таблице, а при определении четверти и знака. Сейчас каждый выполнит самостоятельную работу и сможет выбрать посильный уровень."
Этап 6. Самостоятельная работа с дифференциацией (10 мин)
Цель этапа: проверить индивидуальное применение алгоритма к заданиям трёх уровней сложности.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель объясняет выбор: "На карточке есть базовый, повышенный и продвинутый уровень. Базовый обязателен для всех, затем можно перейти выше. Работайте самостоятельно, записывайте промежуточные шаги: аргумент, четверть, знак, значение." | Выбирают карточку, записывают фамилию и начинают работу. |
5 мин | Учитель раздаёт задания. Базовый уровень: найти $\sin \frac{\pi}{6}$, $\cos \pi$, $\tan \frac{\pi}{4}$, $\sin \frac{3\pi}{2}$. Повышенный уровень: найти $\cos \frac{5\pi}{6}$, $\sin \frac{7\pi}{4}$, $\tan \frac{3\pi}{4}$ и объяснить знаки. Продвинутый уровень: сравнить без вычисления $\sin \frac{2\pi}{3}$ и $\sin \frac{\pi}{3}$; найти ошибку в равенстве $\cos \frac{4\pi}{3}=\frac{1}{2}$. | Решают выбранные задания, используют единичную окружность как модель, отмечают затруднительные пункты знаком вопроса. |
2 мин | Учитель выводит эталон: "$\sin \frac{\pi}{6}=\frac12$; $\cos\pi=-1$; $\tan\frac\pi4=1$; $\sin\frac{3\pi}{2}=-1$. Для повышенного уровня: $\cos\frac{5\pi}{6}=-\frac{\sqrt3}{2}$, $\sin\frac{7\pi}{4}=-\frac{\sqrt2}{2}$, $\tan\frac{3\pi}{4}=-1$." | Сверяют решения, подчёркивают совпавшие ответы, исправляют ошибки другим цветом. |
2 мин | Учитель предлагает самопроверку: "Поставьте себе плюс за верный алгоритм, точный ответ и объяснение знака. Если ошибка есть, подпишите её причину: перевод, четверть, знак или табличное значение." | Подсчитывают количество верных ответов, классифицируют собственную ошибку и формулируют, что нужно повторить. |
Эталон решения
Для примера $\cos\frac{5\pi}{6}$: $\frac{5\pi}{6}=150^\circ$; угол расположен во второй четверти, где косинус отрицателен; связанный острый угол равен $30^\circ$; поэтому $\cos\frac{5\pi}{6}=-\cos30^\circ=-\frac{\sqrt3}{2}$. Для $\tan\frac{3\pi}{4}$: угол расположен во второй четверти, тангенс отрицателен, связанный угол $45^\circ$, следовательно $\tan\frac{3\pi}{4}=-1$.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Самостоятельная работа показала, что алгоритм уже можно применять без постоянной подсказки. Осталось осмыслить, какие действия стали уверенными, а где нужна дополнительная тренировка."
Этап 7. Рефлексия и домашнее задание (5 мин)
Цель этапа: оценить достижение цели урока, выявить затруднения и сообщить дифференцированное домашнее задание.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель проводит рефлексию «Светофор»: "Покажите зелёную карточку, если можете по числовому аргументу определить четверть, знак и значение функции; жёлтую — если нужна тренировка; красную — если алгоритм пока не складывается. Одним предложением объясните свой выбор." | Показывают карточку и формулируют: "Я уверенно перевожу радианы в градусы"; "Мне трудно определять знак тангенса". |
1 мин | Учитель раздаёт билет на выход: "Ответьте письменно на два вопроса: чему равен $\cos\frac{2\pi}{3}$ и какой шаг алгоритма оказался для вас самым важным?" | Записывают ответ: "$-\frac12$" и кратко называют шаг, который помог решить задание. |
2 мин | Учитель сообщает домашнее задание: "Выберите обязательный уровень и, при желании, добавьте повышенный или продвинутый. Проверьте, чтобы в каждом решении были указаны аргумент, четверть и знак." | Записывают задание, задают уточняющие вопросы, сдают билет на выход. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Сегодня мы связали числовой аргумент с точкой единичной окружности, научились находить основные значения и определять знаки функций. На следующем уроке продолжим исследование свойств тригонометрических функций и перейдём к их графическому представлению."
Критерии оценивания практической работы
- "5" — верно выполнены все задания выбранного базового и повышенного уровня либо не менее 80 процентов заданий продвинутого уровня; в решениях указаны четверти, знаки и промежуточные шаги.
- "4" — верно выполнены все базовые задания и не менее половины повышенных; допущена не более одной существенной ошибки в определении знака или табличного значения.
- "3" — верно выполнены не менее трёх базовых заданий, но есть ошибки в переводе аргумента, определении четверти или записи ответа; ученик может исправить ошибку по эталону.
- Ниже отметки «3» — менее трёх верных базовых ответов или отсутствие обоснования; работу необходимо повторить с опорой на алгоритм.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Что нового вы узнали о числовом аргументе тригонометрической функции? | Проверка осознания связи числа, угла и точки единичной окружности. |
Какой шаг алгоритма помог вам решить большинство заданий? | Выявление наиболее продуктивной опоры в рассуждении. |
На каком задании возникло затруднение и почему? | Выявление точек затруднения: перевод аргумента, четверть, знак или табличное значение. |
Что вы готовы объяснить однокласснику уже сейчас? | Оценка уверенности и развитие навыка математического объяснения. |
Завершающее слово учителя
"Сегодня мы научились рассматривать синус, косинус и тангенс как функции числового аргумента. Главная опора при решении — единичная окружность: она помогает определить и значение, и знак функции. Типичная ошибка связана с тем, что ученик сразу вспоминает число из таблицы, но забывает проверить четверть. На следующем уроке мы используем этот алгоритм при исследовании свойств и построении графиков тригонометрических функций."
Домашнее задание
Уровень | Что задать | Зачем |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | Решить 6 заданий на нахождение значений синуса, косинуса и тангенса для аргументов $0$, $\frac{\pi}{6}$, $\frac{\pi}{4}$, $\frac{\pi}{3}$, $\frac{\pi}{2}$, $\pi$ и связанных с ними углов. В каждом решении указать четверть или осевую точку и знак функции. | Закрепляет таблицу основных значений и алгоритм определения знака; при проверке смотреть на наличие промежуточных шагов. |
Средний (повышающий) | Решить 4 задания на вычисление значений функций для аргументов во всех четырёх четвертях, включая $\frac{5\pi}{6}$, $\frac{4\pi}{3}$, $\frac{7\pi}{4}$. Одно задание оформить с рисунком единичной окружности. | Развивает применение свойств в новых ситуациях; при проверке оценивать правильность четверти и связанного острого угла. |
Продвинутый (дополнительный) | Составить и решить 3 собственных задания: одно на синус, одно на косинус и одно на тангенс числового аргумента. Одно задание должно содержать намеренную ошибку в решении с последующим её объяснением. | Развивает создание математической модели, анализ ошибки и аргументацию; при проверке смотреть на корректность условий и объяснение. |
Контрольные вопросы перед выходом: "Что задаёт числовой аргумент на единичной окружности? Как определить знак функции по четверти? Чему равны $\sin\frac{\pi}{6}$, $\cos\frac{\pi}{3}$ и $\tan\frac{\pi}{4}$? Как проверить, что найденное значение синуса или косинуса возможно?"
