Наибольшее и наименьшее значение функции. Ограниченность функции на промежутке
Цели и задачи
- Цель по SMART: к концу урока научиться находить наибольшее и наименьшее значения функции на заданном промежутке по графику и формуле, определять ограниченность функции и обосновывать полученный ответ не менее чем в трёх практических заданиях.
- Сформировать понимание различий между наибольшим и наименьшим значениями функции, верхней и нижней границами множества её значений.
- Научить применять алгоритм исследования функции на промежутке: определить область поиска, найти критические точки и значения на концах промежутка, сравнить полученные значения.
- Развивать умение анализировать графики и математические модели, работать с цифровым инструментом и аргументированно представлять решение.
- Воспитывать ответственность за точность вычислений, самостоятельность выбора способа решения и понимание практической ценности математического анализа.
Планируемые результаты
Личностные
- Осознают связь исследования функций с задачами физики, экономики, инженерии и будущей профессиональной деятельностью.
- Проявляют готовность проверять правдоподобие результата и признавать необходимость коррекции решения.
- Развивают учебную самостоятельность при выборе аналитического или графического способа решения.
- Понимают значение точной математической аргументации при принятии решений в реальных ситуациях.
Метапредметные
- Формулируют цель исследования функции и планируют последовательность действий.
- Извлекают информацию из формулы, графика и таблицы значений, сопоставляют разные способы представления данных.
- Анализируют полученные значения, сравнивают их и формулируют вывод об ограниченности функции.
- Используют цифровой графический инструмент для проверки гипотезы, не заменяя вычислительное обоснование.
- Аргументируют ответ в парной и фронтальной работе, корректно задают уточняющие вопросы.
Предметные
- Знать определения наибольшего и наименьшего значения функции на множестве и определения ограниченности функции сверху и снизу.
- Уметь находить наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке по графику и формуле.
- Уметь учитывать концы промежутка и критические точки при исследовании функции.
- Уметь различать достижимую границу и недостижимую границу множества значений.
- Владеть алгоритмом записи ответа с указанием значения функции и точки, в которой оно достигается.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Соотносят изучаемый материал с задачами, возникающими в естественно-научных и социально-экономических моделях.
- Осознают личную ответственность за самостоятельность и достоверность математического вывода.
- Формируют положительное отношение к исследовательской деятельности и преодолению затруднений.
Регулятивные УУД
- Принимают и уточняют учебную цель на основе проблемного задания.
- Планируют исследование функции на заданном промежутке.
- Осуществляют пошаговый самоконтроль вычислений и сравнения значений.
- Сопоставляют результат с графиком и исправляют обнаруженные ошибки.
- Оценивают степень достижения цели с помощью листа самооценки.
Познавательные УУД
- Выделяют существенные признаки наибольшего и наименьшего значения функции.
- Строят логическую цепочку от формулы функции к критическим точкам и сравнению значений.
- Моделируют зависимость величин графиком и таблицей.
- Проверяют гипотезу с помощью цифрового графического инструмента.
- Классифицируют промежутки как ограниченные или неограниченные и обосновывают вывод.
Коммуникативные УУД
- Распределяют роли в паре при решении практической задачи.
- Формулируют вопрос к решению одноклассника и отвечают на него по существу.
- Аргументируют выбор критических точек и способ сравнения значений.
- Согласуют общий вывод и корректно исправляют математические ошибки.
- Представляют краткое решение, используя точные математические термины.
Подготовка учителя к уроку
- Подготовить презентацию с проблемным графиком функции, определениями, алгоритмом исследования и двумя реальными моделями: высота тела и прибыль предприятия.
- Создать на интерактивной доске или в графическом приложении графики функций $f(x)=x^2-4x+1$ и $g(x)=\frac{1}{x}$ с выделенными промежутками.
- Распечатать карточки трёх уровней сложности: по одной карточке на каждого ученика, всего 30 экземпляров.
- Распечатать лист самооценки и билет на выход — по одному экземпляру на каждого ученика.
- Подготовить цветные стикеры трёх цветов для приёма «Светофор» — по одному комплекту на парту.
- Вывести на доску памятку: «1. Найти критические точки. 2. Учесть концы промежутка. 3. Вычислить значения. 4. Сравнить. 5. Записать вывод».
- Подготовить ноутбук, проектор, интерактивную доску и доступ к графическому приложению; заранее проверить отображение формул.
- Организовать рабочие пары и назначить в каждой паре роли: вычислитель и проверяющий.
- Подготовить эталон решений для самостоятельной работы и критерии оценивания на отдельном слайде.
Ход урока
Этап 1. Организационный момент и мотивация (3 мин)
Цель этапа: включить учащихся в исследовательскую деятельность и показать практический смысл поиска экстремальных значений.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель приветствует класс и выводит на экран график изменения высоты мяча во времени: «Здравствуйте, ребята. Сегодня мы будем не просто вычислять значения, а искать ответы на вопрос, который постоянно возникает в науке и технике: какого максимума достигает величина и каким бывает её минимальное значение. Посмотрите на график и определите, в какой момент высота мяча наибольшая». | Рассматривают график, называют предполагаемый момент максимума и формулируют ответ: «На вершине графика, примерно в середине промежутка». |
2 мин | Учитель продолжает: «В инженерной задаче недостаточно сказать, что график имеет вершину. Нужно указать точное значение и понять, достигается ли оно. Сегодня мы научимся делать это по графику и формуле, а затем проверим рассуждение с помощью цифрового инструмента». Учитель объявляет тему урока и показывает её на слайде. | Записывают тему урока, формулируют предварительную цель: «Научиться находить максимальное и минимальное значения функции на промежутке». |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Мы увидели, что один и тот же вопрос возникает при изучении движения, стоимости и других процессов. Теперь выясним, какие знания о функции нужны, чтобы отвечать на него точно».
Этап 2. Актуализация знаний (5 мин)
Цель этапа: восстановить понятия промежутка, критической точки, производной и графика функции.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель проводит устную разминку: «Запишите в тетради функцию $f(x)=x^2-4x+1$. Назовите координаты вершины параболы и направление её ветвей. Вспомните, как по производной определить промежутки возрастания и убывания». | Вычисляют $x_0=2$, $f(2)=-3$, называют вершину $(2;-3)$ и отвечают: «Ветви направлены вверх; функция убывает до $x=2$ и возрастает после $x=2$». |
3 мин | Учитель раздаёт мини-карточку с утверждениями и просит применить приём «Верно — неверно»: «На отрезке обязательно существует наибольшее и наименьшее значение непрерывной функции. Если функция возрастает на отрезке, максимум находится в правом конце, а минимум — в левом. Значение функции в критической точке всегда является наибольшим». После обсуждения учитель просит объяснить спорное утверждение. | Отмечают утверждения, обсуждают их в парах и исправляют третье: «Критическая точка может давать минимум, максимум или не быть экстремумом». Приводят пример возрастающей функции и называют значения на концах отрезка. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Мы вспомнили, что направление монотонности и критические точки помогают найти кандидатов на экстремум. Но пока неясно, какие именно точки нужно обязательно проверять на заданном промежутке. Зафиксируем это затруднение».
Этап 3. Постановка проблемы и целеполагание (4 мин)
Цель этапа: обнаружить необходимость полного алгоритма сравнения значений и сформулировать план открытия нового знания.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель показывает функцию $f(x)=x^2-4x+1$ на отрезке $[0;5]$ и спрашивает: «Если мы нашли вершину параболы, достаточно ли этого, чтобы назвать наибольшее и наименьшее значения на отрезке? Какие точки могут повлиять на ответ? Подумайте индивидуально 30 секунд, затем обсудите в паре». | Сначала записывают гипотезу, затем обсуждают её в парах. Предполагают: «Нужно проверить вершину и оба конца отрезка, потому что максимум может быть на границе». |
2 мин | Учитель фиксирует на доске план: «Нам нужно определить, какие точки исследовать, вычислить значения функции в них, сравнить результаты и научиться формулировать вывод об ограниченности. Согласны ли вы с таким планом? Какой инструмент поможет быстро проверить графическую гипотезу?» | Формулируют цель и предлагают использовать графическое приложение или интерактивную доску для проверки формы графика. Записывают план исследования в тетрадь. |
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Проблема поставлена: одного взгляда на вершину недостаточно. Сейчас мы сами построим алгоритм, который позволит не пропустить ни одной важной точки».
Этап 4. Открытие нового знания и межпредметная связь (9 мин)
Цель этапа: вывести алгоритм нахождения наибольшего и наименьшего значений и связать его с исследованием реальной зависимости.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
4 мин | Учитель организует эвристическую беседу: «Рассмотрим $f(x)=x^2-4x+1$ на $[0;5]$. Производная равна $f'(x)=2x-4$, поэтому критическая точка $x=2$. Какие точки сравниваем? Запишите значения: $f(0)$, $f(2)$ и $f(5)$. Не забывайте: нас интересуют значения функции, а не только абсциссы точек». | Выписывают критическую точку и считают: $f(0)=1$, $f(2)=-3$, $f(5)=6$. Сравнивают числа и формулируют: «Наименьшее значение равно $-3$ при $x=2$, наибольшее равно $6$ при $x=5$». |
3 мин | Учитель выводит на экран график и показывает работу цифрового инструмента: «Проверьте, совпадает ли график с вычислениями. Теперь рассмотрим практическую модель прибыли $P(x)=-x^2+12x-20$, где $x$ — количество десятков изделий, а $x\in[2;8]$. Что означает максимум функции в этой ситуации?» | Строят или рассматривают график, находят критическую точку $x=6$, вычисляют $P(2)=-4$, $P(6)=16$, $P(8)=12$. Объясняют: «Максимальная прибыль равна 16 условным единицам при выпуске 60 изделий». |
2 мин | Учитель формулирует определения: «Число $M$ — наибольшее значение функции на множестве, если для всех допустимых $x$ выполняется $f(x)\leq M$, и существует точка, где $f(x)=M$. Аналогично определяется наименьшее значение. Функция ограничена сверху, если существует число $M$, такое что $f(x)\leq M$, и ограничена снизу, если существует число $m$, такое что $f(x)\geq m$». Учитель просит выделить условие достижения значения. | Записывают определения, подчёркивают слова «для всех» и «существует точка». Делают вывод: «Наибольшая и наименьшая границы должны достигаться, а ограниченность может описываться границей, которая не достигается». |
Запись в тетрадях
Алгоритм: 1) найти критические точки, принадлежащие промежутку; 2) добавить концы отрезка; 3) вычислить значения функции; 4) сравнить их; 5) записать наибольшее и наименьшее значения и точки их достижения. Для ограниченности функции указать, существует ли верхняя или нижняя граница на данном промежутке.
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Мы получили рабочий алгоритм и проверили его на математической и экономической модели. Теперь применим его вместе, проговаривая каждый шаг».
Этап 5. Первичное закрепление в парах (8 мин)
Цель этапа: отработать алгоритм на практических заданиях с взаимной проверкой и обсуждением ошибок.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель раздаёт карточки базового уровня: «Вычислите наибольшее и наименьшее значения функции $f(x)=x^2-6x+5$ на отрезке $[1;5]$. Работайте по памятке: один ученик выполняет вычисления, второй проверяет, все ли кандидаты учтены. Через три минуты поменяйтесь ролями». | Находят $f'(x)=2x-6$, критическую точку $x=3$, вычисляют $f(1)=0$, $f(3)=-4$, $f(5)=0$. Записывают: «Наименьшее значение $-4$ при $x=3$, наибольшее значение $0$ при $x=1$ и $x=5». |
3 мин | Учитель предлагает задание повышенного уровня: «Исследуйте функцию $g(x)=\frac{1}{x}$ на промежутке $[1;4]$. Можно ли утверждать, что она ограничена сверху и снизу на этом промежутке? Обоснуйте ответ без построения полного графика». | Определяют, что функция убывает на $[1;4]$, вычисляют $g(1)=1$ и $g(4)=0,25$, формулируют: «Функция ограничена сверху числом 1 и снизу числом 0,25; эти границы достигаются». |
2 мин | Учитель проводит взаимопроверку по эталону на экране и использует приём «Две звезды и пожелание»: «Назовите два удачных действия в решении партнёра и одну рекомендацию. Обсуждайте математические действия, а не личные качества». | Сверяют решения с эталоном, отмечают два сильных места и одну ошибку или рекомендацию: например, «учтены концы отрезка», «правильно найдено значение в критической точке», «нужно точнее оформить вывод». |
Эталон решения
Для $f(x)=x^2-6x+5$: $f'(x)=2x-6$, $f'(x)=0$ при $x=3$. Проверяем $x=1,3,5$: $f(1)=0$, $f(3)=-4$, $f(5)=0$. Следовательно, $f_{\min}=-4$ при $x=3$, $f_{\max}=0$ при $x=1$ и $x=5$.
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Алгоритм работает только тогда, когда мы проверяем все точки-кандидаты и записываем не одно число, а значение вместе с условием его достижения. Теперь каждый выполнит исследование самостоятельно».
Этап 6. Самостоятельная работа с самопроверкой и ИКТ (10 мин)
Цель этапа: проверить индивидуальное освоение алгоритма и научить сопоставлять аналитический результат с цифровым графиком.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
6 мин | Учитель раздаёт карточки двух вариантов: «Вариант А: найдите наибольшее и наименьшее значения $h(x)=-x^2+4x+1$ на $[-1;3]$. Вариант Б: найдите наибольшее и наименьшее значения $p(x)=x^3-3x$ на $[-2;2]$. Запишите производную, критические точки, проверяемые значения и полный вывод. Работайте индивидуально, не пропускайте концы промежутка». | Самостоятельно решают выбранный или назначенный вариант. В варианте А находят критическую точку $x=2$, сравнивают $h(-1)=-4$, $h(2)=5$, $h(3)=4$. В варианте Б находят критические точки $x=-1$ и $x=1$, сравнивают значения на концах и в критических точках. |
2 мин | Учитель предлагает цифровую проверку: «Откройте графическое приложение, введите свою функцию и выделите заданный промежуток. Сравните положение вершины или поворотных точек с вычислениями. Если график противоречит ответу, сначала проверьте арифметику и область исследования». | Строят график, визуально проверяют расположение экстремумов, отмечают в работе знак «+» при совпадении и записывают исправление при расхождении. |
2 мин | Учитель показывает эталон и проводит самопроверку: «Поставьте себе один балл за производную, один — за все критические точки, один — за вычисление значений, один — за сравнение и один — за корректную формулировку ответа. Поднимите зелёную, жёлтую или красную карточку в зависимости от степени уверенности». | Сверяют решение, подсчитывают баллы, поднимают карточку «Светофора» и записывают, какой шаг требует повторения. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Большинство из вас уже умеет выполнять исследование по алгоритму. Ошибки чаще всего возникают при забытом конце промежутка или при неверной записи точки достижения. Завершим урок короткой рефлексией и проверим, достигли ли мы цели».
Этап 7. Рефлексия и домашнее задание (6 мин)
Цель этапа: осмыслить способ действия, выявить затруднения и обеспечить перенос алгоритма в домашнюю практику.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель раздаёт билет на выход: «Ответьте письменно на два вопроса. Первый: какие точки нужно проверить при поиске экстремумов на отрезке? Второй: чем наибольшее значение отличается от верхней границы? Ответ должен содержать математические формулировки». | Пишут ответы: «Критические точки внутри промежутка и его концы»; «Наибольшее значение достигается функцией, а верхняя граница может не достигаться». |
2 мин | Учитель предлагает приём «Одноминутная рефлексия»: «Продолжите три фразы: “Сегодня я научился…”, “Самым трудным для меня было…”, “Чтобы улучшить решение, я буду…”. Подумайте не только о правильности ответа, но и о способе работы». | Заполняют три фразы, называют индивидуальное затруднение и способ его устранения. |
2 мин | Учитель объявляет домашнее задание: «Выберите уровень, ориентируясь на собственную самооценку. Обязательный уровень выполняют все; повышающий и дополнительный выбирают те, кто готов к более самостоятельному исследованию. В каждом решении записывайте полный алгоритм». | Записывают домашнее задание выбранного уровня, задают уточняющие вопросы, сдают билет на выход. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Сегодня вы научились находить экстремальные значения не по догадке, а по строгому алгоритму: критические точки, концы промежутка, вычисление и сравнение. Этот способ пригодится при исследовании функций и решении практических задач. На следующем уроке мы расширим его и рассмотрим более сложные модели».
Критерии оценивания практической работы
- «5» — верно выполнено задание карточки, найдены все критические точки и концы промежутка, значения вычислены без ошибок, вывод о максимуме и минимуме записан с указанием точек достижения; цифровая проверка использована корректно.
- «4» — алгоритм применён верно, но допущена одна вычислительная или оформительская ошибка, не повлиявшая на ход рассуждения, либо неполно сформулирован вывод.
- «3» — найден хотя бы один существенный кандидат на экстремум и выполнена часть вычислений, но пропущена точка, допущены две ошибки или отсутствует обоснование ограниченности функции.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Какие точки обязательно нужно проверять при поиске наибольшего и наименьшего значения на отрезке? | Проверка понимания алгоритма и выявление пропуска концов промежутка или критических точек. |
Как вы объясните различие между наибольшим значением и верхней границей функции? | Выявление понимания условия достижения значения. |
На каком шаге самостоятельной работы возникло затруднение? | Диагностика точки затруднения: производная, вычисления, сравнение или формулировка вывода. |
Как цифровой график помог проверить решение, но не заменил его? | Осознание роли ИКТ как инструмента проверки математической гипотезы. |
Завершающее слово учителя
«Сегодня мы научились находить наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке и определять её ограниченность. Главное — не ограничиваться поиском вершины: необходимо проверить все критические точки и концы промежутка. Графический инструмент помогает увидеть модель и обнаружить ошибку, но доказательство строится на вычислениях и сравнении. На следующем уроке мы продолжим исследовать функции и применим этот алгоритм к более сложным задачам».
Домашнее задание
Уровень | Что задать | Зачем |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | Решить 4 задачи на нахождение наибольшего и наименьшего значений квадратичной функции на заданных отрезках; в каждом решении указать критическую точку, концы промежутка и все вычисленные значения. | Закрепляет базовый алгоритм; при проверке обратить внимание на учёт концов отрезка и полный вывод с точкой достижения. |
Средний (повышающий) | Решить 3 задачи на исследование функций, заданных формулами разной степени, включая задачу на ограниченность функции сверху и снизу на промежутке. | Развивает перенос алгоритма на новые виды функций; при проверке оценить правильность нахождения критических точек и формулировку границ. |
Продвинутый (дополнительный) | Составить и решить практическую задачу о максимальной прибыли, площади или высоте тела, описываемой квадратичной функцией на заданном промежутке; дополнительно построить график и объяснить смысл найденного экстремума. | Формирует умение создавать математическую модель и интерпретировать результат; при проверке смотреть на реалистичность промежутка, корректность модели и обоснование ответа. |
Контрольные вопросы перед выходом: «Какие точки проверяются на отрезке? Когда функция ограничена сверху? Обязательно ли верхняя граница является наибольшим значением? Как записать ответ, если максимум достигается в двух точках?»
