Нули функции и промежутки знакопостоянства
Цели и задачи
- Цель урока: к концу занятия научиться находить нули функции по её формуле или графику и определять промежутки, на которых функция сохраняет положительный или отрицательный знак, обосновывая ответ знаками на числовой прямой.
- Сформировать понимание связи между нулями функции, пересечениями её графика с осью абсцисс и промежутками знакопостоянства.
- Научить применять алгоритм исследования знака функции на примере линейных, квадратных и рациональных выражений.
- Развивать умение анализировать график и формулу, выдвигать гипотезу, проверять её подстановкой и аргументировать вывод.
- Воспитывать аккуратность математической записи, самостоятельность при выборе способа решения и ответственное отношение к проверке результата.
Планируемые результаты
Личностные
- Осознают практическую ценность исследования функции для дальнейшего изучения графиков, уравнений и неравенств.
- Проявляют готовность самостоятельно проверять математическое утверждение и исправлять обнаруженную ошибку.
- Понимают значение точной записи области определения и промежутков решения для успешного освоения алгебры и подготовки к дальнейшему обучению.
Метапредметные
- Извлекают информацию о знаке функции из формулы, таблицы и графика, преобразуют её из одной формы в другую.
- Планируют последовательность исследования функции: находят область определения, нули, критические точки и проверяют знаки на промежутках.
- Сравнивают различные способы решения и аргументируют выбор наиболее рационального.
- Используют самопроверку по графику, контрольной точке и эталону решения.
Предметные
- Знать определения нуля функции, промежутка знакопостоянства, положительных и отрицательных значений функции.
- Уметь находить нули функции решением уравнения $f(x)=0$ и определять их по графику как абсциссы точек пересечения с осью $Ox$.
- Уметь находить промежутки знакопостоянства по графику и методом интервалов для произведений и частных линейных множителей.
- Уметь учитывать область определения функции и не включать в ответ точки, в которых функция не определена.
- Владеть алгоритмом оформления ответа в виде объединения промежутков.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Определяют личный уровень готовности к исследованию функции и формулируют, какая операция требует дополнительной тренировки.
- Связывают точность математических выводов с ответственностью за принимаемое решение.
- Проявляют познавательный интерес к исследованию одной функции несколькими способами.
Регулятивные УУД
- Формулируют цель исследования функции и составляют план действий.
- Контролируют порядок расстановки критических точек на числовой прямой.
- Сверяют промежуточные результаты с областью определения и выполняют коррекцию ошибочной записи.
- Оценивают свою работу по заданным критериям и фиксируют затруднение.
Познавательные УУД
- Выделяют существенные признаки нуля функции и промежутка знакопостоянства.
- Устанавливают причинно-следственную связь между корнями множителей и изменением знака произведения.
- Строят знаковую схему и используют её как математическую модель.
- Проверяют гипотезу подстановкой контрольной точки и сопоставлением с графиком.
Коммуникативные УУД
- Формулируют вопросы по алгоритму исследования функции и уточняют аргументацию одноклассника.
- Распределяют роли в паре: исполнитель, проверяющий и докладчик.
- Обосновывают выбор контрольной точки и корректно указывают на ошибку в знаковой схеме.
- Представляют решение с использованием математических терминов и символов.
Подготовка учителя к уроку
- Подготовить презентацию или запись на интерактивной доске с графиками трёх функций и координатной сеткой без подписанных выводов.
- Распечатать карточки для работы в парах: по одной карточке на пару, всего 15 карточек, с графиками и формулами функций.
- Подготовить три комплекта карточек повышенной сложности для групп: линейная функция, квадратная функция и рациональная функция с одной точкой разрыва.
- Распечатать лист самооценки по одному экземпляру на каждого ученика.
- Заранее записать на доске проблемный вопрос: «Как по формуле доказать, где функция положительна и где отрицательна?».
- Вывести на доску или слайд памятку: «ОДЗ → нули и точки разрыва → числовая прямая → знаки на промежутках → ответ».
- Подготовить маркеры трёх цветов, магниты или стикеры для обозначения нулей и точек, исключённых из области определения.
- Обеспечить каждому ученику тетрадь, ручку и линейку; для сильных учащихся подготовить дополнительное задание на параметр.
- Подготовить таймер для самостоятельной работы и эталон решения для самопроверки.
Ход урока
Этап 1. Организационный момент и мотивация (3 мин)
Цель этапа: включить учащихся в исследовательскую деятельность и обозначить практическую значимость темы.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель приветствует класс и показывает на экране два графика, пересекающих ось $Ox$. «Здравствуйте, ребята. Сегодня мы будем не просто строить график, а исследовать его поведение. Посмотрите на экран: где график находится выше оси, а где ниже? Что происходит в точках пересечения с осью абсцисс? Запишите тему урока и приготовьтесь доказать свои предположения формулами». | Записывают дату и тему урока, рассматривают графики, формулируют наблюдение: «Выше оси функция положительна, ниже оси отрицательна, а в точках пересечения её значение равно нулю». |
2 мин | Учитель использует приём «Проблемный вопрос»: «Представьте, что график функции построен неточно или недоступен. Как по одной формуле определить, на каких промежутках функция положительна и отрицательна? Сегодня нам нужно найти общий алгоритм и проверить его на разных функциях». | Формулируют гипотезы: «Нужно решить уравнение $f(x)=0$», «Нужно разбить числовую прямую найденными точками», «Нужно проверить знак на каждом промежутке». |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Мы увидели связь положения графика и знака функции, но пока опирались только на рисунок. Теперь проверим, какие знания нам понадобятся для исследования по формуле».
Этап 2. Актуализация знаний (6 мин)
Цель этапа: восстановить знания об уравнениях, области определения и знаках произведения.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель записывает на доске функции $y=2x-6$ и $y=(x-2)(x+4)$. «Подумайте индивидуально: что нужно решить, чтобы найти точки пересечения графика с осью $Ox$? Почему в обоих случаях появляется уравнение с нулём в правой части? Запишите по одному уравнению для каждой функции». | Решают уравнения $2x-6=0$ и $(x-2)(x+4)=0$, получают корни $x=3$ и $x=2$, $x=-4$. Формулируют: «Нули функции — значения аргумента, при которых значение функции равно нулю». |
2 мин | Учитель организует «Подумай — обсуди в паре — поделись». «Определите знаки выражения $(x-2)(x+4)$ при $x<-4$, $-4<x<2$ и $x>2$. Сначала поставьте знаки самостоятельно, затем сравните с соседом». | Выбирают контрольные точки, например $-5$, $0$ и $3$, вычисляют знаки множителей и делают вывод: «На крайних промежутках произведение положительно, между корнями — отрицательно». |
2 мин | Учитель напоминает об области определения и показывает выражение $g(x)=\frac{x+1}{x-3}$. «Какая точка должна быть исключена ещё до исследования знака? Может ли $x=3$ быть нулём функции? Обоснуйте ответ». | Отвечают: «$x=3$ исключается из области определения, потому что знаменатель равен нулю. Нулём функции эта точка быть не может». |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Мы вспомнили решение уравнения $f(x)=0$, знаки произведения и необходимость учитывать область определения. Теперь выясним, как объединить эти действия в единый алгоритм».
Этап 3. Постановка проблемы и целеполагание (4 мин)
Цель этапа: сформулировать учебную проблему и совместно построить план открытия нового знания.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель предлагает сравнить два решения на доске: в первом ученик нашёл только корни функции, во втором сразу записал ответ о знаках без проверки. «Можно ли по одним нулям сразу записать промежутки знакопостоянства? Всегда ли знак меняется при переходе через нуль? Какие данные могут повлиять на ответ?» | Обсуждают в парах и формулируют: «Одних нулей недостаточно — нужно определить знак хотя бы на каждом промежутке», «Нужно учитывать кратность корня и точки, где функция не определена». |
2 мин | Учитель фиксирует предложения класса на доске. «Сформулируйте цель урока одним предложением. Какие шаги должны войти в алгоритм? Назовите их в правильной последовательности». | Предлагают цель: «Научиться находить нули и промежутки знакопостоянства». Восстанавливают план: «Найти ОДЗ, решить $f(x)=0$, отметить критические точки, определить знаки, записать ответ». |
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Цель определена, план составлен. Сейчас мы проверим его на конкретном выражении и сами откроем правило исследования знака».
Этап 4. Открытие нового знания (10 мин)
Цель этапа: вывести алгоритм нахождения промежутков знакопостоянства методом интервалов.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель записывает на доске функцию $f(x)=(x-1)(x+3)$. «Исследуем функцию по нашему плану. Область определения — все действительные числа. Найдите нули функции и объясните, почему достаточно приравнять к нулю каждый множитель». | Решают $(x-1)(x+3)=0$, получают $x=1$ и $x=-3$. Объясняют: «Произведение равно нулю, если хотя бы один множитель равен нулю». |
3 мин | Учитель строит числовую прямую и отмечает точки $-3$ и $1$. «Эти точки разбивают прямую на три промежутка. Возьмём по одной контрольной точке: $-4$, $0$, $2$. Вычислим только знаки множителей, не выполняя лишних действий. Записывайте знаковую схему». | Чертят числовую прямую, выбирают контрольные точки, определяют знаки: при $x<-3$ оба множителя отрицательны, между корнями знаки разные, при $x>1$ оба положительны. Получают знаки функции: $+$, $-$, $+$. |
2 мин | Учитель подчёркивает правило. «На каждом промежутке непрерывная функция не меняет знак без прохождения через нуль или точку разрыва. Поэтому нам достаточно выбрать одну контрольную точку на каждом промежутке. Нули в промежутки знакопостоянства не включаются: в них функция равна нулю». | Записывают вывод: «$f(x)>0$ при $x\in(-\infty;-3)\cup(1;+\infty)$; $f(x)<0$ при $x\in(-3;1)$». |
2 мин | Учитель показывает функцию $g(x)=\frac{x+2}{x-1}$. «Что изменится? Какие две точки нужно отметить: нуль числителя и точку, исключённую из ОДЗ? Почему точка $x=1$ не включается ни в один промежуток?» | Находят нуль $x=-2$ и точку разрыва $x=1$, строят интервалы $(-\infty;-2)$, $(-2;1)$, $(1;+\infty)$ и определяют знаки подстановкой контрольных точек. |
Запись в тетрадях
- Нуль функции — значение $x_0$, при котором $f(x_0)=0$. На графике нуль функции является абсциссой точки пересечения графика с осью $Ox$.
- Промежутки знакопостоянства — промежутки, на которых функция сохраняет один знак: $f(x)>0$ или $f(x)<0$.
- Алгоритм: найти область определения; найти нули функции и точки разрыва; отметить их на числовой прямой; определить знак на каждом промежутке; записать ответ, не включая нули и точки разрыва.
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Мы открыли метод интервалов: критические точки разбивают область определения, а знак на каждом промежутке устанавливается одной контрольной точкой. Теперь проверим алгоритм сначала вместе, а затем самостоятельно».
Этап 5. Первичное закрепление (7 мин)
Цель этапа: отработать алгоритм в паре на функциях разного вида и проговорить каждый шаг.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель раздаёт карточки для пар. «На карточке одна из функций: $y=3x-6$, $y=x^2-4$ или $y=\frac{x-1}{x+2}$. Работайте по памятке на доске. Один ученик выполняет построение числовой прямой, второй проверяет область определения и знаки; затем поменяйтесь ролями». | Распределяют роли, читают условие карточки и начинают исследование функции. |
4 мин | Учитель перемещается между парами и задаёт вопросы: «Какой шаг вы выполняете первым? Где находится нуль? Какие точки разбивают числовую прямую? Почему выбранная контрольная точка принадлежит этому промежутку? Не включили ли вы в ответ значение, при котором функция равна нулю или не существует?» | Находят нули, отмечают критические точки, выбирают контрольные значения и заполняют знаковую схему. Формулируют ответы полными фразами: «Функция положительна на ..., отрицательна на ...». |
2 мин | Учитель приглашает две пары представить решения. «Сравним линейную и рациональную функции. Найдите не только совпадения в алгоритме, но и различие в записи ответа». | Представляют решения у доски, исправляют ошибки с помощью приёма «Две звезды и пожелание»: называют два удачных шага и один совет по улучшению. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «В каждой задаче мы начинали с критических точек и только после этого определяли знаки. Теперь каждый проверит, умеет ли выполнить исследование без подсказки пары».
Этап 6. Самостоятельная работа с самопроверкой (9 мин)
Цель этапа: диагностировать индивидуальное освоение алгоритма и научить соотносить решение с эталоном.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
6 мин | Учитель раздаёт индивидуальные карточки трёх уровней. «Вариант 1: исследуйте $f(x)=x^2-5x+6$ и найдите промежутки, где $f(x)>0$ и $f(x)<0$. Вариант 2: исследуйте $g(x)=\frac{x-4}{x+1}$. Вариант 3: для функции $h(x)=(x-2)^2(x+3)$ определите нули и промежутки знакопостоянства. Запишите ОДЗ, разложение или преобразование, числовую прямую и итоговый ответ». | Индивидуально решают выбранный вариант. Для варианта 1 получают нули $2$ и $3$; для варианта 2 учитывают $x=-1$; для варианта 3 учитывают корень чётной кратности $x=2$ и корень $x=-3$. |
2 мин | Учитель открывает эталон на доске: «Сверяйте не только конечный ответ, но и порядок действий. Отметьте зелёным верный шаг, жёлтым — шаг, который нужно уточнить, красным — место ошибки. Исправление выполните рядом с первоначальным решением». | Сверяют решение с эталоном, находят и исправляют ошибки в ОДЗ, расстановке точек или знаковой схеме. |
1 мин | Учитель проводит быстрый «Светофор»: «Покажите карточку: зелёная — алгоритм применяю уверенно, жёлтая — нужна проверка одного шага, красная — нужно разобрать задачу вместе». | Показывают карточку, фиксируют в листе самооценки конкретное затруднение. |
Эталон решения
Для $f(x)=x^2-5x+6$: $f(x)=(x-2)(x-3)$; область определения — $\mathbb{R}$; нули $x=2$ и $x=3$. На $(-\infty;2)$ оба множителя отрицательны, поэтому $f(x)>0$; на $(2;3)$ знаки множителей различны, поэтому $f(x)<0$; на $(3;+\infty)$ оба множителя положительны, поэтому $f(x)>0$. Ответ: $f(x)>0$ при $x\in(-\infty;2)\cup(3;+\infty)$, $f(x)<0$ при $x\in(2;3)$. Для $g(x)=\frac{x-4}{x+1}$: ОДЗ $x\ne-1$, нуль $x=4$; знаки: положительный на $(-\infty;-1)$ и $(4;+\infty)$, отрицательный на $(-1;4)$. Точка $x=-1$ не входит в область определения.
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Самостоятельная работа показала, что главный источник ошибок — не вычисление, а пропуск ОДЗ или неверное включение граничной точки. На последнем этапе сформулируем общее правило и проверим, можем ли объяснить его своими словами».
Этап 7. Включение в систему знаний, рефлексия и домашнее задание (6 мин)
Цель этапа: обобщить алгоритм, связать его с графическим представлением и определить дальнейшие шаги обучения.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель возвращает класс к проблемному вопросу. «Как по формуле доказать, где функция положительна и где отрицательна? Назовите алгоритм без подсказки. Чем отличаются нуль функции и точка разрыва? Почему при записи промежутков используются круглые скобки?» | Формулируют алгоритм по памяти: «Найти ОДЗ, нули и точки разрыва, отметить их, проверить знак на каждом промежутке, записать ответ». Отвечают: «Нуль принадлежит ОДЗ и даёт значение функции 0, а точка разрыва в ОДЗ не входит». |
2 мин | Учитель предлагает мини-задание «Верно — неверно»: «Утверждение первое: если $f(a)=0$, то $a$ всегда входит в промежуток, где $f(x)>0$. Утверждение второе: точка разрыва разбивает числовую прямую при исследовании знака. Утверждение третье: знак функции достаточно проверить в одной точке каждого промежутка». | Отмечают первое утверждение как неверное, второе и третье как верные, кратко обосновывают ответы. |
2 мин | Учитель проводит «Билет на выход». «На отдельной строке запишите один нуль функции $p(x)=(x-5)(x+1)$ и промежутки, на которых $p(x)<0$. Второй строкой ответьте: какой шаг алгоритма вы теперь выполняете увереннее всего?» | Решают: нули $-1$ и $5$, отрицательный знак на $(-1;5)$; записывают личную рефлексию и сдают билет при выходе. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Сегодня мы научились исследовать знак функции по формуле и графику. Этот алгоритм станет основой для решения неравенств, поэтому важно сохранить не только ответ, но и последовательность рассуждений».
Критерии оценивания практической работы
- «5» — верно выполнено исследование функции на индивидуальной карточке: указана область определения, найдены все нули и точки разрыва, правильно построена знаковая схема и записаны оба вида промежутков без ошибок в границах.
- «4» — алгоритм выполнен полностью, но допущена одна вычислительная или оформительская ошибка, не повлиявшая на основную логику решения; после самопроверки ошибка исправлена.
- «3» — найдены основные критические точки и частично определены знаки, но допущены ошибки в одном промежутке, пропущена проверка или неверно оформлены границы ответа.
- Ниже отметки «3» — не выполнен один из обязательных этапов: не найдены нули, не учтена область определения или отсутствует обоснование знаков.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Что нового вы узнали о связи нулей функции и её графика? | Выявление понимания основного предметного содержания. |
Какой шаг алгоритма исследования знака оказался для вас самым сложным? | Выявление точек затруднения для последующей коррекции. |
Почему нельзя включать нули функции в промежутки, где $f(x)>0$ или $f(x)<0$? | Проверка понимания строгого неравенства и смысла граничных точек. |
В каком случае при исследовании обязательно нужно дополнительно учитывать область определения? | Проверка различения нулей функции и точек разрыва. |
Завершающее слово учителя
«Сегодня мы установили, что нули функции являются границами промежутков, на которых может меняться её знак. Мы научились переходить от формулы к числовой прямой и от знаковой схемы к обоснованному ответу. Самая частая ошибка — забыть область определения или включить нуль в промежуток строгого неравенства. На следующем уроке мы применим этот алгоритм к решению неравенств и рассмотрим функции с несколькими множителями. Сохраните памятку и используйте её как план рассуждения, а не как набор механических действий».
Домашнее задание
Уровень | Что задать | Зачем |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | Решить 4 задачи на нахождение нулей и промежутков знакопостоянства для линейной и квадратной функций; в каждой задаче записать область определения, нули и знаковую схему. | Закрепляет базовый алгоритм и проверяет умение связывать корни квадратного выражения со знаками функции. |
Средний (повышающий) | Решить 3 задачи на исследование знака рациональных функций вида $\frac{ax+b}{cx+d}$ и произведений линейных множителей; отдельно отметить точки, исключённые из области определения. | Формирует навык учёта точек разрыва и корректной записи объединения промежутков. |
Продвинутый (дополнительный) | Исследовать функцию с параметром или функцией с корнем чётной кратности, например $f(x)=(x-a)^2(x+b)$: определить, в каких точках знак меняется, а в каких сохраняется, и объяснить причину. | Развивает исследовательское мышление, понимание кратности корня и связь алгебраической записи с поведением графика. |
Контрольные вопросы перед выходом: «Что называется нулём функции? Какие точки разбивают числовую прямую при исследовании знака? Почему контрольную точку можно выбрать одну на каждом промежутке? Какие границы не включаются в ответ при строгих неравенствах?»
