Функция: основные понятия и свойства
Цели и задачи
- Цель урока: к концу урока научиться распознавать функцию, определять область определения и множество значений, находить значения функции по формуле и описывать её основные свойства по графику и таблице.
- Сформировать представление о функции как зависимости между переменными и научить использовать записи $y=f(x)$ и $f(a)$.
- Развивать умение анализировать таблицы, графики и формулы, устанавливать область определения и множество значений функции.
- Формировать навыки сотрудничества при создании рабочего листа и аргументированного представления результатов исследования.
- Воспитывать ответственное отношение к математической модели реальной зависимости и готовность проверять полученный результат.
Планируемые результаты
Личностные
- Проявляют интерес к исследованию зависимостей, используемых в математике, естественных науках и будущей профессиональной деятельности.
- Осознают значение точной математической записи для описания реальных процессов.
- Развивают самостоятельность, настойчивость и готовность корректировать ошибочное решение.
- Понимают связь изучаемого материала с дальнейшим изучением функций и заданиями ЕГЭ.
Метапредметные
- Извлекают информацию из формулы, таблицы и графика, сопоставляют разные способы представления зависимости.
- Формулируют гипотезу, планируют исследование и проверяют выводы на конкретных примерах.
- Участвуют в математическом диалоге, аргументируют ответ и корректно сравнивают разные решения.
- Осуществляют самоконтроль по критериям рабочего листа и фиксируют затруднения.
Предметные
- Знать определения функции, аргумента, значения функции, области определения и множества значений.
- Уметь определять, является ли соответствие функцией, и записывать зависимость в виде $y=f(x)$.
- Уметь находить $f(a)$ по формуле и устанавливать допустимые значения аргумента.
- Уметь по графику и таблице определять область определения, множество значений, нули функции, промежутки возрастания и убывания.
- Владеть алгоритмом первичного исследования функции.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Осознавать личную ответственность за точность математической записи и выводов.
- Проявлять смыслообразование через связь понятия функции с моделированием реальных процессов.
- Оценивать собственную готовность применять новые понятия в незнакомой ситуации.
- Сохранять учебную мотивацию при возникновении затруднения.
Регулятивные УУД
- Принимать и уточнять цель исследования функции.
- Планировать последовательность действий при работе с формулой и графиком.
- Проверять результат подстановкой и сопоставлением с графиком или таблицей.
- Находить ошибку в решении и вносить коррекцию.
Познавательные УУД
- Выделять существенный признак функции: каждому допустимому значению аргумента соответствует единственное значение.
- Классифицировать зависимости по способу задания.
- Моделировать зависимость с помощью таблицы, формулы и графика.
- Анализировать область определения, множество значений и свойства функции.
Коммуникативные УУД
- Распределять роли в паре при заполнении рабочего листа.
- Формулировать вопросы к условию и уточнять математические термины.
- Доказывать выводы примерами и контрпримером.
- Согласовывать общий ответ и уважительно обсуждать альтернативное решение.
Подготовка учителя к уроку
- Подготовить рабочий лист на каждого ученика: блоки «Проблема», «Открываем определение», «Исследуем функцию», «Самопроверка», «Рефлексия».
- Распечатать карточки трёх уровней сложности: базовые — по одной на ученика, повышенные — по одной на пару, исследовательские — по одной на группу.
- Вывести на экран график зависимости температуры воздуха от времени, таблицу значений и формулу $f(x)=x^2-4$.
- Записать на доске тему урока и памятку: «аргумент → формула → значение функции → свойства».
- Подготовить маркеры, стикеры трёх цветов, листы А3 для групп и шаблон критериев самопроверки.
- Проверить проектор или интерактивную доску; подготовить виртуальную координатную плоскость или заранее построенный график.
- Разделить класс на группы по 3–4 человека и предусмотреть рабочие места для представления результатов.
- Подготовить эталон: область определения, множество значений, нули, промежутки монотонности для функции $f(x)=x^2-4$.
Ход урока
Этап 1. Организационный момент и мотивация (3 мин)
Цель этапа: включить учащихся в исследование зависимости и создать мотивацию к открытию понятия функции.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель приветствует класс и говорит: "Сегодня мы начнём не с готового определения, а с исследования. Посмотрите на экран: показана температура воздуха в течение суток. Попробуйте описать, как одна величина связана с другой." | Рассматривают график, называют величины: "время" и "температура", формулируют: "температура зависит от времени". |
2 мин | Учитель продолжает: "Такие зависимости встречаются в физике, экономике, программировании и анализе данных. Сегодня нам нужно выяснить, когда зависимость можно назвать функцией и как описывать её свойства. Работать будем с рабочим листом, а часть выводов сформулируете самостоятельно." | Записывают тему в рабочем листе, формулируют предварительный вопрос: "Как определить, является ли зависимость функцией?" |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы увидели, что зависимость помогает описывать реальные процессы. Теперь проверим, какие признаки делают зависимость функцией."
Этап 2. Актуализация знаний (6 мин)
Цель этапа: актуализировать понятия переменной, координат, таблицы и графика.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель раздаёт рабочий лист и предлагает: "В первом задании сопоставьте формулу, таблицу и график. Вспомните, что называют независимой и зависимой переменной. Обсудите ответ в паре." | Заполняют соответствия, обсуждают в парах и записывают: "аргумент выбирается независимо, значение зависит от аргумента". |
2 мин | Учитель показывает пары соответствий: $x\mapsto x+2$ и $x\mapsto \pm\sqrt{x}$. Спрашивает: "Сколько значений получается при одном $x$ в каждом случае? Что меняется в этих примерах?" | Рассуждают: для первого соответствия получается одно значение, для второго при положительном $x$ возможны два значения. |
2 мин | Учитель организует приём «Светофор»: "Покажите цвет, которым обозначите свою уверенность в различии аргумента и значения функции. Затем запишите один вопрос, который нужно выяснить." | Поднимают карточку, фиксируют вопрос в рабочем листе; предполагаемые вопросы: "Можно ли задавать функцию таблицей? Как найти область определения?" |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы вспомнили способы задания зависимости и заметили главное различие: одному аргументу может соответствовать одно или несколько значений. Сформулируем точное условие."
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Этап 3. Постановка проблемы и целеполагание (4 мин)
Цель этапа: сформулировать критерий функции и план исследования её свойств.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель предлагает проблемный вопрос: "Рассмотрим соответствие: каждому ученику класса поставим в соответствие его дату рождения. А теперь каждому ученику поставим в соответствие все предметы, которые он изучает. Какое соответствие обладает признаком функции? Почему?" | Обсуждают в парах, отвечают: "Дата рождения одна, а предметов несколько; первое соответствие является функцией, второе — нет". |
2 мин | Учитель фиксирует гипотезы на доске и спрашивает: "Какие пункты нам необходимо исследовать, чтобы описать функцию полностью?" | Предлагают план: определить аргумент и значение, найти область определения и множество значений, изучить нули, возрастание и убывание. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Наша цель — не просто выучить определение, а научиться исследовать функцию по разным представлениям. Переходим к самостоятельному открытию ключевых понятий."
Этап 4. Открытие нового знания. Создание рабочего листа (10 мин)
Цель этапа: вывести определения функции, области определения, множества значений и основных свойств через исследование формулы и графика.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
4 мин | Учитель объединяет учащихся в группы и говорит: "Каждая группа получает один фрагмент исследования функции $f(x)=x^2-4$. Первая группа анализирует формулу, вторая — таблицу, третья — график, четвёртая — свойства. Заполните свой раздел рабочего листа и подготовьте объяснение классу." | В группах распределяют роли, исследуют заданный материал, записывают выводы на листе А3: допустимые $x$, значения $y$, нули, промежутки изменения. |
3 мин | Учитель направляет работу вопросами: "Какое значение нельзя подставить? Какие значения принимает функция? Где график пересекает ось $Ox$? На каких промежутках график поднимается и опускается?" | Находят: $D(f)=\mathbb{R}$, $E(f)=[-4;+\infty)$, нули $x=-2$ и $x=2$, функция убывает на $(-\infty;0]$ и возрастает на $[0;+\infty)$. |
3 мин | Учитель обобщает ответы: "Функция — это зависимость, при которой каждому значению аргумента из области определения соответствует единственное значение функции. Аргумент обозначаем $x$, значение функции — $y=f(x)$. Область определения — допустимые значения $x$, множество значений — получающиеся значения $y$." | Дополняют определения в рабочем листе, формулируют правило: "Чтобы найти $f(a)$, нужно подставить $a$ вместо $x$ и вычислить". |
Запись в тетрадях
Функция — зависимость, при которой каждому допустимому значению аргумента соответствует единственное значение функции. $D(f)$ — область определения, $E(f)$ — множество значений. Основные свойства: нули функции, промежутки знакопостоянства, возрастание, убывание, наибольшее и наименьшее значения.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы получили рабочий алгоритм исследования функции: определить допустимые $x$, найти значения, изучить график и сформулировать свойства. Теперь проверим этот алгоритм на коротких заданиях."
Этап 5. Первичное закрепление (7 мин)
Цель этапа: отработать чтение формулы и графика с проговариванием действий.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель предлагает задание: "Для функции $f(x)=3x-5$ найдите $f(2)$ и $f(-1)$. Проговорите каждый шаг: что подставляем и почему." | Решают в парах: $f(2)=3\cdot2-5=1$, $f(-1)=3\cdot(-1)-5=-8$; один ученик объясняет решение. |
2 мин | Учитель показывает график кусочной зависимости и спрашивает: "Назовите область определения, множество значений и нули функции. Не называйте только ответ — покажите, где это видно на графике." | Считывают ответы с графика, проводят вертикальные и горизонтальные проекции, аргументируют: "Область определения читается по оси $Ox$, множество значений — по оси $Oy$." |
2 мин | Учитель проводит взаимопроверку по эталону рабочего листа и говорит: "Поставьте плюс за верный результат и отметьте вопросительным знаком место, где возникло затруднение." | Сверяют решения, исправляют вычислительные ошибки, отмечают затруднение цветным стикером. |
Эталон решения
Для $f(x)=3x-5$: $f(2)=3\cdot2-5=1$; $f(-1)=3\cdot(-1)-5=-8$. Линейная функция определена при всех действительных $x$, поэтому $D(f)=\mathbb{R}$. Нуль находится из уравнения $3x-5=0$, откуда $x=\frac{5}{3}$.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы научились находить значения функции и читать свойства по графику. Следующий шаг — индивидуально применить алгоритм и доказать, что вы можете работать без подсказки."
Этап 6. Самостоятельная работа с самопроверкой (10 мин)
Цель этапа: проверить индивидуальное понимание основных понятий и обеспечить дифференциацию.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
6 мин | Учитель раздаёт карточки трёх уровней. Базовый вариант: для $f(x)=x^2+1$ найти $f(0)$ и $f(3)$, указать область определения. Повышенный: найти нули функции $f(x)=x^2-9$ и множество значений. Исследовательский: сравнить функции $x^2$ и $(x-2)^2$, описать изменение графика. | Индивидуально решают выбранный вариант, записывают вычисления и краткое объяснение. Сильные учащиеся формулируют вывод о сдвиге графика. |
2 мин | Учитель открывает эталон на экране и напоминает: "Проверяйте не только ответ, но и область определения, знаки и запись рассуждений. Ошибку сначала подчеркните, затем исправьте рядом." | Сверяют решения, подсчитывают баллы по критериям, исправляют одну выбранную ошибку. |
2 мин | Учитель проводит самопроверку: "Если вы получили полный результат, поставьте зелёную отметку; если нужна помощь — жёлтую. Запишите, какой шаг алгоритма требует повторения." | Заполняют лист самоконтроля: «умею находить значение», «умею определять область определения», «умею читать свойства графика». |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Самостоятельная работа показала, какие действия уже стали уверенными. В конце урока мы соберём все результаты в единую схему и определим следующий шаг."
Этап 7. Рефлексия и домашнее задание (5 мин)
Цель этапа: обобщить новое знание, выявить затруднения и объяснить домашнюю работу.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель предлагает приём «Одноминутка»: "За одну минуту закончите три фразы: функция — это..., $D(f)$ означает..., чтобы найти $f(a)$, нужно..." | Письменно завершают фразы, затем два ученика зачитывают ответы. |
1 мин | Учитель возвращается к проблемному вопросу: "Почему соответствие каждому ученику и его дате рождения является функцией, а соответствие ученику и всем изучаемым предметам — нет?" | Отвечают: "Одному аргументу должна соответствовать ровно одна величина; во втором случае соответствий несколько". |
2 мин | Учитель объясняет домашнее задание и говорит: "Выберите обязательный уровень или более сложный, если хотите продолжить исследование. В рабочем листе отметьте вопрос, который возьмёте на следующий урок." | Записывают задание, сдают выходной билет с определением функции и одним примером. |
Критерии оценивания практической работы
- «5» — верно выполнены все задания выбранного варианта, корректно найдены значения функции и область определения, рассуждение оформлено последовательно, исправления обоснованы.
- «4» — выполнено не менее 80% заданий, допущена одна неточность в вычислениях или записи свойства, общий алгоритм применён верно.
- «3» — выполнено не менее 60% заданий, есть ошибки в подстановке или чтении графика, но определение функции и основной способ решения поняты.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Что нового вы узнали о функции и её области определения? | Выявление осознания ключевых понятий. |
Какой шаг алгоритма исследования оказался самым трудным? | Выявление точек затруднения для коррекции. |
Как вы проверяли найденное значение функции? | Проверка сформированности навыка самоконтроля. |
Где понятие функции может понадобиться вне уроков математики? | Связь учебного материала с функциональной грамотностью и профессиональными интересами. |
Завершающее слово учителя
"Сегодня мы выяснили, что функция — это не только формула, а способ описания однозначной зависимости. Вы научились находить область определения, значения функции и читать основные свойства по графику. Самая частая ошибка — подставить число не вместо аргумента или забыть проверить допустимость значения. На следующем уроке мы продолжим исследование функций и свяжем их свойства с преобразованиями графиков."
Домашнее задание
Уровень | Что задать | Зачем |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | Решить 4 задания: для заданных формул найти значения функции в указанных точках, определить область определения и один нуль функции там, где он существует. | Закрепляет чтение формулы, подстановку и нахождение области определения; при проверке обратить внимание на знаки и оформление. |
Средний (повышающий) | Выполнить 3 исследования функций: определить область определения, множество значений, нули и промежутки возрастания и убывания по предложенным графикам. | Формирует умение извлекать свойства из графического представления и связывать их с формулой. |
Продвинутый (дополнительный) | Создать мини-исследование реальной зависимости: выбрать процесс, представить его таблицей или графиком, указать аргумент, значение функции, область определения и два свойства зависимости. | Развивает функциональную грамотность, моделирование и самостоятельное математическое рассуждение. |
Контрольные вопросы перед выходом: «Какое условие является главным для функции? Что называют областью определения? Как найти $f(a)$ по формуле? Как по графику определить нули функции?»
