Степенная функция: свойства и графики
Цели и задачи
- Цель: к концу урока научиться распознавать степенную функцию вида $y=x^a$, определять область определения и основные свойства по значению показателя $a$, а также строить эскиз графика в типичных случаях.
- Сформировать представление о степенной функции и зависимости её свойств от показателя степени.
- Научиться исследовать функцию $y=x^a$ по алгоритму: область определения, чётность, монотонность, значения и поведение графика.
- Развивать умение сравнивать математические модели, аргументировать выводы и проверять результат по графику.
- Формировать ответственное отношение к самостоятельной работе и готовность выбирать задание соответствующего уровня сложности.
Планируемые результаты
Личностные
- Осознают роль функциональной зависимости в математическом моделировании и будущей профессиональной деятельности.
- Проявляют учебную самостоятельность, готовность выбирать уровень задания и отвечать за результат.
- Понимают ценность точного обоснования вывода, а не только получения ответа.
- Снижают тревожность перед сложными заданиями через использование понятного алгоритма исследования.
Метапредметные
- Извлекают закономерность из таблицы значений и графических моделей.
- Планируют исследование функции, фиксируют промежуточные результаты и корректируют ошибочные выводы.
- Сравнивают несколько функций, выделяют общее и различия, аргументируют позицию в паре.
- Используют математическую запись и графическую информацию для решения практических задач.
Предметные
- Знают определение степенной функции $y=x^a$ и понимают роль показателя $a$.
- Умеют определять область определения функций $y=x^2$, $y=x^3$, $y=x^{-1}$, $y=x^{1/2}$.
- Умеют описывать чётность, монотонность и область значений типичных степенных функций.
- Умеют строить схематические графики $y=x^2$, $y=x^3$, $y=1/x$ и $y=\sqrt{x}$.
- Владеют алгоритмом выбора графика по формуле и выполняют задания базового и повышенного уровня.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Соотносят изучение степенной функции с задачами дальнейшего обучения и профессиональными интересами.
- Оценивают собственную готовность применять алгоритм исследования функции.
- Проявляют настойчивость при поиске ошибки в построении графика.
- Осознают необходимость проверять математическую модель на допустимость значений.
Регулятивные УУД
- Формулируют цель исследования и составляют последовательность действий.
- Распределяют время между заданиями обязательного и повышенного уровня.
- Проводят самопроверку по эталону и исправляют ошибки.
- Оценивают степень достижения цели по листу самооценки.
Познавательные УУД
- Выявляют закономерности по таблице значений и нескольким графикам.
- Классифицируют степенные функции по значениям показателя.
- Применяют свойства чётности и монотонности при исследовании.
- Моделируют функцию с помощью таблицы и координатной плоскости.
Коммуникативные УУД
- Распределяют роли в паре при выполнении исследовательского задания.
- Формулируют вопросы и дают аргументированный ответ математическим языком.
- Сравнивают решения, корректно указывают на ошибку и предлагают исправление.
- Представляют классу общий вывод пары в течение одной минуты.
Подготовка учителя к уроку
- Подготовить презентацию или изображение четырёх графиков: $y=x^2$, $y=x^3$, $y=1/x$, $y=\sqrt{x}$, без подписей формул.
- Распечатать карточки для пар: 12 комплектов с формулами, таблицами значений и вопросами разного уровня.
- Распечатать индивидуальные листы самостоятельной работы трёх уровней — по одному на каждого ученика.
- Подготовить лист самооценки и мини-билеты на выход — по одному на каждого ученика.
- Вывесить на доске алгоритм исследования: область определения, чётность, монотонность, область значений, график.
- Подготовить цветные маркеры, стикеры и координатные сетки для парной работы.
- Проверить проектор или интерактивную доску; подготовить калькулятор только для проверки отдельных значений, а не для замены рассуждения.
- Заранее разделить задания на обязательный базовый уровень и добровольный повышенный уровень.
Ход урока
Этап 1. Организационный момент и мотивация (3 мин)
Цель этапа: включить учеников в исследовательскую работу и показать практическую значимость степенных зависимостей.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель приветствует класс: "Здравствуйте, ребята. Сегодня мы будем не запоминать готовые графики, а выяснять, почему они имеют именно такой вид. Проверьте, что на столе есть тетрадь, ручка и линейка. На доске вы видите четыре графика без подписей; к концу урока мы установим формулу каждого." | Проверяют готовность, записывают дату, рассматривают четыре графика и высказывают первые предположения. |
2 мин | Учитель показывает таблицу: площадь квадрата зависит от длины стороны как $S=a^2$, а интенсивность некоторых процессов описывается обратной зависимостью $y=1/x$. "Какие общие математические идеи вы видите? Что изменится, если показатель степени будет отрицательным или дробным?" Учитель объявляет приём "Проблемный вопрос". | Формулируют предположения: "Это зависимости с переменной в степени", "при отрицательном показателе график может иметь разрывы", "при дробном показателе область определения может быть ограничена". |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы увидели, что одна общая запись может описывать разные графики. Теперь проверим, какие свойства зависят от показателя степени."
Этап 2. Актуализация знаний (5 мин)
Цель этапа: восстановить знания о степенях, области определения, чётности и чтении графиков.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель записывает на доске выражения $x^2$, $x^3$, $x^{-1}$, $x^{1/2}$ и говорит: "В парах за одну минуту определите, какие значения $x$ допустимы в каждом выражении. Не вычисляйте всё подряд — используйте свойства степени и корня." | В парах обсуждают область допустимых значений и записывают: для $x^2$ и $x^3$ — все действительные $x$; для $x^{-1}$ — $x\ne0$; для $x^{1/2}$ — $x\ge0$. |
3 мин | Учитель проводит приём "Подумай — обсуди в паре — поделись": "Определите, какие функции чётные, какие нечётные, а для каких это свойство не формулируется на всей области определения. Объясните ответ через равенство $f(-x)=f(x)$ или $f(-x)=-f(x)$." | Сначала решают индивидуально, затем сравнивают ответы в парах. Формулируют: $x^2$ — чётная, $x^3$ — нечётная, $1/x$ — нечётная; для $\sqrt{x}$ проверка на всей симметричной области невозможна. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы вспомнили свойства, которые помогут исследовать функцию без большого числа вычислений. Теперь точно сформулируем, что именно должны научиться определять."
Этап 3. Постановка проблемы и целеполагание (4 мин)
Цель этапа: сформулировать алгоритм исследования степенной функции и критерии успешной работы.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель предъявляет две функции $y=x^2$ и $y=x^3$: "Обе функции имеют вид $y=x^a$. Но их графики различаются. Какие вопросы нужно задать о функции, чтобы построить её график и описать поведение?" Учитель записывает предложения класса на доске. | Предлагают вопросы: "Какая область определения? Есть ли симметрия? Где функция возрастает или убывает? Какие значения принимает? Через какие точки проходит?" |
2 мин | Учитель обобщает: "Сегодня мы исследуем функцию $y=x^a$, где $a$ — действительное число в рассматриваемых примерах. Успешным будет решение, в котором названы область определения и два свойства, построен эскиз и объяснён выбор графика. Выберите базовый или повышенный маршрут работы." | Записывают тему и цель урока, выбирают маршрут: базовый — четыре типичных функции; повышенный — сравнение функций с различными показателями. |
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Цель определена: не просто узнать название функции, а научиться видеть свойства по показателю. Переходим к исследованию на конкретных примерах."
Этап 4. Открытие нового знания в парах (10 мин)
Цель этапа: вывести основные свойства типичных степенных функций через практическое исследование таблиц и графиков.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель раздаёт парам карточки четырёх типов: $y=x^2$, $y=x^3$, $y=1/x$, $y=\sqrt{x}$. "Распределите роли: аналитик определяет свойства, график-строитель отмечает точки. Затем поменяйтесь ролями. Заполните таблицу: область определения, симметрия, монотонность, область значений." | Распределяют роли, читают карточку и приступают к заполнению таблицы. |
4 мин | Учитель направляет работу вопросами: "Для $y=x^2$ сравните значения при $x=-2,-1,0,1,2$. Что показывает симметрия? Для $y=x^3$ сравните порядок аргументов и значений. Для $1/x$ объясните, почему нельзя брать $x=0$. Для $\sqrt{x}$ укажите, почему отрицательные аргументы не подходят." | Строят небольшие таблицы значений, отмечают точки на координатной сетке и формулируют выводы: парабола симметрична относительно оси $Oy$; кубическая функция нечётная и возрастает; гипербола имеет две ветви; корневая функция определена при $x\ge0$. |
4 мин | Учитель организует мини-обсуждение: "Каждая пара представит один пример за 45 секунд. Назовите не только результат, но и основание вывода. Слушатели отмечают в листе, совпадает ли область определения и свойство симметрии с эталоном на доске." | Пары кратко представляют результаты. Остальные сверяют записи, задают уточняющие вопросы и исправляют неточности. |
Запись в тетрадях
Записывают: «Степенная функция — функция вида $y=x^a$, где $a$ — показатель степени». В таблице фиксируют: $y=x^2$ — область определения $\mathbb{R}$, область значений $[0;+\infty)$, чётная; $y=x^3$ — область определения и значений $\mathbb{R}$, нечётная, возрастает; $y=1/x$ — $x\ne0$, нечётная, убывает на каждом из промежутков $(-\infty;0)$ и $(0;+\infty)$; $y=\sqrt{x}$ — $x\ge0$, значения $y\ge0$.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы получили свойства не из готового списка, а из таблиц и графиков. Теперь проверим, умеете ли вы применять этот алгоритм к новым формулам."
Этап 5. Первичное закрепление (7 мин)
Цель этапа: закрепить алгоритм распознавания и исследования степенных функций с проговариванием действий.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель даёт парное задание: "Определите, какая из функций является чётной, какая нечётной, а для какой область определения несимметрична: $f(x)=x^4$, $g(x)=x^5$, $h(x)=\sqrt{x}$. Запишите одно доказательство для каждой функции." | В парах вычисляют $f(-x)$, $g(-x)$, обсуждают область определения $h$ и записывают: $f$ чётная, $g$ нечётная, для $h$ симметрия области определения отсутствует. |
4 мин | Учитель предлагает задачу: "Сопоставьте формулы $y=x^2$, $y=x^3$, $y=1/x$, $y=\sqrt{x}$ с четырьмя графиками на экране. Объясните выбор минимум по двум признакам: симметрии, области определения, расположению ветвей или монотонности." | Работают в парах, записывают соответствия и аргументируют: парабола — $x^2$; S-образный график — $x^3$; две ветви с асимптотами — $1/x$; график только в первой и четвёртой координатных областях при $x\ge0$ — $\sqrt{x}$. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Свойства функции позволяют выбрать график даже без большого количества точек. Теперь каждый проверит, насколько самостоятельно владеет алгоритмом."
Этап 6. Самостоятельная работа с дифференциацией (10 мин)
Цель этапа: диагностировать индивидуальное освоение материала и предоставить задание, соответствующее уровню ученика.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель раздаёт индивидуальные листы: "Выполните обязательные задания. Если справились раньше, переходите к повышенному пункту. На листе обязательно записывайте обоснование, а не только ответ." На доске показывает критерии: область определения — 1 балл, свойство — 1 балл, графический признак — 1 балл. | Получают листы, выбирают базовый или повышенный маршрут, самостоятельно планируют порядок выполнения. |
5 мин | Учитель предлагает базовый вариант: 1) для $y=x^4$ назвать область определения и область значений; 2) определить чётность $y=x^3$; 3) выбрать график функции $y=1/x$ по описанию; 4) указать допустимые значения $x$ для $y=\sqrt{x-2}$. Для готовых учащихся — повышенный вопрос: сравнить поведение $x^2$ и $x^4$ при $|x|<1$ и при $|x|>1$. | Решают индивидуально. Базовые ответы: $D=\mathbb{R}$, $E=[0;+\infty)$; $x^3$ нечётная; $1/x$ имеет две ветви и не определена при $x=0$; для корня $x\ge2$. В повышенном задании формулируют: при $0<|x|<1$ $x^4<x^2$, а при $|x|>1$ $x^4>x^2$. |
3 мин | Учитель открывает эталон: "Проверьте работу по пунктам и поставьте плюс за каждый верный элемент. Если есть ошибка, рядом напишите причину: неверная область определения, перепутана симметрия или не обоснован выбор графика." | Сверяют решения, исправляют ошибки другим цветом, подсчитывают баллы и отмечают, какое действие алгоритма требует повторения. |
Эталон решения
Для $y=\sqrt{x-2}$ подкоренное выражение должно быть неотрицательным: $x-2\ge0$, поэтому $D=[2;+\infty)$. Для $y=x^4$: $D=\mathbb{R}$; так как $(-x)^4=x^4$, функция чётная; минимальное значение равно $0$, поэтому $E=[0;+\infty)$. Для $y=x^3$: $(-x)^3=-x^3$, значит функция нечётная.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Индивидуальная работа показала, что алгоритм уже работает, но отдельные шаги требуют внимания. В конце урока зафиксируем, что именно стало понятным и что нужно доработать дома."
Этап 7. Рефлексия и домашнее задание (6 мин)
Цель этапа: осмыслить способ действия, оценить результат и получить разноуровневое домашнее задание.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель раздаёт мини-билет: "Ответьте письменно на три вопроса: что называется степенной функцией; какой первый вопрос задают при исследовании; по какому признаку отличить график $1/x$ от графика $x^2$? Затем поставьте светофор: зелёный — могу исследовать самостоятельно, жёлтый — нужна тренировка, красный — нужна помощь." | Пишут ответы: «$y=x^a$», «область определения», «у $1/x$ две ветви и нет точки при $x=0$, у $x^2$ парабола». Отмечают цвет самооценки. |
3 мин | Учитель объявляет домашнее задание: "Выберите обязательный уровень и, если готовы, добавьте повышенный или дополнительный. В каждом решении указывайте область определения и хотя бы одно свойство функции. На следующем уроке начнём с разбора типичных ошибок." | Записывают выбранный уровень, задают уточняющие вопросы, сдают билет на выход. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Сегодня мы установили, что показатель степени определяет не только формулу, но и область определения, симметрию и вид графика. Сохраните алгоритм в тетради: он понадобится при дальнейшем исследовании функций."
Критерии оценивания практической работы
- «5» — верно выполнены все четыре базовых задания, корректно указаны области определения и обоснованы свойства; повышенное задание выполнено без существенных ошибок.
- «4» — верно выполнены три базовых задания, допущена одна неточность в обосновании или построении, но алгоритм исследования понятен.
- «3» — верно выполнены два базовых задания, область определения определена хотя бы для двух функций, однако имеются ошибки в чётности, монотонности или выборе графика.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Что называется степенной функцией и какую роль играет показатель $a$? | Проверка осознания основного понятия и структуры формулы. |
Какой шаг алгоритма исследования оказался для вас самым трудным? | Выявление точек затруднения в способе действия. |
По каким двум признакам можно распознать график $y=1/x$? | Проверка переноса свойства на графическую модель. |
Какой уровень домашнего задания вы выбрали и почему? | Оценка самоопределения и адекватности самооценки. |
Завершающее слово учителя
"Сегодня мы увидели, что степенная функция — это не набор разрозненных графиков, а единая модель $y=x^a$. Главная ошибка при исследовании — сразу строить точки, не определив допустимые значения аргумента. Используйте алгоритм: область определения, симметрия, монотонность, область значений и только затем график. На следующем уроке мы продолжим сравнивать функции с разными показателями и рассмотрим более сложные преобразования их графиков."
Домашнее задание
Уровень | Что задать | Зачем |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | Выполнить 4 задания на исследование функций $y=x^2$, $y=x^3$, $y=1/x$, $y=\sqrt{x}$: для каждой указать область определения, область значений и одно свойство; построить два эскиза. | Закрепляет алгоритм исследования и контроль правильности обозначения области определения. |
Средний (повышающий) | Решить 4–5 заданий на распознавание графика и сравнение значений функций $x^2$ и $x^4$ при $|x|<1$ и $|x|>1$; каждое сравнение обосновать. | Развивает анализ, работу с параметром-показателем и умение аргументировать вывод. |
Продвинутый (дополнительный) | Исследовать функцию $y=x^{-2}$: определить область определения, чётность, область значений, промежутки монотонности и построить эскиз; сравнить её график с $y=1/x$. | Формирует перенос алгоритма на новый показатель и подготовку к более сложным заданиям по функциям. |
Контрольные вопросы перед выходом: «Как записывается степенная функция? Почему для отрицательного показателя исключается $x=0$? Чем отличаются графики чётной и нечётной степенной функции? Как определить допустимые значения аргумента в функции с корнем?»
