Неравенство и решение неравенства
Цели и задачи
- Цель по SMART: к концу урока сформулировать понятие решения неравенства и научиться решать линейные неравенства с одной переменной, записывая ответ в виде промежутка и проверяя его подстановкой.
- Сформировать понимание различий между равенством, строгим и нестрогим неравенствами, а также условиями истинности числового неравенства.
- Вывести и применять правило изменения знака неравенства при умножении или делении обеих частей на отрицательное число.
- Развивать умение выдвигать гипотезу, обосновывать её на конкретных примерах и проверять результат с помощью числовой прямой.
- Воспитывать ответственность за точность математической записи, готовность аргументированно сравнивать разные способы решения и осмысленно использовать знания при подготовке к дальнейшему изучению функций и неравенств.
Планируемые результаты
Личностные
- Осознают практическую и перспективную значимость умения сравнивать величины и задавать допустимые значения переменной.
- Проявляют учебную самостоятельность при выборе способа проверки решения неравенства.
- Понимают ценность точной математической аргументации и корректной записи ответа.
- Развивают устойчивость к затруднению и готовность пересматривать ошибочную гипотезу на основании проверки.
Метапредметные
- Формулируют учебную проблему и планируют последовательность действий для её решения.
- Извлекают информацию из записи неравенства, числовой прямой и таблицы знаков.
- Сравнивают несколько способов проверки ответа и аргументируют выбор наиболее надёжного.
- Осуществляют самоконтроль, находят ошибку в преобразовании и корректируют решение.
- Используют математическую речь для объяснения условия истинности высказывания.
Предметные
- Знать определения неравенства, решения неравенства и множества решений.
- Уметь определять, является ли заданное число решением неравенства.
- Уметь выполнять равносильные преобразования линейного неравенства с одной переменной.
- Уметь объяснять изменение знака неравенства при умножении или делении обеих частей на отрицательное число.
- Уметь изображать множество решений на числовой прямой и записывать его в виде промежутка.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Соотносят учебную задачу с личной целью освоения математического аппарата.
- Проявляют смыслообразование через понимание связи неравенств с ограничениями и условиями реальных задач.
- Принимают ответственность за самостоятельную проверку полученного множества решений.
- Оценивают собственную уверенность в использовании интервальной записи.
Регулятивные УУД
- Принимают и сохраняют цель урока, сформулированную на основе проблемной ситуации.
- Планируют решение неравенства по шагам: упростить, выделить переменную, учесть знак коэффициента, записать ответ.
- Сверяют решение с эталоном и проверяют принадлежность выбранных чисел ответу.
- Обнаруживают и исправляют ошибки в знаке, направлении неравенства и записи промежутка.
- Оценивают степень достижения цели по листу самооценки.
Познавательные УУД
- Выделяют существенные признаки неравенства и его решения.
- Устанавливают причинно-следственную связь между отрицательным множителем и изменением направления знака.
- Строят математическую модель ситуации на числовой прямой.
- Сравнивают верные и неверные преобразования, классифицируют типичные ошибки.
- Используют подстановку как способ проверки принадлежности числа множеству решений.
Коммуникативные УУД
- Формулируют вопрос и гипотезу в ходе эвристической беседы.
- Обсуждают в парах различие между отдельным решением и множеством решений.
- Аргументированно объясняют партнёру необходимость смены знака при делении на отрицательное число.
- Слушают альтернативное решение, задают уточняющие вопросы и корректно указывают на ошибку.
- Представляют общий вывод группы в сжатой математической формулировке.
Подготовка учителя к уроку
- Подготовить презентацию или запись на доске с числовой прямой, четырьмя неравенствами и проблемным примером $-2x>6$.
- Распечатать карточки для работы в парах: по одной карточке на пару, всего по числу пар в классе.
- Подготовить индивидуальные карточки трёх уровней: минимальный, базовый и повышенный — по одной на каждого ученика.
- Распечатать лист самооценки с пунктами «Я умею определить решение», «Я меняю знак при делении на отрицательное число», «Я записываю промежуток».
- Подготовить эталон решения для самостоятельной проверки и закрыть его до соответствующего этапа.
- Вывести на доску или экран памятку: «При умножении или делении обеих частей неравенства на отрицательное число знак меняется».
- Подготовить цветные маркеры, стикеры двух цветов и линейки для изображения числовых промежутков.
- Организовать на доске место для общей числовой прямой и таблицы «Действие — влияние на знак неравенства».
- Подготовить таймер на 2–3 минуты для парной работы и самостоятельной работы.
Ход урока
Этап 1. Организационный момент и мотивация (3 мин)
Цель этапа: включить учащихся в учебную деятельность и показать практический смысл неравенств как описания ограничений.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель приветствует класс и проверяет готовность: "Здравствуйте. Сегодня нам понадобится не только умение выполнять преобразования, но и готовность проверять, сохраняют ли они смысл исходного высказывания. Откройте тетради, запишите дату и тему урока: «Неравенство и решение неравенства»." | Открывают тетради, записывают дату и тему урока, готовят ручку и линейку. |
2 мин | Учитель показывает на экране условие: "Температура хранения препарата должна быть не выше $8^\circ C$. Как записать все допустимые значения температуры? А если температура должна быть выше $8^\circ C$? Подумайте 30 секунд, затем обсудите ответ в паре." Учитель фиксирует на доске варианты $t\leq 8$ и $t>8$ и говорит: "Сегодня мы выясним, как находить не одно подходящее значение, а всё множество решений." | Индивидуально формулируют записи, затем обсуждают их в парах; предлагают ответы: "$t\leq 8$" и "$t>8$", объясняют смысл слов «не выше» и «выше». |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы увидели, что неравенство описывает целый набор допустимых значений. Теперь проверим, какие знания о числах и преобразованиях помогут нам этот набор находить."
Этап 2. Актуализация знаний (6 мин)
Цель этапа: актуализировать сравнение чисел, свойства равенств и изображение числовых промежутков.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель проводит приём «Светофор»: "Покажите зелёную карточку, если утверждение верно, красную — если неверно. Первое: $-3<2$. Второе: если $a=b$, то $a+5=b+5$. Третье: $2<5$ означает, что подходят только числа 2 и 5. Четвёртое: $-4<-1$. После каждого ответа коротко объясните выбор." | Поднимают карточки и объясняют: "$-3<2$ — верно"; «сумма сохраняет равенство»; «при неравенстве решений может быть бесконечно много»; "$-4<-1$ — верно». |
2 мин | Учитель записывает на доске $x>3$ и спрашивает: "Какие числа являются решениями? Как изобразить ответ на прямой? Почему точка в 3 не закрашивается?" Затем записывает $x\leq -1$. | Называют примеры решений: $4$, $5$, $10$; отмечают число 3 пустой точкой и проводят луч вправо; для второго неравенства закрашивают точку $-1$ и проводят луч влево, объясняют включение границы. |
2 мин | Учитель предлагает сравнить действия: "К обеим частям неравенства можно прибавить одно и то же число. А что происходит при умножении на положительное и отрицательное число? Не угадывайте — сформулируйте гипотезу и проверьте на числах." | В парах проверяют примеры $2<5$, $2\cdot 3<5\cdot 3$ и $2\cdot(-3)>5\cdot(-3)$; формулируют гипотезу: «при умножении на отрицательное число направление знака меняется». |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы вспомнили, что решение неравенства — это множество чисел, которое можно показать на прямой. Гипотеза об отрицательном множителе появилась, но пока требует доказательства. Именно это станет нашей проблемой."
Этап 3. Постановка проблемы и целеполагание (4 мин)
Цель этапа: выявить затруднение при решении неравенства и совместно сформулировать цель урока.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель записывает два решения одного задания: $-2x>6$; вариант А: $x>-3$, вариант Б: $x<-3$. "Оба решения выглядят похожими. Как определить, какое верно? Какое преобразование вызывает сомнение? Какие числа можно подставить для проверки?" | Рассматривают два варианта, называют спорный шаг — деление на $-2$; предлагают проверить числа, например $-4$ и $0$. |
2 мин | Учитель организует приём «Подумай — обсуди в паре — поделись»: "Сформулируйте, чему необходимо научиться сегодня, чтобы решать такие задания без угадывания. Начните с глагола: научиться…" Учитель принимает формулировки и уточняет цель. | Сначала формулируют цель индивидуально, затем обсуждают в парах; предлагают: «научиться решать неравенства», «понять, почему при делении на отрицательное число знак меняется», «записывать все решения на числовой прямой». |
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Наша цель — вывести правило равносильных преобразований неравенства, применить его к линейным неравенствам и научиться проверять ответ. Переходим к исследованию, а не просто запоминаем готовую формулу."
Этап 4. Открытие нового знания (10 мин)
Цель этапа: вывести правило изменения знака неравенства при умножении или делении на отрицательное число и связать его с определением решения.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель предлагает исследовательскую карточку: "Рассмотрите верное неравенство $2<5$. Умножьте обе части на $3$, затем на $-3$. Сравните результаты. Что изменилось? Объясните не словами «так принято», а через расположение чисел на прямой." Учитель фиксирует вычисления на доске. | Выполняют вычисления: $6<15$ и $-6>-15$; сравнивают положение чисел на прямой и формулируют: «при умножении на отрицательное число порядок чисел меняется». |
3 мин | Учитель продолжает эвристическую беседу: "Теперь рассмотрим неравенство $x+4<9$. Как освободить переменную? Можно ли вычесть 4 из обеих частей без изменения знака? Получите ответ и проверьте его числом 0." | Вычитают 4: $x<5$; проверяют число 0: $0+4<9$ — верно, значит 0 входит в множество решений; изображают луч влево от 5 с пустой точкой. |
4 мин | Учитель разбирает проблемный пример: "Решим $-2x>6$. Делим обе части на $-2$. Вспомним результат исследования: знак должен измениться. Получаем $x<-3$. Проверим число $-4$: $-2\cdot(-4)=8>6$, значит оно подходит. Проверим число $0$: $0>6$ — неверно, значит 0 не подходит. Сформулируйте правило и запишите его в тетрадь." Учитель выводит на экран памятку. | Записывают правило: «При умножении или делении обеих частей неравенства на положительное число знак сохраняется, а на отрицательное — меняется». Решают проверку для $-4$ и $0$, формулируют принадлежность чисел множеству решений. |
Запись в тетрадях
Ученики записывают: «Решением неравенства с одной переменной называется значение переменной, при котором неравенство обращается в верное числовое высказывание. Решить неравенство — значит найти все его решения. При умножении или делении обеих частей на отрицательное число знак неравенства меняется».
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы установили причину изменения знака и получили алгоритм решения. Теперь применим его сначала вместе, проговаривая каждый шаг, чтобы новое правило стало рабочим инструментом."
Этап 5. Первичное закрепление (7 мин)
Цель этапа: отработать алгоритм решения линейного неравенства с проговариванием действий и проверкой результата.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель предлагает задание: "Решим вместе неравенство $3x-7\leq 11$. Первый шаг назовите словами. Что переносим? Какой знак получаем после деления?" Учитель просит одного ученика вести запись на доске, а класс — сверять каждый шаг. | Называют шаги: $3x\leq18$, затем $x\leq6$; объясняют, что деление на положительное число знак не меняет; изображают на прямой закрашенную точку 6 и луч влево. |
2 мин | Учитель даёт парную задачу: "Решите $5-2x>11$. Один партнёр выполняет преобразования, второй контролирует знак и задаёт вопрос: «На какое число делим?» Через минуту поменяйтесь ролями." | В парах получают $-2x>6$, затем $x<-3$; один ученик записывает, второй проверяет знак; формулируют ответ: $x\in(-\infty;-3)$. |
2 мин | Учитель организует взаимопроверку по критериям: "Проверьте три пункта: выполнены ли равносильные преобразования, изменён ли знак при делении на отрицательное число, правильно ли изображена граница. Поставьте партнёру две звезды и одно пожелание." | Сверяют решения, отмечают два корректных элемента и один совет, например «не забудь пустую точку при строгом неравенстве». |
Эталон решения
Для неравенства $5-2x>11$: $-2x>11-5$; $-2x>6$; делим обе части на $-2$ и меняем знак: $x<-3$. Ответ: $x\in(-\infty;-3)$. Проверка: при $x=-4$ получаем $5-2\cdot(-4)=13>11$, при $x=0$ получаем $5>11$ — неверно.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Алгоритм работает, если мы не теряем знак, границу и смысл ответа. Сейчас каждый самостоятельно проверит, умеет ли применять правило без подсказки партнёра."
Этап 6. Самостоятельная работа с самопроверкой (8 мин)
Цель этапа: диагностировать индивидуальное освоение алгоритма и обеспечить самокоррекцию.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель раздаёт карточки трёх уровней: "Выберите уровень осознанно. Минимальный уровень показывает обязательный результат, базовый требует полного алгоритма, повышенный предлагает исследовательский шаг. Сначала решайте самостоятельно, не сверяясь с соседом." | Выбирают карточку, записывают фамилию и начинают индивидуальную работу. |
5 мин | Учитель предлагает задания. Минимальный уровень: решить $x+6\geq 10$ и $4x<20$. Базовый уровень: решить $-3x+9\leq0$ и $7-2x>1$. Повышенный уровень: решить $2(3x-1)-4\geq x+5$ и объяснить, почему при делении на положительный коэффициент знак сохраняется. | Индивидуально решают выбранные задания, изображают ответы на числовой прямой и записывают промежутки; в повышенном задании раскрывают скобки и объясняют сохранение знака. |
2 мин | Учитель открывает эталон: "Проверьте не только конечный ответ, но и каждую строку. Если обнаружили ошибку, зачеркните неверный шаг одной линией и рядом запишите исправление. Отметьте в листе самооценки, что именно вызвало затруднение." | Сверяют решения, выполняют коррекцию, отмечают затруднение: преобразование, изменение знака, граница или интервальная запись. |
Эталон решения
Минимальный уровень: $x+6\geq10$; $x\geq4$; ответ $x\in[4;+\infty)$. $4x<20$; $x<5$; ответ $x\in(-\infty;5)$. Базовый уровень: $-3x+9\leq0$; $-3x\leq-9$; $x\geq3$; ответ $x\in[3;+\infty)$. $7-2x>1$; $-2x>-6$; $x<3$; ответ $x\in(-\infty;3)$. Повышенный уровень: $2(3x-1)-4\geq x+5$; $6x-6\geq x+5$; $5x\geq11$; $x\geq\frac{11}{5}$; ответ $x\in[\frac{11}{5};+\infty)$.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Самостоятельная работа показала, что алгоритм уже можно применять без опоры на образец. Осталось связать решение неравенства с реальным смыслом ограничения и ещё раз проверить, что ответ описывает все допустимые значения."
Этап 7. Включение в систему знаний и применение (4 мин)
Цель этапа: применить неравенство в практическом контексте и осознать, что ответ задаёт множество допустимых значений.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель предъявляет ситуацию: "Для участия в исследовательской поездке ученик должен иметь не менее 12 условных единиц на питание в день. У него уже есть 5 единиц, а каждый дополнительный приём пищи стоит 2 единицы. Сколько дополнительных приёмов пищи он может оплатить, если бюджет составляет не более 21 единицы? Составьте неравенство." | Обозначают число приёмов пищи через $n$, составляют $5+2n\leq21$, решают: $2n\leq16$, $n\leq8$; учитывают, что $n\geq0$, и называют допустимые целые значения от 0 до 8. |
2 мин | Учитель спрашивает: "Почему в этой задаче недостаточно написать только $n\leq8$? Какие ограничения появились из смысла ситуации? Как изменился бы ответ, если бы речь шла о времени, которое может быть дробным?" | Объясняют, что число приёмов неотрицательно и является целым; записывают пересечение условий $0\leq n\leq8$; предполагают, что для времени допустимы дробные значения. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы увидели, что математический ответ необходимо соотносить с условиями задачи: множество решений может дополнительно ограничиваться целыми, положительными или иными значениями. Завершим урок проверкой личного результата и формулировкой следующего шага."
Этап 8. Рефлексия и домашнее задание (3 мин)
Цель этапа: зафиксировать освоенные способы действий, выявить остаточные затруднения и объяснить дифференцированное домашнее задание.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель проводит «Одноминутку»: "Запишите одним предложением главное правило сегодняшнего урока и одним примером покажите, когда знак меняется. Вторым предложением укажите, как отличить решение неравенства от отдельного числа." | Письменно формулируют правило, приводят пример деления на отрицательное число и объясняют, что решением является каждое число из найденного множества. |
1 мин | Учитель предлагает «Светофор»: "Зелёный — могу решить линейное неравенство и изобразить ответ; жёлтый — понимаю правило, но ошибаюсь в записи; красный — нужна дополнительная отработка. Поднимите карточку и поставьте отметку в листе самооценки." | Поднимают карточку, отмечают собственный уровень и записывают вопрос, который необходимо разобрать на следующем уроке. |
1 мин | Учитель объявляет домашнюю работу: "Выберите обязательный уровень и, если готовы, один из повышенных. Номера из учебника не требуются: используйте задания своей линии, соответствующие описанию. Перед выходом ответьте на контрольные вопросы на доске." | Записывают выбранный уровень и содержание домашней работы; устно отвечают на вопросы: «Когда меняется знак?» и «Что означает закрашенная точка?» |
Критерии оценивания практической работы
- «5» — верно решены все задания выбранной карточки, преобразования записаны последовательно, знак изменён при делении на отрицательное число, числовая прямая и интервальная запись соответствуют ответу, выполнена проверка хотя бы одного значения.
- «4» — решено не менее 80% заданий, алгоритм в целом применён верно, но допущена одна неточность в изображении границы, интервальной записи или оформлении проверки.
- «3» — решено не менее половины заданий, понятна последовательность основных преобразований, но допущена ошибка в знаке, выборе границы или записи множества решений, требующая коррекции.
- Ниже отметки «3» — решение неравенств пока неустойчиво; необходимо повторить правило и выполнить базовые тренировочные задания с пошаговой проверкой.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Что нового вы узнали о решении неравенства? | Выявление осознания понятия множества решений и ключевого правила преобразований. |
На каком шаге решения $-2x>6$ возникает наибольший риск ошибки? | Выявление точек затруднения в алгоритме и понимания причины изменения знака. |
Как вы проверяете, что найденное число действительно является решением? | Проверка освоения подстановки и связи алгебраической записи со смыслом неравенства. |
Какой уровень домашнего задания вы выбрали и почему? | Диагностика субъективной оценки готовности и развития регулятивной самостоятельности. |
Завершающее слово учителя
"Сегодня мы установили, что решение неравенства — это не одно найденное число, а множество всех значений, при которых высказывание истинно. Главная особенность алгоритма — изменение знака при умножении или делении на отрицательное число; именно здесь чаще всего возникает ошибка. Обязательно проверяйте ответ подстановкой и изображайте его на числовой прямой. На следующем уроке мы расширим этот способ на более сложные виды неравенств и будем анализировать структуру их решений."
Домашнее задание
Уровень | Что задать | Зачем |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | Решить 4 линейных неравенства с одной переменной: два с положительным коэффициентом при переменной и два с отрицательным; каждое решение изобразить на числовой прямой и записать в виде промежутка. | Закрепить алгоритм равносильных преобразований; при проверке смотреть на правильность изменения знака и включения границы. |
Средний (повышающий) | Решить 5 неравенств со скобками и переносом слагаемых в обеих частях, включая не менее двух примеров с делением на отрицательное число; выполнить проверку одного выбранного ответа подстановкой. | Развить устойчивость алгоритма в усложнённой записи; при проверке оценивать последовательность преобразований и соответствие графической и интервальной записи. |
Продвинутый (дополнительный) | Составить и решить две практические задачи, математической моделью которых являются линейные неравенства: одну с целочисленным ответом и одну с непрерывным промежутком; объяснить ограничения на переменную. | Развить умение создавать математическую модель и интерпретировать множество решений; при проверке смотреть на корректность условия, модели и содержательного вывода. |
Контрольные вопросы перед выходом: «Что называется решением неравенства?», «В каком случае знак неравенства меняется?», «Как обозначается на числовой прямой граница, которая не входит в множество решений?», «Почему в практической задаче нужно учитывать дополнительные ограничения на переменную?»
