Функция и способы задания функции
Цели и задачи
- Цель по SMART: к концу урока научиться распознавать функцию, определять область определения и область значений, а также задавать одну и ту же функцию формулой, таблицей, графиком и словесным описанием, аргументируя выбор способа.
- Сформировать представление о функции как зависимости между величинами, при которой каждому допустимому значению аргумента соответствует единственное значение функции.
- Научиться устанавливать область определения и область значений функции по формуле, таблице и графику.
- Развивать умение анализировать математическую информацию, сопоставлять разные способы задания функции и формулировать выводы.
- Воспитывать ответственность за точность математической записи, самостоятельность при выборе способа решения и интерес к применению функций в будущей профессиональной деятельности.
Планируемые результаты
Личностные
- Осознают значение понятия функции для описания зависимостей в математике, естественных науках, экономике и цифровых технологиях.
- Проявляют познавательную мотивацию при исследовании зависимости между величинами.
- Понимают ценность точной записи условия и проверки полученного результата.
- Развивают готовность к самостоятельному выбору способа представления информации.
Метапредметные
- Извлекают информацию из формулы, таблицы и графика, сопоставляют различные представления одного объекта.
- Формулируют учебную проблему, выдвигают гипотезу и проверяют её на примерах.
- Планируют последовательность исследования функции и осуществляют самопроверку по критериям.
- Аргументированно высказываются в паре и группе, используют математическую терминологию.
- Используют электронную презентацию или интерактивную доску для анализа графиков.
Предметные
- Знать определение функции, аргумента, значения функции, области определения и области значений.
- Уметь распознавать функциональную зависимость по условию, таблице и графику.
- Уметь задавать функцию формулой, таблицей, графиком и словесно.
- Уметь находить значения функции по формуле и определять допустимые значения аргумента.
- Уметь проверять, является ли заданное соответствие функцией, используя правило единственности значения функции.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Определяют личный смысл изучения функций как языка описания закономерностей.
- Проявляют самостоятельность и готовность принимать обоснованные решения при выборе способа задания функции.
- Оценивают точность собственных математических рассуждений и записи.
- Связывают изучаемый материал с задачами будущего обучения и профессиональной деятельности.
Регулятивные УУД
- Принимают и уточняют цель исследования функции.
- Планируют действия: определить зависимые и независимые величины, установить допустимые значения, выбрать способ представления.
- Контролируют правильность вычислений и соответствие графика таблице или формуле.
- Обнаруживают ошибку в области определения и корректируют решение.
- Оценивают результат по предложенным критериям.
Познавательные УУД
- Выделяют существенные признаки функциональной зависимости.
- Сравнивают формулу, таблицу, график и словесное описание как способы представления одного объекта.
- Строят математическую модель практической зависимости.
- Устанавливают причинно-следственную связь между ограничениями формулы и областью определения.
- Преобразуют информацию из одного вида в другой.
Коммуникативные УУД
- Работают в паре по алгоритму «Подумай — обсуди в паре — поделись».
- Формулируют вопросы к условию и отвечают на вопросы одноклассников.
- Аргументируют, почему соответствие является или не является функцией.
- Согласовывают общий вывод в группе и представляют его классу.
- Корректно оценивают решение другого ученика по заданным критериям.
Подготовка учителя к уроку
- Подготовить презентацию или интерактивный экран с четырьмя представлениями зависимости: формулой, таблицей, графиком и словесным описанием.
- Вывести на доску шпаргалку-напоминание: «Функция — соответствие, при котором каждому значению x соответствует единственное значение y».
- Распечатать карточки трёх уровней сложности: по одной карточке на каждого ученика, всего по числу учащихся класса.
- Подготовить карточки для парной работы с таблицами и графиками — по одной на парту.
- Распечатать лист самооценки с пунктами «Я могу определить функцию», «Я могу найти область определения», «Я могу выбрать способ задания».
- Подготовить маркеры, стикеры трёх цветов и листы формата А3 для группового исследования.
- Подготовить графики зависимостей $y=2x+1$, $y=x^2$, $y=\frac{1}{x}$ и несколько соответствий, не являющихся функциями.
- Проверить работу проектора, ноутбука и интерактивной доски; заранее открыть изображение координатной плоскости.
- На отдельном листе подготовить эталоны ответов для самопроверки и критерии оценивания практической работы.
Ход урока
Этап 1. Организационный момент и мотивация (3 мин)
Цель этапа: включить учащихся в исследовательскую деятельность и показать практическую значимость понятия функции.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель приветствует класс и обращается к учащимся: "Здравствуйте. Сегодня мы будем не просто записывать определение, а исследовать математический объект, который используется при описании температуры, стоимости поездки, движения тела и зависимости спроса от цены. Проверьте, что на столе есть тетрадь, ручка и калькулятор или телефон в режиме без вычислительных подсказок." | Проверяют готовность рабочего места, записывают дату и готовятся к исследованию. |
2 мин | Учитель показывает на экране ситуацию: «Стоимость поездки на такси зависит от расстояния: посадка стоит 150 рублей, каждый километр — 30 рублей». Учитель спрашивает: "Какая величина меняется? Какая зависит от другой? Можно ли для каждого расстояния однозначно определить стоимость?" | Формулируют ответы: «Расстояние — независимая величина, стоимость — зависимая; каждому расстоянию соответствует одна стоимость». |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы увидели зависимость, которую можно описать несколькими способами. Сегодня выясним, когда такая зависимость называется функцией и как выбрать удобную форму её задания."
Этап 2. Актуализация знаний и выявление затруднения (6 мин)
Цель этапа: актуализировать понятия переменной, координатной плоскости и зависимости величин, зафиксировать проблему однозначности соответствия.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель записывает на доске пары значений: $(1;3)$, $(2;5)$, $(3;7)$ и спрашивает: "Какую закономерность вы видите? Как можно получить вторую координату через первую?" | Предполагают: «Вторая координата на два больше утроенной первой» и предлагают формулу $y=2x+1$. |
2 мин | Учитель показывает две таблицы. В первой каждому $x$ соответствует одно $y$: $x: 1,2,3$; $y: 4,5,6$. Во второй одному значению $x=2$ соответствуют $y=1$ и $y=5$. Учитель задаёт вопрос: "Чем принципиально отличаются эти таблицы?" | Сравнивают таблицы в парах и формулируют: «В первой каждому значению $x$ соответствует одно значение $y$, во второй одному аргументу соответствуют два значения». |
2 мин | Учитель предлагает проблемный вопрос: "Достаточно ли написать несколько пар чисел, чтобы назвать соответствие функцией? Какой признак нужно проверить? Запишите пока свою гипотезу." | Индивидуально записывают гипотезу, затем обсуждают её с соседом; называют признак единственности значения функции. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы обнаружили главное затруднение: нужно отличать просто набор пар от функциональной зависимости. Теперь сформулируем точное определение и способы задания функции."
Этап 3. Постановка учебной задачи и целеполагание (4 мин)
Цель этапа: совместно сформулировать цель урока и спланировать исследование.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель организует приём «Снежный ком»: "Сначала каждый запишите, что необходимо узнать, чтобы решить нашу проблему. Через минуту объединитесь в пары, сравните записи и оставьте три наиболее важных вопроса." | Индивидуально записывают вопросы, затем в парах выбирают основные: «Что такое функция? Как определить область определения? Какими способами её задают?» |
2 мин | Учитель объединяет ответы на доске и спрашивает: "Какой результат должен быть у каждого к концу урока? Сформулируйте его измеримо: что вы сможете сделать с конкретной функцией?" | Формулируют цель: «Определять, является ли зависимость функцией, находить области определения и значений и представлять функцию разными способами». |
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Цель определена: от интуитивного представления мы перейдём к точному математическому описанию. Дальше вы сами проверите определение на примерах и выведете алгоритм исследования."
Этап 4. Открытие нового знания (12 мин)
Цель этапа: открыть определение функции и систематизировать способы её задания через исследование примеров.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель показывает на доске схему соответствия между множеством $X$ и множеством $Y$: стрелка от каждого элемента $x$ ведёт ровно к одному элементу $y$. Учитель говорит: "Запишем определение. Функцией называют зависимость переменной $y$ от переменной $x$, при которой каждому значению $x$ из некоторого множества соответствует единственное значение $y$. Переменную $x$ называют аргументом, а $y$ — значением функции." | Записывают определение, выделяют слова «каждому» и «единственное», задают уточняющие вопросы. |
3 мин | Учитель записывает: $y=\sqrt{x-2}$ и спрашивает: "Какие значения $x$ допустимы? Как называется множество допустимых значений аргумента? Что происходит с выражением под корнем?" | Рассуждают: $x-2\geq0$, поэтому $x\geq2$. Записывают область определения $D(y)=[2;+\infty)$ и называют её множеством допустимых значений аргумента. |
3 мин | Учитель демонстрирует четыре карточки: формула $y=2x+1$, таблица значений, график прямой и словесное описание «значение функции вдвое больше аргумента, увеличенного на единицу». Учитель спрашивает: "Что общего у этих карточек? Можно ли восстановить остальные способы по одному из них?" | В группах сопоставляют карточки, устанавливают, что все они задают одну функцию, и называют способы: словесный, табличный, графический, аналитический. |
3 мин | Учитель показывает графики $y=x^2$ и вертикальную окружность $x^2+y^2=4$. Учитель объясняет проверку вертикальной прямой: "Если вертикальная прямая пересекает график более чем в одной точке, одному $x$ соответствуют разные значения $y$, значит, график не задаёт функцию $y$ от $x$." | Проводят мысленную проверку вертикальной прямой, формулируют: «Парабола задаёт функцию, окружность — нет, потому что для некоторых $x$ есть два значения $y$.» |
Запись в тетрадях
Записать: «Функция — зависимость, при которой каждому значению аргумента $x$ соответствует единственное значение $y$. Способы задания функции: словесный, табличный, графический, аналитический. $D(f)$ — область определения, $E(f)$ — область значений». Для функции $y=\sqrt{x-2}$ записать: $x-2\geq0$, $D(f)=[2;+\infty)$.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы открыли определение, увидели четыре способа задания и научились находить ограничение по формуле. Теперь проверим новое знание на конкретных заданиях и проговорим алгоритм вслух."
Этап 5. Первичное закрепление в парах (7 мин)
Цель этапа: закрепить определение функции и алгоритм преобразования информации из одного вида в другой.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
4 мин | Учитель раздаёт каждой паре карточку: «Дана функция $y=3x-2$. Составьте таблицу для $x=-1,0,1,2$; найдите $f(5)$; опишите функцию словами; назовите способ задания, который наиболее удобен для вычисления значения». Учитель напоминает приём «Подумай — обсуди в паре — поделись». | Сначала индивидуально вычисляют значения, затем сверяют в паре. Получают таблицу $y=-5,-2,1,4$, находят $f(5)=13$, формулируют: «Значение функции на три больше утроенного аргумента». |
3 мин | Учитель приглашает одну пару представить решение и спрашивает класс: "Как проверить таблицу? Какой способ будет удобнее для поиска пересечения с осью $Oy$?" | Представляют таблицу, подставляют одно значение обратно в формулу, отвечают: «Для пересечения с осью $Oy$ удобна формула или график; при $x=0$ получаем $y=-2$.» |
Эталон решения
Для $y=3x-2$: при $x=-1$ получаем $y=3\cdot(-1)-2=-5$; при $x=0$ — $y=-2$; при $x=1$ — $y=1$; при $x=2$ — $y=4$. Значение $f(5)=3\cdot5-2=13$. Область определения линейной функции — все действительные числа: $D(f)=\mathbb{R}$.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы научились переходить от формулы к таблице и словесному описанию. Следующий шаг — самостоятельная проверка, где каждый выберет уровень и докажет, что умеет исследовать функцию без подсказки пары."
Этап 6. Самостоятельная работа с самопроверкой (9 мин)
Цель этапа: индивидуально проверить понимание определения функции, способов её задания и области определения.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель объясняет уровни работы: "Выполните обязательное задание, затем выберите базовое или повышенное. Работайте самостоятельно. В каждом ответе указывайте не только результат, но и основание: правило, вычисление или признак графика." | Выбирают карточку и записывают номер выбранного уровня. |
5 мин | Учитель раздаёт задания. Минимум: «Определите, является ли функцией соответствие $x\mapsto x^2$; найдите область определения $y=\sqrt{2x+4}$». Базовый: «Для $y=\frac{1}{x-3}$ найдите область определения и вычислите $f(5)$». Повышенный: «Придумайте таблицу, которая задаёт функцию, и таблицу, которая не задаёт функцию; объясните различие». | Решают индивидуально. Для обязательного задания указывают, что каждому $x$ соответствует одно $x^2$; получают $x\geq-2$. Для базового задания исключают $x=3$ и находят $f(5)=\frac12$. Для повышенного задания составляют собственные примеры и объяснение. |
3 мин | Учитель выводит на экран эталон: $2x+4\geq0$, $x\geq-2$; для $y=\frac1{x-3}$ знаменатель не равен нулю, поэтому $D(f)=(-\infty;3)\cup(3;+\infty)$; $f(5)=\frac12$. Предлагает сверку по критериям. | Сверяют решения, отмечают ошибки условным знаком, исправляют записи, выставляют себе предварительный балл. |
Эталон решения
Для $y=\sqrt{2x+4}$ подкоренное выражение должно быть неотрицательным: $2x+4\geq0$, откуда $x\geq-2$. Следовательно, $D(f)=[-2;+\infty)$. Для $y=\frac1{x-3}$ знаменатель не может равняться нулю: $x-3\ne0$, поэтому $x\ne3$ и $D(f)=(-\infty;3)\cup(3;+\infty)$. При $x=5$: $f(5)=\frac1{5-3}=\frac12$.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Проверка показала, что область определения нельзя называть автоматически: её нужно получать из ограничений формулы. Теперь обобщим, где каждый способ задания функции особенно полезен, и сформулируем личный вывод."
Этап 7. Рефлексия и домашнее задание (4 мин)
Цель этапа: осмыслить результат урока, выявить затруднения и определить содержание дальнейшей самостоятельной работы.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель раздаёт лист самооценки и предлагает приём «Светофор»: "Отметьте зелёным утверждения, которые вы выполняете уверенно, жёлтым — требующие тренировки, красным — пока не получающиеся. Заполните: я могу объяснить определение функции; я могу назвать способы задания; я могу найти область определения; я могу проверить график вертикальной прямой." | Заполняют лист самооценки, выбирают цвет, записывают один вопрос или затруднение. |
1 мин | Учитель возвращается к проблемному вопросу: "Как отличить функцию от произвольного соответствия? Назовите один признак и один способ задания функции." | Формулируют: «Каждому допустимому $x$ соответствует единственное $y$; функция может быть задана формулой, таблицей, графиком или словесно». |
1 мин | Учитель сообщает домашнее задание: "Выберите обязательный уровень. Желающие выполняют повышенный или дополнительный. При записи решения обязательно указывайте область определения и способ проверки." | Записывают домашнее задание, задают уточняющие вопросы, сдают лист самооценки на выходе. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Сегодня вы сами сформулировали признак функции и исследовали разные способы её задания. Сохраните лист самооценки: на следующем уроке мы используем его, чтобы начать работу с графиками и преобразованиями функций."
Критерии оценивания практической работы
- «5» — верно выполнено обязательное задание и выбранное задание повышенного уровня; корректно определены области определения, вычисления записаны с обоснованием, сформулирован признак функции.
- «4» — верно выполнено обязательное задание и базовое задание, но допущена одна неточность в записи интервала или объяснении способа задания.
- «3» — правильно определена функция в простом примере и выполнено хотя бы одно вычисление, однако допущены ошибки при нахождении области определения или недостаточно обоснован ответ.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Что нового вы узнали о признаке функции? | Проверка осознания ключевого определения и слова «единственное». |
Какой способ задания функции оказался для вас самым понятным и почему? | Выявление предпочитаемого канала представления математической информации. |
На каком шаге при нахождении области определения возникло затруднение? | Выявление точек затруднения в применении ограничений формулы. |
Какое задание вы готовы решить самостоятельно после урока? | Субъективная оценка уровня освоения и готовности к дальнейшей работе. |
Завершающее слово учителя
"Сегодня мы установили, что функция — это не просто формула или набор чисел, а однозначная зависимость между величинами. Мы научились представлять её словесно, таблично, графически и аналитически. Самая частая ошибка — забыть проверить ограничения формулы и неверно указать область определения. На следующем уроке мы будем исследовать графики функций и учиться читать их свойства без непосредственного вычисления каждой точки."
Домашнее задание
Уровень | Что задать | Зачем |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | Выполнить 4 задания на определение области определения функций по формулам: линейной, квадратной, с квадратным корнем и дробно-рациональной. Для двух функций вычислить заданные значения. | Закрепить правила ограничений и навык подстановки; при проверке обратить внимание на обоснование каждого ограничения. |
Средний (повышающий) | Составить таблицы значений для двух функций, построить по ним графики в координатной плоскости и описать каждую функцию словесно. Для одной функции найти область определения и несколько значений. | Научиться переводить информацию из формулы в таблицу, график и текст; при проверке смотреть на соответствие точек формуле. |
Продвинутый (дополнительный) | Исследовать реальную зависимость, например стоимость поездки от расстояния или расход материала от длины изделия: выделить аргумент и функцию, задать зависимость словесно, таблицей и формулой, указать область определения. | Развивать математическое моделирование и функциональную грамотность; при проверке оценить реалистичность области определения и однозначность зависимости. |
Контрольные вопросы перед выходом: «Что называют функцией? Какой признак позволяет отличить функцию от другого соответствия? Какие четыре способа задания функции вы знаете? Что нужно проверить в формуле с корнем или знаменателем? Что означает область определения функции?»
