Деление многочленов: алгоритм деления с остатком
Цели и задачи
- Цель по SMART: к концу урока научиться выполнять деление многочлена на многочлен в столбик, находить частное и остаток, а также проверять результат тождеством $P(x)=D(x)Q(x)+R(x)$ на примере не менее двух заданий.
- Сформировать представление о делении многочленов как обобщении деления чисел и раскрыть логику последовательного исключения старших членов делимого.
- Научиться применять алгоритм деления многочлена на многочлен и выполнять проверку полученного результата.
- Развивать умение выдвигать гипотезу, анализировать алгебраические преобразования, аргументировать выбор действия и самостоятельно обнаруживать ошибку.
- Воспитывать математическую аккуратность, готовность к исследовательской работе и ответственное отношение к проверке результата.
Планируемые результаты
Личностные
- Осознают ценность доказательного и проверяемого способа решения алгебраических задач.
- Проявляют устойчивую учебную мотивацию через связь алгоритма с дальнейшим изучением функций, уравнений и задач повышенного уровня.
- Принимают необходимость аккуратной записи как условия математической надёжности.
- Готовы оценивать собственный результат и корректировать действия без отказа от поиска решения.
Метапредметные
- Планируют последовательность действий при выполнении деления и контролируют каждый промежуточный результат.
- Извлекают информацию из образца решения, преобразуют её в алгоритм и применяют к новой задаче.
- Сравнивают два способа проверки результата: обратное умножение и подстановку конкретного значения.
- Формулируют выводы, аргументируют математические действия и взаимодействуют в паре при анализе ошибки.
Предметные
- Знать смысл равенства $P(x)=D(x)Q(x)+R(x)$ и условие $\deg R<\deg D$.
- Уметь делить многочлен на многочлен столбиком, упорядочивая слагаемые по убыванию степени.
- Уметь находить частное и остаток при делении многочленов.
- Уметь проверять деление умножением делителя на частное с последующим прибавлением остатка.
- Уметь находить и объяснять ошибки в записи алгоритма деления.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Определяют личный смысл освоения алгоритма как основы для дальнейшего решения алгебраических задач.
- Проявляют готовность к самостоятельному выбору стратегии проверки.
- Оценивают своё продвижение по критериям точности, обоснованности и самоконтроля.
- Сохраняют положительное отношение к исследовательской задаче при возникновении затруднения.
Регулятивные УУД
- Формулируют цель урока на основе обнаруженного затруднения.
- Составляют план деления многочлена и следуют ему по шагам.
- Сверяют промежуточные результаты с условием уменьшения степени остатка.
- Проводят самопроверку по эталону и исправляют найденные ошибки.
- Оценивают степень освоения алгоритма с помощью листа самооценки.
Познавательные УУД
- Выделяют старшие члены делимого и делителя как основание очередного шага.
- Устанавливают аналогию между делением чисел и делением многочленов.
- Моделируют алгоритм в виде последовательности действий.
- Анализируют ошибочное решение и определяют место нарушения алгоритма.
- Проверяют математическое утверждение обратным умножением.
Коммуникативные УУД
- Объясняют партнёру смысл каждого шага деления.
- Задают уточняющие вопросы о знаках, степенях и расположении слагаемых.
- Аргументированно защищают предложенный алгоритм.
- Согласовывают общий вариант решения и корректно обсуждают ошибку.
- Формулируют итоговый вывод в устной и письменной форме.
Подготовка учителя к уроку
- Подготовить презентацию или запись на доске с проблемным примером $P(x)=x^3+2x^2-x-2$, $D(x)=x-1$, а также с пустыми местами для фиксации шагов алгоритма.
- Распечатать карточки трёх уровней: базовые примеры на деление без пропусков, задания с остатком и задания на поиск ошибки; по одной карточке на каждого ученика.
- Подготовить карточки для работы в парах с двумя решениями одного примера, одно из которых содержит ошибку.
- Распечатать лист самооценки с критериями: упорядочивание, выбор первого члена частного, вычитание, остаток, проверка.
- Подготовить на каждого ученика лист «Билет на выход» с двумя короткими вопросами.
- Разместить на доске памятку: $P(x)=D(x)Q(x)+R(x)$ и $\deg R<\deg D$.
- Подготовить цветные маркеры или магниты для выделения старших членов многочленов.
- Обеспечить наличие доски или проектора, тетрадей, ручек и калькуляторы не использовать, чтобы акцентировать алгебраические преобразования.
Ход урока
Этап 1. Организационный момент и мотивация (3 мин)
Цель этапа: включить учащихся в исследовательскую деятельность и показать практическую проблему, требующую нового способа действий.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель приветствует класс и говорит: "Здравствуйте, ребята. Сегодня мы будем не просто применять готовую формулу, а восстановим алгоритм самостоятельно. Откройте тетради, запишите дату и тему урока: «Деление многочленов». В конце урока каждый должен уметь объяснить не только что делать, но и почему очередной шаг является правильным." | Открывают тетради, записывают дату и тему, формулируют личное ожидание: «научиться делить многочлены без потери знаков». |
2 мин | Учитель показывает на доске выражение $x^3+2x^2-x-2$ и спрашивает: "Перед вами многочлен. Если бы вместо $x$ стояло число, мы могли бы выполнить обычное деление. Можно ли построить аналогичный способ для многочленов? Подумайте 30 секунд, обсудите ответ с соседом и сформулируйте гипотезу." | Индивидуально формулируют гипотезу, затем обсуждают её в парах; предлагают: «нужно подобрать многочлен, который после умножения на делитель убирает старшие слагаемые». |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы увидели, что задача похожа на обычное деление, но требует последовательного уничтожения старших членов. Сейчас проверим, каких знаний нам достаточно, а где возникнет новое затруднение."
Этап 2. Актуализация знаний (5 мин)
Цель этапа: актуализировать действия с многочленами, степени и распределительный закон, необходимые для открытия алгоритма.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель говорит: "Выполним короткую разминку. Упорядочьте по убыванию степеней многочлен $3-2x^3+x+x^2$. Назовите его степень и старший коэффициент. Затем определите, чему равен результат умножения $(x-2)(x^2+3)$." | Записывают $-2x^3+x^2+x+3$, называют степень $3$ и старший коэффициент $-2$; раскрывают скобки и получают $x^3-2x^2+3x-6$. |
3 мин | Учитель организует приём "Светофор": "Покажите зелёную карточку, если уверенно выполняете действие, жёлтую — если требуется проверка, красную — если есть затруднение. Объясните, почему при вычитании многочленов меняются знаки всех слагаемых второго многочлена. Теперь найдите произведение $(x-1)(x^2+x+1)$." | Показывают карточки, объясняют: «вычитание многочлена равно прибавлению противоположного». Получают $x^3-1$, проговаривают распределительное свойство. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы умеем упорядочивать многочлены, работать со степенями, умножать и вычитать выражения. Эти действия станут инструментами нового алгоритма. Теперь зафиксируем, чего именно нам пока не хватает."
Этап 3. Выявление затруднения и целеполагание (4 мин)
Цель этапа: обнаружить невозможность выполнить деление привычным способом и сформулировать учебную цель.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель предлагает задачу: "Попробуйте представить частное при делении $x^3+2x^2-x-2$ на $x-1$. Какой член частного должен появиться первым, чтобы при умножении на $x-1$ уничтожить старший член $x^3$? Запишите предположение и проверьте его умножением." | Предполагают: «первым членом частного будет $x^2$». Проверяют: $x^2(x-1)=x^3-x^2$; замечают, что после вычитания остаётся $3x^2-x-2$. |
2 мин | Учитель задаёт вопросы: "Что произошло с остатком после первого шага? Почему нельзя остановиться? Как понять, что деление завершено? Сформулируйте цель урока одним предложением, используя слова «алгоритм», «частное», «остаток», «проверка»." | Отвечают: «степень остатка пока не меньше степени делителя»; формулируют цель: «открыть алгоритм деления, находить частное и остаток и проверять результат». |
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Затруднение состоит не в одном вычислении, а в организации всей последовательности шагов. Мы поставили цель: построить алгоритм, который каждый раз уменьшает степень текущего остатка. Переходим к его открытию."
Этап 4. Открытие нового знания (10 мин)
Цель этапа: совместно вывести алгоритм деления многочлена на многочлен и установить условие завершения.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
4 мин | Учитель записывает на доске деление $x^3+2x^2-x-2$ на $x-1$ и говорит: "Работаем по принципу «убираем старший член». Сначала делим старший член делимого на старший член делителя: $x^3:x=x^2$. Записываю $x^2$ в частное. Теперь умножаю весь делитель: $x^2(x-1)=x^3-x^2$. Вычитаю полученное выражение из текущего делимого и получаю $3x^2-x-2$." | Записывают первый шаг, проговаривают: «старший член нового остатка имеет степень 2, поэтому деление продолжается». |
3 мин | Учитель продолжает: "Делим $3x^2$ на $x$, получаем $3x$. Умножаем: $3x(x-1)=3x^2-3x$. Вычитаем: $(3x^2-x-2)-(3x^2-3x)=2x-2$. Ещё раз сравните степени: остаток степени 1, делитель степени 1. Продолжаем." | Фиксируют $3x$ в частном, выполняют умножение и вычитание, получают $2x-2$; отвечают: «степени равны, значит, деление ещё не закончено». |
3 мин | Учитель завершает: "Делим $2x$ на $x$, получаем $2$. Умножаем $2(x-1)=2x-2$ и вычитаем. Получаем ноль. Значит, частное равно $x^2+3x+2$, остаток равен нулю. Сформулируйте общий алгоритм и условие остановки." | Формулируют алгоритм: упорядочить, разделить старшие члены, умножить делитель на найденный член, вычесть, повторять; условие: «степень остатка меньше степени делителя». |
Запись в тетрадях
Ученики записывают: $P(x)=D(x)Q(x)+R(x)$, где $\deg R<\deg D$. Алгоритм: 1) упорядочить многочлены; 2) разделить старшие члены; 3) умножить делитель на полученный член частного; 4) вычесть; 5) повторять до выполнения условия $\deg R<\deg D$.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы получили не случайный набор вычислений, а универсальный алгоритм. Его главный ориентир — старшие члены и уменьшение степени остатка. Теперь проверим алгоритм на примере с ненулевым остатком."
Этап 5. Первичное закрепление в парах (7 мин)
Цель этапа: применить алгоритм с проговариванием каждого шага и получить частное и остаток.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель раздаёт карточки и говорит: "Работаем в парах по приёму «Подумай — обсуди в паре — поделись». Задание: разделите $2x^3+3x^2-5x+1$ на $x+2$. Один ученик выполняет вычисления, второй контролирует порядок действий и задаёт вопрос о каждом вычитании. Затем поменяйтесь ролями." | Распределяют роли, читают условие, записывают многочлены по убыванию степеней. |
4 мин | Учитель напоминает: "Не пропускайте промежуточные строки. После каждого шага подчёркивайте текущий старший член. Если коэффициент отрицательный, проговорите знак вслух. Я проверю не только ответ, но и логику переходов." Учитель консультирует пары, не сообщая готового частного. | Выполняют деление и получают $Q(x)=2x^2-x-3$, $R=7$; объясняют партнёру, почему степень остатка меньше степени делителя. |
2 мин | Учитель приглашает одну пару к доске: "Покажите решение так, чтобы класс мог проверить каждый шаг. Остальные сравнивают записи и поднимают жёлтую карточку, если нашли место, требующее обсуждения." | Пара оформляет деление у доски; остальные сверяют шаги, задают вопросы и подтверждают результат: $2x^3+3x^2-5x+1=(x+2)(2x^2-x-3)+7$. |
Эталон решения
$2x^3:x=2x^2$; $2x^2(x+2)=2x^3+4x^2$; после вычитания получаем $-x^2-5x+1$. Далее $-x^2:x=-x$; $-x(x+2)=-x^2-2x$; после вычитания получаем $-3x+1$. Далее $-3x:x=-3$; $-3(x+2)=-3x-6$; остаток равен $7$. Поэтому $Q(x)=2x^2-x-3$, $R=7$.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Параметры решения совпали: частное имеет степень на единицу меньше степени делимого, а остаток имеет меньшую степень, чем делитель. Сейчас каждый самостоятельно проверит, умеет ли выполнять алгоритм без подсказки партнёра."
Этап 6. Самостоятельная работа с самопроверкой (8 мин)
Цель этапа: диагностировать индивидуальное освоение алгоритма и обеспечить своевременную коррекцию ошибок.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
5 мин | Учитель говорит: "Выберите уровень по готовности. Обязательный вариант: разделить $x^3-4x^2+x+6$ на $x-2$. Повышенный вариант: разделить $2x^4-x^3+3x^2-5$ на $x^2+1$. Запишите не только ответ, но и проверочное равенство. Работайте индивидуально." | Самостоятельно выполняют выбранное задание. Для обязательного варианта получают $Q(x)=x^2-2x-3$, $R=0$; для повышенного выполняют последовательное деление и записывают проверку. |
3 мин | Учитель выводит эталон и говорит: "Проверьте решение по трём признакам: многочлены упорядочены, каждое вычитание выполнено со сменой знаков, степень остатка меньше степени делителя. Поставьте себе плюс за каждый выполненный признак и исправьте одну найденную ошибку." | Сверяют работу с эталоном, выделяют ошибочный шаг, исправляют запись, заполняют лист самооценки. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Самостоятельная работа показала, что основная трудность связана не с первым делением, а с внимательным вычитанием и контролем знаков. Теперь рассмотрим ошибку как исследовательскую задачу и сформулируем способы проверки."
Этап 7. Включение в систему знаний. Анализ ошибки (5 мин)
Цель этапа: связать деление многочленов с обратным умножением и развить умение находить причину ошибки.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель показывает ошибочную запись: $x^2+3x+2$ разделили на $x+1$ и получили $x+2$ с остатком $0$, но при проверке записали $(x+1)(x+2)=x^2+2x+2$. Учитель спрашивает: "Верно ли выполнено умножение? Где нарушена проверка? Как можно быстро обнаружить ошибку?" | В парах находят ошибку: $(x+1)(x+2)=x^2+3x+2$; формулируют: «коэффициент при $x$ должен быть 3, а не 2». |
2 мин | Учитель говорит: "Сформулируйте два способа проверки: полный — через тождество, быстрый — подстановкой конкретного значения, если вычисления позволяют. Почему подстановка одного значения не заменяет полного доказательства?" | Записывают оба способа; отвечают: «одно значение может случайно совпасть, поэтому полная проверка надёжнее». |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Алгоритм завершён только тогда, когда выполнено условие по степени остатка, а результат подтверждён обратным умножением. Завершим урок короткой рефлексией и проверим достижение цели."
Этап 8. Рефлексия и домашнее задание (3 мин)
Цель этапа: зафиксировать освоенный способ действий, выявить оставшиеся затруднения и объяснить дифференцированное домашнее задание.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель раздаёт «Билет на выход»: "Ответьте письменно на два вопроса: «Какой шаг деления выполняется первым?» и «Как проверить равенство $P(x)=D(x)Q(x)+R(x)$?» На втором пункте укажите условие для степени остатка." | Записывают: «делятся старшие члены»; «умножить делитель на частное и прибавить остаток»; указывают $\deg R<\deg D$. |
2 мин | Учитель говорит: "Поднимите зелёную карточку, если можете выполнить деление самостоятельно, жёлтую — если нужна тренировка, красную — если требуется разбор первого шага. Домашнее задание выбирайте честно: его цель — не максимальная сложность, а устойчивое владение алгоритмом." | Показывают карточки, называют личную трудность: «знаки при вычитании», «выбор первого члена частного» или «проверка». |
Критерии оценивания практической работы
- «5» — верно выполнено деление, записаны все существенные промежуточные шаги, правильно указаны частное и остаток, выполнена проверка тождеством, степень остатка сравнена со степенью делителя.
- «4» — алгоритм применён верно, но допущена одна вычислительная или оформительская ошибка, исправленная при самопроверке; итоговая проверка выполнена.
- «3» — начат правильный алгоритм, определён первый член частного и выполнено не менее двух последовательных шагов, однако допущены ошибки в вычитании или проверка отсутствует.
- «2» — не определён первый шаг деления либо решение не позволяет установить частное и остаток.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Какой шаг алгоритма оказался для вас самым важным и почему? | Выявление понимания логики последовательного исключения старших членов. |
Что помогает не ошибиться при вычитании многочленов? | Выявление осознанных способов самоконтроля и типичных точек затруднения. |
Как вы проверите найденные частное и остаток? | Проверка понимания тождества $P(x)=D(x)Q(x)+R(x)$. |
Какой уровень домашнего задания вы выбираете и что хотите закрепить? | Формирование ответственного самоопределения и диагностика мотивации. |
Завершающее слово учителя
"Сегодня мы открыли алгоритм деления многочленов через последовательное уничтожение старших членов. Главное — не механически записать частное, а контролировать знаки, степени и условие для остатка. Типичная ошибка возникает при вычитании произведения делителя, поэтому обязательно выполняйте проверку умножением. На следующем уроке мы используем деление многочленов для разложения на множители и решения алгебраических задач. Если сейчас у вас осталась жёлтая или красная карточка, начните домашнюю работу с восстановления первого шага по памятке."
Домашнее задание
Уровень | Что задать | Зачем |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | Выполнить 3 примера на деление многочлена третьей степени на линейный многочлен: два примера без остатка и один с ненулевым остатком. Для каждого записать частное, остаток и проверочное равенство. | Закрепляет последовательность алгоритма; при проверке обратить внимание на порядок степеней, знаки при вычитании и условие $\deg R<\deg D$. |
Средний (повышающий) | Выполнить 3 примера на деление многочлена четвёртой степени на многочлен второй степени, включая случай с пропущенным членом; отсутствующие степени записывать с нулевыми коэффициентами. | Развивает умение упорядочивать выражения и переносить алгоритм на делитель большей степени; проверить каждый результат умножением. |
Продвинутый (дополнительный) | Исследовать 2 деления с параметром или подобрать многочлен $P(x)$, который при делении на заданный делитель имеет указанное частное и остаток, затем обосновать построение. | Формирует умение применять равенство $P(x)=D(x)Q(x)+R(x)$ в обратном направлении и аргументировать решение. |
Контрольные вопросы перед выходом: «С чего начинается деление многочленов?», «Почему после каждого шага выполняется вычитание?», «Когда алгоритм останавливается?», «Как записывается проверочное равенство?»
