Арифметический корень n-й степени: смысл, свойства и преобразования
Цели и задачи
- Цель: к концу урока ученики смогут объяснить смысл арифметического корня n-й степени, выбирать и применять свойства корней для вычисления выражений и корректно выносить множитель из-под корня или вносить его под корень, обосновывая допустимость преобразований.
- Образовательная задача: сформулировать определение арифметического корня n-й степени и различить случаи чётного и нечётного показателя.
- Образовательная задача: вывести и применить свойства произведения, частного и степени арифметических корней с учётом области допустимых значений.
- Развивающая задача: анализировать выражение, выбирать наиболее рациональный способ вычисления и проверять результат возведением в степень.
- Воспитательная задача: развивать ответственность за математическое обоснование решения, готовность аргументированно обсуждать разные способы в паре.
Планируемые результаты
Личностные
- Ученик проявляет интерес к исследованию того, как связь корня и степени позволяет обосновывать преобразования.
- Осознаёт ценность точной записи условий применимости свойств корня.
- Проявляет самостоятельность при выборе способа вычисления и проверке результата.
- Уважительно относится к аргументам одноклассника и готов пересмотреть решение при обнаружении ошибки.
Метапредметные
- Извлекает математическую информацию из определения, формул и примеров, сопоставляя символическую запись с её смыслом.
- Планирует последовательность преобразований и оценивает, соответствует ли каждый шаг условиям применимости свойства.
- Сравнивает два способа вычисления и аргументирует выбор более рационального.
- Использует интерактивную демонстрацию для проверки числового результата, понимая, что вычислительный инструмент не заменяет доказательство.
Предметные
- Знает определение арифметического корня n-й степени и объясняет различие условий для чётного и нечётного n.
- Умеет применять свойства корня произведения и частного при выполнении соответствующих условий.
- Умеет вычислять корни n-й степени из неотрицательных степеней и чисел, являющихся полными степенями.
- Умеет выносить неотрицательный множитель из-под корня и вносить неотрицательный множитель под знак корня, указывая ограничения.
- Проверяет полученный результат возведением в соответствующую степень либо обратным преобразованием.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Определяют личный учебный запрос: какое свойство корней требует дополнительной тренировки.
- Соотносят освоение математических преобразований с развитием навыков, нужных для дальнейшего обучения.
- Проявляют интеллектуальную честность, отмечая шаг, в котором возникло затруднение.
- Принимают ответственность за точность записи ограничений и обоснования.
Регулятивные УУД
- Формулируют цель урока на основе обнаруженного затруднения при работе с корнями.
- Планируют решение, выбирая подходящее свойство и проверяя его условия.
- Сверяют самостоятельное решение с эталоном и находят конкретный шаг, требующий исправления.
- Оценивают степень достижения цели по листу самооценки и определяют следующий шаг.
Познавательные УУД
- Выявляют связь между арифметическим корнем и возведением числа в натуральную степень.
- Сравнивают определения для чётного и нечётного показателей и устанавливают причину ограничения подкоренного выражения.
- Моделируют преобразование корня равенством степеней и проверяют его на конкретных примерах.
- Анализируют ошибочные решения, находя пропуск условия или неверное применение свойства.
Коммуникативные УУД
- В паре объясняют ход рассуждения, задают уточняющие вопросы о допустимости преобразования.
- Используют математические термины и символы для точного представления решения.
- Сопоставляют способы вычисления без подмены доказательства ссылкой на ответ калькулятора.
- Аргументированно принимают общее решение и корректно указывают на обнаруженную ошибку.
Подготовка учителя к уроку
- Подготовить презентацию с определением арифметического корня, таблицей условий для чётного и нечётного показателей и примерами преобразований.
- Подготовить интерактивную демонстрацию вычисления корней на компьютере учителя; заранее проверить вывод выражений и числовых значений на экран.
- Распечатать по одной карточке на пару: исследовательское задание на сравнение квадратного и кубического корней и три задания на преобразования.
- Распечатать по одному индивидуальному листу на каждого ученика с тремя заданиями разного уровня и полем для самопроверки.
- Подготовить на доске место для записи определения, условий применимости свойств и итогового алгоритма вынесения множителя.
- Подготовить стикеры трёх цветов для быстрого сигнала самооценки: уверенно, нужна проверка, требуется помощь.
- Подготовить калькулятор или компьютер с математической программой для демонстрации числовой проверки; предусмотреть работу без личных устройств учеников.
- Подготовить на экране краткий межпредметный контекст: связь корня третьей степени с вычислением ребра куба по известному объёму.
Ход урока
Этап 1. Организационный момент и мотивация (3 мин)
Цель этапа: включить учеников в исследовательскую работу и обозначить практический смысл новой темы.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель приветствует класс и выводит на экран условие: «У кубического контейнера объём 125 дм³. Как определить длину его ребра, если контейнер имеет форму куба?» Учитель говорит: "Здравствуйте, ребята. Сегодня начнём с задачи, где неизвестное число скрыто в обратном действии к возведению в степень. Не спешите подбирать ответ наугад: нам важно понять, как записать поиск точно и как затем проверить результат." | Готовят тетради, записывают условие и предполагают: «Нужно найти число, куб которого равен 125». |
2 мин | Учитель организует приём «Подумай — обсуди в паре — поделись»: "Сначала подумайте самостоятельно полминуты, затем обсудите с соседом, какое действие возвращает нас от объёма куба к ребру. После обсуждения одна-две пары предложат запись, а мы зафиксируем, что в ней известно и что требуется найти." | Самостоятельно обдумывают задачу 30 секунд, одну минуту обсуждают в паре и предлагают запись x³ = 125; называют предполагаемый ответ 5 дм и проверку 5³ = 125. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы увидели, что корень помогает восстановить число по его степени. Чтобы такие вычисления были не подбором, а точным математическим действием, разберём определение и условия его применения."
Этап 2. Актуализация знаний и выявление затруднения (6 мин)
Цель этапа: актуализировать связь степени с обратным действием и обнаружить различие между чётным и нечётным показателями.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель записывает на доске равенства 4² = 16, (−4)² = 16, 3³ = 27, (−3)³ = −27 и спрашивает: "Посмотрите на четыре равенства. Для какого показателя положительное число имеет два противоположных прообраза, а для какого знак результата позволяет восстановить знак исходного числа? Объясните не только ответ, но и почему он верен." | Сравнивают равенства, отвечают: «При квадрате и 16 подходят 4 и −4; при кубе 27 соответствует 3, а −27 — −3». Формулируют различие чётной и нечётной степеней. |
3 мин | Учитель предлагает короткую проверку на доске: «Можно ли назвать арифметическим квадратным корнем из 16 число −4? А арифметическим кубическим корнем из −27 число −3? Запишите ответ и объясните роль слова “арифметический”.» Учитель фиксирует типичное затруднение: необходимость отличать корень как неотрицательное значение при чётном показателе от решения уравнения. | Записывают ответы: «Арифметический квадратный корень из 16 равен 4, не −4; арифметический кубический корень из −27 равен −3». Отмечают, что для чётного показателя выбирается неотрицательное значение. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы вспомнили обратную связь степени и корня и нашли важное различие для чётного и нечётного показателя. Теперь сформулируем точное определение, которое устранит эту неоднозначность."
Этап 3. Постановка проблемы и целеполагание (4 мин)
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Цель этапа: сформулировать учебную проблему и совместно определить план открытия нового знания.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель показывает на экране выражения √16 и ∛(−27) и задаёт цепочку вопросов: "Почему запись корня из 16 сама по себе не должна давать два ответа? Что означает слово “арифметический”? Для каких подкоренных чисел корень чётной степени существует среди действительных чисел? Чем в этом отношении отличается нечётный показатель?" | Обсуждают вопросы и формулируют проблему: «Нужно точно определить, какое значение выбирается и при каких подкоренных числах корень существует». |
2 мин | Учитель проводит «Снежный ком»: "Сначала каждый запишите один пункт, который нужно выяснить. Затем сравните записи в паре, объедините похожие вопросы и сформулируйте план из трёх шагов: определить корень, установить его свойства, применить их к вычислениям и преобразованиям." | Записывают личный вопрос, согласуют его в паре и предлагают план: определение и условия; свойства; вычисление и преобразование корней. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "План у нас есть: сначала определение и ограничения, затем свойства, после этого практическая проверка. Приступим к исследованию на конкретных примерах и запишем выводы в общей форме."
Этап 4. Открытие нового знания: определение и свойства (10 мин)
Цель этапа: вывести определение арифметического корня n-й степени и обосновать основные свойства на примерах.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
4 мин | Учитель выводит на экран две колонки: чётное n и нечётное n. Говорит: "Сравните уравнения x² = 25 и x³ = −8. В первом случае корнями уравнения являются 5 и −5, но арифметическим корнем называют только неотрицательное число. Во втором случае единственное действительное число, куб которого равен −8, — это −2. Как сформулировать общее определение через равенство степени и корня?" | Заполняют таблицу в тетради: для чётного n подкоренное число a должно быть неотрицательным, результат корня неотрицателен; для нечётного n допустимо любое действительное a. Предлагают формулировку определения. |
3 мин | Учитель записывает определение и спрашивает: "Если a и b неотрицательны, что получится при возведении произведения в n-ю степень? А если каждый множитель уже записан как n-я степень? Проверьте на примере √(9·4). Какой общий закон вы предполагаете?" Учитель подчёркивает: условия для чётных корней нельзя опускать. | Исследуют пример, получают √36 = 6 и √9·√4 = 3·2 = 6. Формулируют свойство корня произведения при допустимых значениях подкоренных выражений. |
3 мин | Учитель показывает выражение ⁴√(81/16) и спрашивает: "Можно ли разделить корень из числителя на корень из знаменателя? Какие ограничения здесь обязательны? Теперь рассмотрим вынесение множителя: как представить ⁴√(16a) при a ≥ 0 и как проверить ответ обратным возведением в четвёртую степень?" | Формулируют свойство частного при неотрицательном знаменателе и получают ⁴√(81/16) = 3/2. Для a ≥ 0 записывают ⁴√(16a) = 2·⁴√a и проверяют равенство возведением результата в четвёртую степень. |
Запись в тетрадях
- При n ≥ 2 и чётном n арифметический корень ⁿ√a определён при a ≥ 0 и является неотрицательным числом, n-я степень которого равна a.
- При нечётном n арифметический корень ⁿ√a определён для любого действительного a и является числом, n-я степень которого равна a.
- Для допустимых значений: ⁿ√(ab) = ⁿ√a · ⁿ√b; при b > 0: ⁿ√(a/b) = ⁿ√a / ⁿ√b.
- При a ≥ 0 и c ≥ 0: ⁿ√(cⁿa) = c·ⁿ√a для чётного n; множитель под корнем и вне его согласуется с условиями определения.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы сформулировали определение и увидели, что каждое свойство требует проверки условий. Теперь применим их к вычислениям и сравним решение вручную с числовой проверкой на экране."
Этап 5. Практикум в парах и межпредметная связь (9 мин)
Цель этапа: закрепить вычисление корней и преобразование выражений в практической ситуации, используя парное объяснение и межпредметный контекст геометрии.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель раздаёт по одной карточке на пару и говорит: "Первое задание связывает алгебру с геометрией. Кубический контейнер имеет объём 216 дм³. Найдите длину его ребра и объясните, почему здесь нужен корень третьей степени. Запишите сначала уравнение, затем вычисление и проверку." | В парах записывают x³ = 216, находят x = ∛216 = 6 дм и проверяют: 6³ = 216. Объясняют связь объёма куба и длины ребра. |
4 мин | Учитель предлагает задания на карточке: «Вычислите ∛(−125), ⁴√81, ⁵√32; упростите √(72) вынесением полного квадрата; внесите множитель 3 под знак квадратного корня в выражении 3√5. Разделите задания: один решает, второй проверяет условия и объясняет каждый переход, затем поменяйтесь ролями». | Решают по очереди и проговаривают: ∛(−125) = −5; ⁴√81 = 3; ⁵√32 = 2; √72 = 6√2; 3√5 = √45. Проверяют возведением в степень и соблюдением неотрицательности выносимого множителя. |
3 мин | Учитель демонстрирует на экране проверку значений ∛216 и √72 с помощью математической программы: "Сравните показанное числовое значение с вашим точным ответом. Цифровая проверка помогает заметить вычислительную ошибку, но почему запись 6√2 для √72 сильнее приближённого десятичного числа? Обоснуйте точность и проверьте равенство возведением в квадрат." | Сопоставляют приближённое значение экрана с точной записью, объясняют, что 6√2 сохраняет точное значение. Проверяют (6√2)² = 72 и называют цифровую проверку вспомогательным средством. |
Эталон решения
Объём куба V = a³, поэтому a = ∛216 = 6 дм, поскольку 6³ = 216. Далее: ∛(−125) = −5; ⁴√81 = 3, так как 3⁴ = 81; ⁵√32 = 2, так как 2⁵ = 32. √72 = √(36·2) = 6√2. Для внесения множителя: 3√5 = √(3²·5) = √45. При чётном корне выносимый множитель берётся неотрицательным.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Вы применили корни и в алгебраических вычислениях, и в задаче о длине ребра куба. Сейчас каждый проверит, насколько уверенно может самостоятельно выбрать свойство и обосновать преобразование."
Этап 6. Самостоятельная работа с самопроверкой (8 мин)
Цель этапа: проверить индивидуальное владение определением, вычислением корней и преобразованием выражений.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
5 мин | Учитель раздаёт каждому индивидуальный лист и сообщает критерии до начала работы: "Выполните три задания: вычислите ⁶√64 и ∛(−64); упростите ⁴√(16·5); внесите множитель 2 под знак квадратного корня в выражении 2√7. В каждом решении запишите использованное свойство или проверку. Если закончите раньше, придумайте пример, где свойство корня частного требует указать ограничение." | Самостоятельно записывают ⁶√64 = 2, ∛(−64) = −4, ⁴√80 = 2·⁴√5, 2√7 = √28. В дополнительном примере указывают условие положительности знаменателя для свойства частного. |
3 мин | Учитель открывает на экране эталон и предлагает самопроверку: "Не стирайте первоначальное решение. Отметьте галочкой верные шаги, а ошибку исправьте рядом другим цветом. Проверьте отдельно знак результата для нечётного корня и то, что множитель при внесении под квадратный корень возводится в квадрат." | Сверяют решения с эталоном, исправляют ошибки другим цветом и отмечают в листе: «самостоятельно справился», «нужно повторить условие свойства» или «нужна помощь с преобразованием». |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Самопроверка показала не только верность ответа, но и качество обоснования. Завершим урок короткой рефлексией: назовите, что уже стало понятным и какой вопрос ещё стоит уточнить."
Этап 7. Рефлексия, итог и домашнее задание (5 мин)
Цель этапа: соотнести результат с целью урока, выявить оставшиеся затруднения и зафиксировать домашнюю работу.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель предлагает приём «Светофор» и вопросы для билета на выход: "Поднимите зелёную карточку, если можете объяснить определение и выполнить преобразование; жёлтую — если нужна одна уточняющая тренировка; красную — если пока требуется разбор. На стикере завершите фразу: “Теперь я могу…” и запишите один вопрос, который хотите прояснить." | Поднимают карточку выбранного цвета, на стикере записывают конкретное умение и оставшийся вопрос, например: «Могу выносить полный квадрат; хочу уточнить условие для корня чётной степени». |
3 мин | Учитель показывает таблицу домашнего задания и говорит: "Выберите обязательный уровень; повышающий и дополнительный уровни доступны тем, кто хочет проверить себя глубже. Перед выходом ответьте устно на два контрольных вопроса: почему арифметический квадратный корень не бывает отрицательным и как проверить вынесение множителя из-под корня?" | Записывают домашнее задание выбранного уровня, отвечают: «Арифметический корень чётной степени неотрицателен»; «нужно возвести преобразованное выражение в степень, соответствующую корню, и проверить равенство». |
Критерии оценивания практической работы
- «5» — верно выполнены все задания практикума и самостоятельной работы, свойства применены при корректных условиях, преобразования обоснованы, результаты проверены.
- «4» — верно выполнено большинство заданий, допущена одна вычислительная или оформительская неточность, не искажающая способ решения; условия корня чётной степени в основном учтены.
- «3» — правильно выполнены базовые вычисления корней, но допущены ошибки при вынесении или внесении множителя либо не везде указаны условия применимости; необходима коррекция решения.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Как своими словами определить арифметический корень n-й степени? | Проверить осознание смысла определения и роли показателя. |
Какое условие нужно проверить перед применением свойства корня чётной степени? | Выявить понимание области допустимых значений и типичных ошибок. |
Какое преобразование сегодня потребовало от вас наибольшего внимания и почему? | Определить субъективно сложный шаг алгоритма для последующей коррекции. |
Насколько самостоятельно вы можете проверить ответ возведением в степень? | Оценить сформированность самоконтроля и уверенность в применении нового знания. |
Завершающее слово учителя
"Сегодня мы связали арифметический корень с обратным действием к возведению в степень и сформулировали условия, от которых зависит существование корня. Вы научились вычислять корни и преобразовывать выражения, сохраняя точное значение. Особенно внимательно проверяйте знак подкоренного выражения при чётном показателе и не забывайте, что внесённый под корень множитель возводится в степень. На следующем уроке мы продолжим преобразования выражений с корнями и будем выбирать наиболее рациональный способ решения."
Домашнее задание
Уровень | Что задать | Зачем |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | Решить 6 упражнений: вычислить корни чётной и нечётной степени из полных степеней, упростить 2 выражения вынесением множителя и выполнить 1 преобразование с внесением множителя под знак корня. | Закрепляет определение и базовые преобразования; при проверке обратить внимание на знак корня чётной степени и проверку результата возведением в степень. |
Средний (повышающий) | Решить 4 выражения, используя свойства корня произведения и частного, а также вынесение множителя; в двух решениях письменно указать условия допустимости преобразований. | Развивает выбор рационального свойства и умение обосновывать его применение; проверить ограничения для подкоренных выражений и знаменателя. |
Продвинутый (дополнительный) | Составить и решить две задачи с практическим контекстом, в одной из которых неизвестную величину находят по объёму куба или другой n-й степени; представить два способа проверки одного ответа. | Развивает перенос математической модели в реальную ситуацию и самостоятельное создание задания; проверить корректность модели, точность вычисления и аргументацию проверки. |
Контрольные вопросы перед выходом из класса: чем арифметический квадратный корень отличается от решения уравнения x² = a; для каких действительных подкоренных чисел определён корень нечётной степени; как проверить равенство √72 = 6√2?
