Медиана, биссектриса и высота треугольника

1 БАЛЛ

1. Расположение высот

Выберите верное утверждение о точках пересечения высот (ортоцентре) треугольника в зависимости от его вида.

• В тупоугольном треугольнике точка пересечения высот лежит внутри треугольника.
• В прямоугольном треугольнике точка пересечения высот совпадает с вершиной прямого угла.
• В любом треугольнике точка пересечения высот всегда находится внутри него.
• В равнобедренном треугольнике высоты никогда не пересекаются в одной точке.

2 БАЛЛА

2. Высота в равнобедренном треугольнике

В треугольнике $ABC$ известно, что $AB=BC$. Проведена высота $BH$. Найдите длину этой высоты, если периметр треугольника $ABH$ равен $24$ см, а периметр треугольника $ABC$ равен $32$ см.

2 БАЛЛА

3. Верно или неверно?

Оцените истинность утверждений о свойствах элементов треугольника.

1. Любая медиана равнобедренного треугольника является его высотой.ИстинаЛожь
2. Если две высоты треугольника равны, то этот треугольник является равнобедренным.ИстинаЛожь
3. Биссектриса треугольника делит противоположную сторону пополам.ИстинаЛожь
4. В равностороннем треугольнике центры вписанной и описанной окружностей совпадают с точкой пересечения медиан.ИстинаЛожь

3 БАЛЛА

4. Признак равнобедренного треугольника

Заполните пропуски в доказательстве утверждения: «Если в треугольнике медиана совпадает с высотой, то он равнобедренный».

Пусть в $△ABC$ отрезок $BD$ является медианой и высотой. Рассмотрим $△ABD$ и $△CBD$. Так как $BD$ — медиана, то $AD=$ . Так как $BD$ — высота, то $\angle ADB=\angle CDB=$ градусов. Сторона $BD$ — для этих треугольников. Следовательно, $△ABD=△CBD$ по признаку равенства. Из равенства треугольников следует, что $AB=CB$, значит $△ABC$ — равнобедренный.

2 БАЛЛА

5. Биссектрисы при основании

В равнобедренном треугольнике $ABC$ с основанием $AC$ угол при вершине $B$ равен $80^{\circ }$. Найдите угол между биссектрисами углов $A$ и $C$. В ответе укажите градусную меру тупого угла.