Векторы

Слайд 1. Векторы на плоскости и в пространстве

От сложения и вычитания до разложения по базису

Слайд 2. Что такое вектор в 3D?

Вектор — это направленный отрезок, который характеризуется длиной (модулем) и направлением. В отличие от плоскости, где нам достаточно двух координат $(x;y)$, в пространстве положение вектора задается тройкой чисел $(x;y;z)$.

Основные понятия:

— Нулевой вектор $\vec{0}$ (начало и конец совпадают);

— Коллинеарные векторы (лежат на параллельных прямых);

— Компланарные векторы (параллельны одной плоскости).

Слайд 3. Сложение и вычитание векторов

Правило треугольника: от конца первого вектора откладываем начало второго. Сумма — вектор от начала первого к концу второго.

Правило параллелограмма: для векторов с общим началом. Сумма — диагональ параллелограмма.

Вычитание векторов: $\vec{a}-\vec{b}$ — это вектор, который в сумме с $\vec{b}$ дает $\vec{a}$.

Свойства: $\vec{a}+\vec{b}=\vec{b}+\vec{a}$ (коммутативность) и $(\vec{a}+\vec{b})+\vec{c}=\vec{a}+(\vec{b}+\vec{c})$ (ассоциативность).

Слайд 4. Правило параллелепипеда

Слайд 5. Умножение вектора на число

Вектор $k\vec{a}$ имеет то же направление, что и $\vec{a}$, а его длина изменяется в $k$ раз.

$|k\vec{a}|=|k|\cdot |\vec{a}|$.

Вектор $k\vec{a}$ направлен противоположно вектору $\vec{a}$.

Если $k=-1$, получается противоположный вектор $-\vec{a}$.

Слайд 6. Разложение по трем векторам

Любой вектор $\vec{p}$ в пространстве можно разложить по трем некомпланарным векторам $\vec{a},\vec{b}$ и $\vec{c}$.

Формула: $\vec{p}=x\vec{a}+y\vec{b}+z\vec{c}$.

Коэффициенты $x,y,z$ определяются единственным образом. Эти векторы образуют базис в пространстве.

Слайд 7. Где применяются векторы?

Описание сил, действующих на объект, скоростей и ускорений в пространстве.

Прокладка курсов самолетов и кораблей с учетом ветра и течения.

Создание 3D-моделей в играх и кино, расчет освещения и движения камер.

Расчет нагрузок на элементы конструкций зданий и мостов.

Слайд 8. Сравнение: Плоскость vs Пространство

Переход от 2D к 3D сохраняет основные правила операций, но добавляет третью степень свободы и возможность работать с некомпланарными объектами.

Слайд 9. Вопросы для обсуждения

Могут ли три вектора быть некомпланарными, если два из них коллинеарны?

Что произойдет с вектором, если его умножить на $k=0$?

В каком случае сумма трех векторов равна нулю?

Как найти длину вектора, зная его координаты $(x;y;z)$?

Слайд 10. Основные выводы

Векторы в пространстве складываются по правилам треугольника, параллелограмма и параллелепипеда.

Умножение на число меняет длину и (при $k<0$) направление вектора.

Любой вектор пространства можно единственным образом разложить по базису из трех некомпланарных векторов.

Векторный метод значительно упрощает решение сложных стереометрических задач.