Предмет стереометрии и её аксиомы

Слайд 1. Предмет стереометрии и её аксиомы

Геометрия, 11 класс

Слайд 2. Что изучает стереометрия

Стереометрия — раздел геометрии, изучающий фигуры в пространстве и отношения между ними.

В отличие от планиметрии, где рассматриваются фигуры на плоскости, стереометрия исследует трёхмерное пространство: взаимное расположение точек, прямых и плоскостей, а также свойства многогранников и тел вращения.

Слайд 3. Основные понятия стереометрии

Простейший объект геометрии. Точки обозначают прописными латинскими буквами: $A$, $B$, $C$.

Бесконечная линия без начала и конца. Прямую обозначают строчной буквой или двумя точками: $a$ или $AB$.

Бесконечная ровная поверхность. Плоскость обозначают греческой буквой: $\alpha$, $\beta$.

Слайд 4. Пространство и его модели

Слайд 5. Как задаются геометрические объекты

Точка задаётся своим положением в пространстве.

Прямая задаётся двумя различными точками.

Плоскость задаётся тремя точками, не лежащими на одной прямой.

Плоскость также можно задать прямой и точкой, не лежащей на ней.

Две пересекающиеся прямые однозначно задают плоскость.

Слайд 6. Принадлежность точек и прямых

Если точка $A$ лежит на прямой $a$, записывают $A\in a$. Если точка $B$ не лежит на прямой $a$, записывают $B\notin a$.

Если прямая $a$ лежит в плоскости $\alpha$, используют запись $a\subset \alpha$. Точка может принадлежать плоскости, не принадлежа ни одной выбранной прямой в этой плоскости.

Слайд 7. Основные аксиомы стереометрии

Слайд 8. Аксиома 1: плоскость через три точки

Через любые три точки, не лежащие на одной прямой, проходит единственная плоскость.

Эта аксиома позволяет определить плоскость по трём неколлинеарным точкам. Если точки $A$, $B$ и $C$ не лежат на одной прямой, плоскость обозначают $\alpha =(ABC)$.

Слайд 9. Аксиома 2: если две точки прямой лежат в плоскости

Если две точки прямой лежат в некоторой плоскости, то вся прямая лежит в этой плоскости.

Практический смысл: чтобы доказать принадлежность прямой плоскости, достаточно показать, что две её точки принадлежат этой плоскости.

Слайд 10. Аксиома 3: пересечение плоскостей

Если две плоскости имеют общую точку, то они пересекаются по прямой, проходящей через эту точку.

Линию пересечения плоскостей обозначают, например, $a=\alpha \cap \beta$. Все общие точки двух плоскостей лежат на этой прямой.

Слайд 11. Следствия из аксиом

Через прямую и точку вне неё проходит единственная плоскость.

Через две пересекающиеся прямые проходит единственная плоскость.

Если две различные плоскости имеют общую точку, то их пересечение — прямая.

Если две плоскости не имеют общих точек, они параллельны.

Слайд 12. Взаимное расположение объектов

Прямая лежит в плоскости, пересекает её в одной точке или не имеет с ней общих точек.

Прямые могут пересекаться, быть параллельными или быть скрещивающимися.

Плоскости могут пересекаться по прямой или быть параллельными.

Прямые не лежат в одной плоскости и не имеют общей точки.

Слайд 13. Задание для проверки понимания

1. Назовите три объекта, которые задают плоскость.

2. Верно ли, что через любые три точки проходит единственная плоскость? Обоснуйте ответ.

3. Сформулируйте признак принадлежности прямой плоскости.

4. Приведите пример двух скрещивающихся прямых в пространстве.

5. Объясните, почему две пересекающиеся плоскости имеют общую прямую.

Слайд 14. Главное по теме

Стереометрия изучает фигуры и отношения между ними в пространстве.

Основные понятия: точка, прямая, плоскость и пространство.

Плоскость задаётся тремя неколлинеарными точками, прямой и точкой вне неё или двумя пересекающимися прямыми.

Через три неколлинеарные точки проходит единственная плоскость.

Если две точки прямой принадлежат плоскости, то вся прямая принадлежит этой плоскости.

Две пересекающиеся плоскости имеют общей прямой.

Слайд 15. Спасибо за внимание!