Шар

Слайд 1. Шар

Геометрия, 11 класс • определения, формулы и задачи ЕГЭ

Слайд 2. Что называют шаром

Шар — это геометрическое тело, состоящее из всех точек пространства, расстояние от которых до заданной точки не больше заданного числа.

Заданная точка называется центром шара, а заданное число — радиусом. Если центр обозначен $O$, а радиус — $R$, то любая точка $X$ шара удовлетворяет условию $OX\le R$.

Слайд 3. Составляющие шара

Точка $O$, от которой измеряют расстояния до всех точек поверхности.

Отрезок от центра до точки сферы. Его длина равна $R$.

Хорда, проходящая через центр. Длина диаметра: $d=2R$.

Граница шара: множество точек, удалённых от центра ровно на $R$.

Слайд 4. Шар и сфера: не перепутать

Объёмное тело вместе с внутренними точками.

Условие для точки: $OX\le R$.

Можно говорить об объёме шара.

Только внешняя поверхность шара.

Условие для точки: $OX=R$.

Для сферы находят площадь поверхности.

Слайд 5. Основные элементы и их свойства

• Любые радиусы одного шара равны.

• Диаметр проходит через центр и является самой длинной хордой.

• Центр шара равноудалён от всех точек сферы.

• Сечение шара плоскостью — круг или точка.

• Сечение сферы плоскостью — окружность или точка.

Слайд 6. Сечение шара плоскостью

Пусть плоскость находится на расстоянии $h$ от центра шара, а радиус сечения равен $r$. Перпендикуляр из центра к плоскости попадает в центр круга сечения.

В прямоугольном треугольнике получаем ключевую связь:

$R^2=h^2+r^2$.

Если плоскость проходит через центр, то $h=0$ и сечение имеет наибольший радиус $r=R$.

Слайд 7. Формулы площади и объёма

Для шара радиуса $R$:

Площадь сферы: $S=4\pi R^2$.

Объём шара: $V=\frac{4}{3}\pi R^3$.

Площадь большого круга — центрального сечения: $S_{\text{круга}}=\pi R^2$.

Полезно помнить: площадь зависит от квадрата радиуса, а объём — от куба радиуса.

Слайд 8. Как выбрать нужную формулу

Из условия выделите радиус или диаметр. Если дан диаметр, сначала используйте $R=\frac{d}{2}$, затем подставьте в $V=\frac{4}{3}\pi R^3$.

Для поверхности шара применяйте $S=4\pi R^2$. Не заменяйте её площадью большого круга $\pi R^2$.

Извлекайте корень: $R=\sqrt{\frac{S}{4\pi }}$ или $R=\sqrt[3]{\frac{3V}{4\pi }}$.

Слайд 9. Площадь сферической поверхности

Сферическая поверхность не является плоской фигурой, поэтому её площадь не находят как сумму площадей видимых частей.

Запомните формулу $S=4\pi R^2$. Если в задаче дан диаметр $d$, удобно преобразовать её:

$S=\pi d^2$.

Пример: при $d=6$ площадь сферы равна $S=36\pi$.

Слайд 10. «Сначала найдите радиус»

— универсальная подсказка при решении задач о шаре

Слайд 11. Практический пример: шар в кубе

• Шар вписан в куб, значит его диаметр равен ребру куба.

• Если ребро куба равно $a$, то $R=\frac{a}{2}$.

• Объём шара: $V=\frac{4}{3}\pi {\left(\frac{a}{2}\right)}^3=\frac{\pi a^3}{6}$.

• Объём куба равен $a^3$.

• Отношение объёмов шара и куба: $\frac{\pi }{6}$.

Слайд 12. Практический пример: шар в цилиндре

Если шар вписан в цилиндр, то радиус основания цилиндра равен радиусу шара: $r=R$. Высота цилиндра равна диаметру шара: $h=2R$.

Тогда $V_{\text{цилиндра}}=\pi R^2\cdot 2R=2\pi R^3$, а $V_{\text{шара}}=\frac{4}{3}\pi R^3$. Отношение объёмов: $\frac{V_{\text{шара}}}{V_{\text{цилиндра}}}=\frac{2}{3}$.

Слайд 13. Сравнение частых объектов

Слайд 14. Касательная плоскость к сфере

Плоскость называется касательной к сфере, если имеет с ней ровно одну общую точку $A$.

Радиус $OA$, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной плоскости:

$OA\perp \alpha$.

Это свойство помогает находить расстояния и доказывать перпендикулярность в пространственных задачах.

Слайд 15. Алгоритм решения задачи ЕГЭ

1. Определите, что дано: радиус, диаметр, площадь или объём.

2. Сделайте чертёж и отметьте центр шара.

3. Найдите радиус, если он не указан напрямую.

4. Для сечения примените $R^2=h^2+r^2$.

5. Выберите формулу площади или объёма.

6. Проверьте единицы измерения и ответ.

Слайд 16. Задача на сечение: разбор

Плоскость пересекает шар радиуса $R=5$ на расстоянии $h=3$ от центра. Найдём радиус сечения.

По теореме Пифагора: $r^2=R^2-h^2=25-9=16$.

Следовательно, $r=4$. Площадь круга сечения равна $\pi r^2=16\pi$.

Главная идея: в сечении всегда ищем прямоугольный треугольник с гипотенузой $R$.

Слайд 17. Типичные ошибки

Подставляют $d$ вместо $R$. Всегда проверьте: $R=\frac{d}{2}$.

Площадь поверхности не смешивайте с объёмом тела.

Радиус сечения не всегда равен радиусу шара: это верно только при $h=0$.

Площадь измеряется в квадратных единицах, объём — в кубических.

Слайд 18. Попробуйте решить самостоятельно

• Найдите площадь сферы, если её радиус равен $3$.

• Найдите объём шара с диаметром $8$.

• Радиус шара равен $10$, расстояние до сечения — $6$. Найдите радиус сечения.

• Сравните объём шара радиуса $R$ и объём цилиндра радиуса $R$ и высоты $2R$.

После решения объясните, какую формулу выбрали и почему.

Слайд 19. Что нужно уметь на экзамене

• Различать шар и сферу.

• Называть центр, радиус, диаметр и сечение.

• Использовать формулы $S=4\pi R^2$ и $V=\frac{4}{3}\pi R^3$.

• Применять связь $R^2=h^2+r^2$ для сечения.

• Распознавать вписанный шар в кубе или цилиндре.

• Строить короткую цепочку: чертёж → радиус → формула → проверка.

Слайд 20. Спасибо за внимание!