Площадь сферы. Касательная плоскость к сфере

Слайд 1. Площадь сферы. Касательная плоскость к сфере

Геометрия, 11 класс | Урок открытия нового знания

Слайд 2. Актуализация знаний

• Чем отличается сфера от шара?

• Уравнение сферы с центром в начале координат: $x^2+y^2+z^2=R^2$

• Свойство касательной к окружности: перпендикулярность радиусу в точке касания

Слайд 3. Площадь поверхности сферы

Формула площади: $S=4\pi R^2$.

Исторический факт: Архимед доказал, что площадь сферы равна боковой поверхности описанного вокруг неё цилиндра.

Зависимость: при изменении радиуса в $k$ раз площадь меняется в $k^2$ раз (квадратичная зависимость).

Слайд 4. Касательная плоскость к сфере

• Определение: плоскость, имеющая со сферой только одну общую точку.

• Условие касания: расстояние $d$ от центра до плоскости равно радиусу $R$.

• Теорема: касательная плоскость перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания.

Слайд 5. Задача 1: Расчет площади

Условие: Площадь большого круга сферы равна $15\pi$.

Задание: Найдите площадь поверхности этой сферы.

Слайд 6. Проверка задачи 1

1. Площадь круга $S_{\text{кр}}=\pi R^2=15\pi$, следовательно $R^2=15$

2. Площадь сферы $S_{\text{сф}}=4\pi R^2$

3. Подставляем значение: $S_{\text{сф}}=4\cdot 15\cdot \pi =60\pi$

Ответ: $60\pi$.

Слайд 7. Задача 2: Взаимное расположение

Условие: Дана сфера с центром $O(0,0,0)$ и радиусом $R=5$.

Задание: Касается ли ее плоскость $z=5$? Ответ обоснуйте.

Слайд 8. Проверка задачи 2

1. Расстояние $d$ от центра сферы $(0,0,0)$ до плоскости $z=5$ равно $5$.

2. Сравнение: $d=5$ и $R=5$, значит $d=R$.

Ответ: Да, плоскость является касательной, так как расстояние от центра до плоскости равно радиусу.

Слайд 9. Домашнее задание

1. Найти $S$ при $R=7$ см.

2. Найти $R$, если $S=144\pi$.

3. Найти $S$, если длина большой окружности $10\pi$.

Сфера вписана в цилиндр. Найдите отношение площади сферы к площади полной поверхности цилиндра.

Рассчитайте площадь поверхности Земли ($R=6400$ км) и сравните её с площадью России. Сделайте вывод.

Слайд 10. Итоги и рефлексия

Во сколько раз увеличится площадь сферы, если радиус удвоится?

Сформулируйте основное свойство касательной плоскости.

Какое задание сегодня вызвало наибольшее затруднение?