Уравнение плоскости и нормаль

Слайд 1. Уравнение плоскости и нормаль

Геометрия в пространстве, 11 класс

Слайд 2. Понятие плоскости

В стереометрии плоскость — это фундаментальное понятие. В декартовой системе координат любую плоскость можно описать уравнением первой степени. Ключевым элементом для задания ориентации плоскости является вектор, перпендикулярный ей, — вектор нормали.

Слайд 3. Общее уравнение плоскости

Уравнение вида $Ax+By+Cz+D=0$ называется общим уравнением плоскости.

Здесь $A,B,C$ — коэффициенты, которые не могут быть равны нулю одновременно.

Коэффициент $D$ — свободный член уравнения.

Любая плоскость в пространстве может быть задана таким аналитическим выражением.

Слайд 4. Вектор нормали

Вектор $\vec{n}=(A,B,C)$, который перпендикулярен данной плоскости, называется её нормальным вектором или нормалью.

Координаты нормали — это в точности коэффициенты $A,B$ и $C$ из общего уравнения плоскости. Это основа для решения задач на углы и расстояния.

Слайд 5. Визуализация нормали

Слайд 6. Частные случаи расположения

Плоскость проходит через начало координат $(0,0,0)$.

Плоскость параллельна оси абсцисс $Ox$.

Плоскость параллельна оси ординат $Oy$.

Плоскость параллельна оси аппликат $Oz$.

Слайд 7. Взаимное расположение плоскостей

Взаимное расположение двух плоскостей полностью определяется соотношением координат их нормальных векторов ${\vec{n}}_1$ и ${\vec{n}}_2$.

Слайд 8. Расстояние от точки до плоскости

Расстояние $d$ от точки $M_0(x_0,y_0,z_0)$ до плоскости, заданной уравнением $Ax+By+Cz+D=0$, вычисляется по формуле:

$d=\frac{|A{x}_0+B{y}_0+C{z}_0+D|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}$

Слайд 9. Ключевые выводы

Уравнение $Ax+By+Cz+D=0$ описывает любую плоскость в пространстве.

Вектор $\vec{n}(A,B,C)$ является определяющим параметром ориентации.

Угол между плоскостями равен углу между их нормалями.

Формула расстояния позволяет находить кратчайший путь от точки до поверхности.

Слайд 10. Спасибо за внимание!