Сфера и шар. Сечение шара плоскостью

Слайд 1. Сфера и шар. Сечение шара плоскостью

Геометрия, 11 класс. Урок открытия нового знания

Слайд 2. Актуализация: от плоскости к пространству

ГМТ плоскости, равноудаленных от центра.

Уравнение: $(x-x_0{)}^2+(y-y_0{)}^2=R^2$

ГМТ пространства, равноудаленных от центра.

Расстояние: $d=\sqrt{(x-x_0{)}^2+(y-y_0{)}^2+(z-z_0{)}^2}$

Слайд 3. Проблемный вопрос и план урока

Вопрос: Что получится в сечении сферы плоскостью и от чего зависит размер фигуры?

План урока:

1. Вывод уравнения сферы

2. Доказательство теоремы о сечении

3. Метрические задачи

Слайд 4. Уравнение сферы

Сфера с центром $C(x_0;y_0;z_0)$ и радиусом $R$.

Условие принадлежности точки $M(x;y;z)$ к сфере: $CM=R$.

Вид уравнения:

$(x-x_0{)}^2+(y-y_0{)}^2+(z-z_0{)}^2=R^2$

Слайд 5. Теорема о сечении шара плоскостью

Любое сечение шара плоскостью есть круг.

Связь величин:

$r=\sqrt{R^2-d^2}$

$r$ — радиус сечения

$R$ — радиус шара

$d$ — расстояние от центра шара до плоскости

Слайд 6. Задача: Нахождение площади сечения

Условие:

Шар радиусом 13 см пересечен плоскостью на расстоянии 5 см от центра.

Задание:

Найдите площадь получившегося сечения.

Слайд 7. Решение задачи (самопроверка)

1. Находим радиус сечения $r$ по теореме Пифагора:

$r=\sqrt{R^2-d^2}=\sqrt{13^2-5^2}=\sqrt{169-25}=12$ см

2. Вычисляем площадь круга (сечения):

$S=\pi \cdot r^2=\pi \cdot 12^2=144\pi$ см${}^2$

Ответ: $144\pi$

Слайд 8. Самостоятельная работа

Уровень А: Составьте уравнение сферы с центром $(1;-2;0)$ и радиусом $R=5$

Уровень Б: Найдите расстояние $d$, если $R=10$, а площадь сечения $S=36\pi$

Уровень В: Найдите радиус сферы, заданной уравнением $x^2+y^2+z^2-2x+4y-4=0$

Слайд 9. Проверка самостоятельной работы

$(x-1{)}^2+(y+2{)}^2+z^2=25$

$r=\sqrt{36}=6$

$d=\sqrt{10^2-6^2}=8$

$(x-1{)}^2+(y+2{)}^2+z^2=9$

Радиус $R=3$

Слайд 10. Итоги и домашнее задание

Домашнее задание:

— Базовый: 3 задачи на расчет сечений и уравнение сферы.

— Средний: Задача о двух параллельных сечениях шара.

— Продвинутый: Исследование центра сферы, описанной около параллелепипеда.

Рефлексия:

— В чем отличие сферы от шара?

— Как связаны теорема Пифагора и сечение шара?