Конус и его свойства

Слайд 1. Конус и его свойства

Определения, формулы и подготовка к ЕГЭ по геометрии

Слайд 2. Что такое конус?

Конус — это тело, полученное объединением всех лучей, исходящих из одной точки (вершины), и проходящих через плоскую поверхность (основание).

В школьном курсе геометрии мы чаще всего изучаем прямой круговой конус, основанием которого является круг, а высота опускается точно в его центр.

Слайд 3. Основные элементы конуса

— Вершина ($S$): точка, не лежащая в плоскости основания.

— Основание: круг с центром $O$ и радиусом $R$.

— Образующая ($L$): отрезок, соединяющий вершину с точкой окружности основания.

— Высота ($H$): перпендикуляр, опущенный из вершины на плоскость основания.

Слайд 4. Конус как тело вращения

Прямой круговой конус можно получить путем вращения прямоугольного треугольника вокруг одного из его катетов. При этом:

— Катет, вокруг которого происходит вращение, становится высотой $H$.

— Второй катет становится радиусом основания $R$.

— Гипотенуза треугольника становится образующей $L$.

— Угол при вершине осевого сечения равен удвоенному углу между высотой и образующей.

Слайд 5. Виды конусов

Вершина проецируется точно в центр основания. Все образующие равны между собой. Именно этот вид конуса встречается в задачах ЕГЭ.

Ортогональная проекция вершины не совпадает с центром основания. Образующие имеют разную длину.

Слайд 6. Сечения конуса

— Осевое сечение: проходит через вершину и центр основания. Это равнобедренный треугольник с боковыми сторонами $L$ и основанием $2R$.

— Сечение, параллельное основанию: представляет собой круг, радиус которого пропорционален расстоянию от вершины.

— Сечение, проходящее через вершину под углом: равнобедренный треугольник.

Слайд 7. Усеченный конус

Если отсечь от конуса верхнюю часть плоскостью, параллельной основанию, получится усеченный конус.

У него два основания (верхнее и нижнее), которые являются подобными кругами. Расстояние между плоскостями этих оснований называется высотой усеченного конуса.

Слайд 8. Площадь поверхности

— Площадь основания: $S_{\text{осн}}=\pi R^2$

— Площадь боковой поверхности: $S_{\text{бок}}=\pi RL$

— Полная площадь поверхности: $S_{\text{полн}}=\pi R(R+L)$

Важно: образующая $L$ вычисляется через теорему Пифагора: $L^2=R^2+H^2$.

Слайд 9. Объем конуса

Объем конуса в три раза меньше объема цилиндра с таким же основанием и высотой:

$V=\frac{1}{3}{S}_{\text{осн}}\cdot H=\frac{1}{3}\pi R^{2}H$

Эта формула универсальна и подходит как для прямого, так и для наклонного конуса.

Слайд 10. Формулы для усеченного конуса

Слайд 11. Связь углов и сторон

В задачах ЕГЭ часто дан угол при вершине осевого сечения ($2\alpha$). В этом случае:

$R=L\cdot \sin \alpha$

$H=L\cdot \cos \alpha$

Также часто встречается угол наклона образующей к плоскости основания ($\beta$):

$H=R\cdot \text{tg}\beta$

$L=\frac{R}{\cos \beta }$

Слайд 12. Развертка и центральный угол

Боковая поверхность конуса разворачивается в сектор круга радиуса $L$. Длина дуги этого сектора равна длине окружности основания $2\pi R$.

Центральный угол развертки $\varphi$ (в радианах) вычисляется по формуле:

$\varphi =\frac{2\pi R}{L}$

Слайд 13. Конус vs Цилиндр

Оба являются телами вращения. В основании лежит круг. Площадь боковой поверхности связана с периметром основания.

У цилиндра две параллельных грани, у конуса одна. Коэффициент объема у конуса $\frac{1}{3}$, у цилиндра $1$.

Слайд 14. Алгоритм решения задач на объем

Шаг 1

Шаг 2

Шаг 3

Шаг 4

Определить $R$ и $H$ из условий задачи (через теорему Пифагора или тригонометрию).

Проверить единицы измерения (все величины должны быть в одних единицах).

Подставить значения в формулу $V=\frac{1}{3}\pi R^{2}H$.

Выполнить вычисления. Если в ответе просят «разделить на $\pi$», не забудьте это сделать.

Слайд 15. Подобие в конусах

— Если высоту конуса разделить пополам плоскостью, параллельной основанию, то:

— Радиус сечения будет в 2 раза меньше радиуса основания.

— Площадь сечения будет в 4 раза меньше площади основания ($2^2$).

— Объем отсеченного (малого) конуса будет в 8 раз меньше объема исходного ($2^3$).

— Это критически важный факт для задач ЕГЭ на изменение параметров.

Слайд 16. Комбинации тел: Сфера и конус

Сфера называется вписанной в конус, если она касается основания в его центре и каждой образующей.

Центр вписанной сферы лежит на высоте конуса и является центром окружности, вписанной в треугольник осевого сечения.

Слайд 17. Ловушки ЕГЭ: Изменение параметров

Если радиус увеличить в 2 раза при той же высоте, объем вырастет в 4 раза ($2^2$).

Если высоту увеличить в 3 раза при том же радиусе, объем вырастет в 3 раза.

При увеличении всех линейных размеров в $K$ раз, объем увеличится в $K^3$ раз.

Если площадь основания выросла в 9 раз, значит радиус вырос в 3 раза.

Слайд 18. Типовая задача: Жидкость в конусе

Задача: В конический сосуд налили жидкость до половины высоты. Объем жидкости 20 мл. Какой объем нужно доливать, чтобы заполнить сосуд доверху?

Решение: Весь конус подобен «малому» конусу с коэффициентом $k=2$. Значит, объем всего сосуда в $2^3=8$ раз больше объема налитой жидкости: $20\cdot 8=160$ мл. Долить нужно $160-20=140$ мл.

Слайд 19. Главное для запоминания

Конус — тело вращения прямоугольного треугольника.

Основные формулы: $L^2=R^2+H^2$, $S_{\text{бок}}=\pi RL$, $V=\frac{1}{3}\pi R^{2}H$.

Осевое сечение — равнобедренный треугольник.

При подобии площади относятся как $k^2$, объемы как $k^3$.

Внимательно читайте, что просят в ответе (часто ответ нужно дать без $\pi$).

Слайд 20. Успехов в решении задач!