Цилиндр

Слайд 1. Цилиндр: от основ до ЕГЭ

Полный курс геометрии 11 класса для подготовки к профильному экзамену

Слайд 2. Что такое цилиндр?

Цилиндр — это тело, ограниченное цилиндрической поверхностью и двумя параллельными плоскостями, пересекающими её.

В школьном курсе (и в ЕГЭ) мы изучаем прямой круговой цилиндр. Он получается при вращении прямоугольника вокруг одной из его сторон.

Слайд 3. Составляющие цилиндра

Основания — два равных круга в параллельных плоскостях.

Образующая ($L$) — отрезок, соединяющий соответствующие точки окружностей оснований.

Высота ($H$) — расстояние между плоскостями оснований.

Радиус ($R$) — радиус его основания.

Ось цилиндра — прямая, проходящая через центры оснований.

Слайд 4. Осевое сечение

Осевое сечение — это сечение цилиндра плоскостью, проходящей через его ось.

Для прямого цилиндра осевое сечение всегда является прямоугольником. Его стороны равны высоте цилиндра ($H$) и диаметру основания ($2R$).

Если осевое сечение — квадрат, такой цилиндр называют равносторонним.

Слайд 5. Сечение, параллельное основанию

Если плоскость параллельна плоскости основания цилиндра, то она пересекает его боковую поверхность по окружности, равной окружности основания.

Любое такое сечение — это круг, радиус которого равен радиусу цилиндра $R$.

Слайд 6. Виды цилиндров

Образующие перпендикулярны плоскостям оснований. Высота совпадает с образующей: $H=L$. Именно такие фигуры встречаются в задачах ЕГЭ.

Образующие наклонены к плоскости основания под углом, отличным от $90^{\circ }$. Высота меньше образующей: $H<L$.

Слайд 7. Развёртка цилиндра

Слайд 8. Площадь боковой поверхности

Боковая поверхность при развёртке превращается в прямоугольник.

Одна сторона — высота $H$.

Другая сторона — длина окружности основания $2\pi R$.

Формула: $S_{\text{бок}}=2\pi RH$.

Слайд 9. Полная площадь поверхности

Полная площадь складывается из площади боковой поверхности и площадей двух оснований.

$S_{\text{осн}}=\pi R^2$

$S_{\text{полн}}=S_{\text{бок}}+2S_{\text{осн}}$

$S_{\text{полн}}=2\pi RH+2\pi R^2$

$S_{\text{полн}}=2\pi R(H+R)$

Слайд 10. Объём цилиндра

Объём цилиндра вычисляется так же, как объём прямой призмы: площадь основания на высоту.

$V=S_{\text{осн}}\cdot H$

$V=\pi R^{2}H$

Важно: если изменить радиус в $k$ раз, объём изменится в $k^2$ раз, так как радиус в формуле стоит в квадрате.

Слайд 11. Сводная таблица формул

Слайд 12. Важные свойства

1. Основания цилиндра лежат в параллельных плоскостях и равны между собой.

2. У прямого цилиндра все образующие параллельны и равны его высоте.

3. При вращении прямоугольника вокруг стороны $a$, эта сторона становится высотой $H$, а смежная сторона $b$ — радиусом $R$.

Слайд 13. Цилиндр и другие тела

Призма вписана в цилиндр, если её основания вписаны в основания цилиндра.

Цилиндр вписан в призму, если его основания вписаны в основания призмы, а грани касаются боковой поверхности.

Сферу можно вписать в цилиндр, только если его высота равна диаметру основания ($H=2R$).

Вершина пирамиды на одном основании, а основание вписано в другое основание цилиндра.

Слайд 14. Комбинация: Цилиндр и Куб

Если цилиндр вписан в куб:

Радиус цилиндра $R=a/2$.

Высота цилиндра $H=a$.

Где $a$ — ребро куба.

Если куб вписан в цилиндр:

Высота цилиндра $H=a$.

Диаметр основания цилиндра равен диагонали грани куба: $2R=a\sqrt{2}$.

Слайд 15. Сфера, вписанная в цилиндр

Это классическая задача ЕГЭ. Если сфера вписана в цилиндр, то:

1. Высота цилиндра равна диаметру сферы: $H=2R$.

2. Площадь полной поверхности цилиндра в 1.5 раза больше площади поверхности сферы.

3. Объём цилиндра в 1.5 раза больше объёма сферы.

Слайд 16. Ловушки ЕГЭ: Изменение размеров

Если радиус цилиндра увеличить в 3 раза, а высоту оставить прежней, как изменится объём?

Объём зависит от $R^2$, значит $V$ увеличится в $3^2=9$ раз.

Если высоту увеличить в 4 раза, а радиус уменьшить в 2 раза?

$V_{new}=\pi (R/2{)}^2\cdot (4H)=\pi \cdot (R^2/4)\cdot 4H=\pi R^{2}H$. Объём не изменится!

Внимательно следите, какая величина возводится в квадрат, а какая — нет.