Сфера и шар

Слайд 1. Сфера и шар

Основные понятия, элементы и площадь поверхности

Слайд 2. Что такое сфера?

Сфера — это поверхность, состоящая из всех точек пространства, расположенных на заданном расстоянии от данной точки (центра).

Сферу можно представить как оболочку мыльного пузыря или поверхность футбольного мяча. Это «пустотелая» фигура в геометрии.

Слайд 3. Что такое шар?

Шар — это геометрическое тело, которое состоит из всех точек пространства, расположенных на расстоянии не больше заданного от данной точки (центра).

Шар включает в себя не только поверхность (сферу), но и все внутреннее пространство. Примеры: бильярдный шар, ядро, планета.

Слайд 4. Элементы сферы и шара

Центр — точка $O$, от которой равноудалены все точки сферы.

Радиус ($R$) — отрезок, соединяющий центр с любой точкой сферы.

Диаметр ($D$) — отрезок, соединяющий две точки сферы и проходящий через её центр.

Связь элементов: $D=2R$.

Слайд 5. Геометрическое представление

Слайд 6. Уравнение сферы

В прямоугольной системе координат уравнение сферы с центром в точке $C(x_0;y_0;z_0)$ и радиусом $R$ имеет вид:

$(x-x_0{)}^2+(y-y_0{)}^2+(z-z_0{)}^2=R^2$

Если центр сферы совпадает с началом координат $O(0;0;0)$, уравнение упрощается:

$x^2+y^2+z^2=R^2$

Слайд 7. Примеры уравнений

$x^2+y^2+z^2=25$ — сфера с центром $(0;0;0)$ и $R=5$.

$(x-1{)}^2+y^2+(z+2{)}^2=4$ — сфера с центром $(1;0;-2)$ и $R=2$.

$x^2+y^2+z^2=1$ — единичная сфера.

Слайд 8. Сфера и плоскость

Слайд 9. Взаимное расположение

Плоскость и сфера не имеют общих точек. Расстояние от центра больше радиуса.

Плоскость касается сферы в одной точке. Такая плоскость называется касательной.

Плоскость пересекает сферу. Линия пересечения — окружность.

Слайд 10. Сечение сферы плоскостью

Любое сечение сферы плоскостью является окружностью. Центр этой окружности — проекция центра сферы на плоскость.

Радиус сечения $r$ связан с радиусом сферы $R$ и расстоянием $d$ формулой:

$r=\sqrt{R^2-d^2}$

Слайд 11. Большой круг

Если плоскость проходит через центр сферы ($d=0$), то сечение называется большим кругом.

Радиус большого круга равен радиусу сферы: $r=R$.

Большой круг делит сферу на две равные полусферы.

Любой диаметр сферы является диаметром какого-либо большого круга.

Слайд 12. Касательная плоскость

Плоскость, имеющая со сферой только одну общую точку, называется касательной плоскостью к сфере.

Общая точка называется точкой касания. Касательная плоскость перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания.

Слайд 13. Радиус, проведенный в точку касания сферы, перпендикулярен касательной плоскости.

— Основная теорема о касательной плоскости

Слайд 14. Площадь поверхности

Слайд 15. Формула площади сферы

Слайд 16. Архимед и сфера

Архимед доказал, что площадь сферы в 4 раза больше площади её большого круга и равна боковой поверхности описанного около неё цилиндра.

Формула: $S=4\pi R^2$

Где $R$ — радиус сферы, а $\pi \approx 3,14$.

Слайд 17. Зависимость площади от радиуса

График показывает квадратичную зависимость площади поверхности от радиуса. При увеличении радиуса в 2 раза, площадь увеличивается в 4 раза.

Слайд 18. Пример 1: Прямая задача

Найти площадь поверхности сферы, если её радиус равен $5$ см.

$S=4\pi R^2$

$S=4\cdot \pi \cdot 5^2=100\pi \approx 314$ см².

Ответ: $100\pi$ см².

Слайд 19. Пример 2: Обратная задача

Площадь сферы равна $64\pi$ см². Найти диаметр этой сферы.

$4\pi R^2=64\pi \Rightarrow R^2=16\Rightarrow R=4$ см.

Диаметр $D=2R=8$ см.

Ответ: $8$ см.

Слайд 20. Сравнение сферы и шара

Слайд 21. Свойства площади

Площадь пропорциональна квадрату радиуса.

Сфера имеет минимальную площадь при заданном объеме.

Все точки поверхности равноправны.

$S=\pi D^2$ (через диаметр).

Слайд 22. Практика и задачи

Слайд 23. Задача 1: Изменение радиуса

Вопрос: Во сколько раз увеличится площадь сферы, если её радиус увеличить в $3$ раза?

Решение:

$S_1=4\pi R^2$

$S_2=4\pi (3R{)}^2=4\pi \cdot 9R^2=9\cdot S_1$

Ответ: в $9$ раз.

Слайд 24. Задача 2: Уравнение

Вопрос: Принадлежит ли точка $A(0;3;4)$ сфере $x^2+y^2+z^2=25$?

Решение:

Подставим координаты: $0^2+3^2+4^2=0+9+16=25$.

$25=25$ — равенство верно.

Ответ: Да, принадлежит.

Слайд 25. Сфера и куб

Сфера называется описанной около куба, если все вершины куба лежат на сфере.

Диаметр такой сферы равен диагонали куба: $D=a\sqrt{3}$, где $a$ — ребро куба.

Слайд 26. Сферы в реальном мире

Планеты и звезды (гравитация стремится придать им форму шара).

Капли воды и мыльные пузыри (поверхностное натяжение).

Подшипники в технике (равномерное распределение нагрузки).

Радары и купола зданий.

Слайд 27. Проверь себя

1. Чем отличается шар от сферы?

2. Как изменится площадь сферы, если диаметр уменьшить в 2 раза?

3. Чему равен радиус сечения, проходящего через центр сферы?

4. Напишите уравнение сферы с центром $(2;-1;0)$ и $R=3$.

Слайд 28. Итоги урока

Сфера — поверхность, шар — тело.

Элементы: центр, радиус $R$, диаметр $D=2R$.

Уравнение: $(x-x_0{)}^2+(y-y_0{)}^2+(z-z_0{)}^2=R^2$.

Площадь поверхности: $S=4\pi R^2$.

Любое сечение сферы плоскостью — окружность.

Слайд 29. Спасибо за внимание!